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出版者:Dover Publications

作者:Haskell B. Curry

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:1977-06-01

价格:USD 15.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486634623

丛书系列:

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• 数理逻辑
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数理逻辑的基石：探寻思维的严谨结构 一本关于形式系统、可计算性理论与模型论的深入导论 本书旨在为读者提供一个全面而严谨的数理逻辑导论，其重点在于探索形式系统的基本结构、可判定性与可计算性的深刻问题，以及逻辑与代数结构之间富有成效的联系。我们不会将重点置于特定出版社的某本经典教材《Foundations of Mathematical Logic》所涵盖的具体内容体系上，而是致力于构建一个独立、连贯且具有前瞻性的逻辑学知识体系。 本书的叙事主线围绕着“形式化”这一核心理念展开：如何将人类的推理过程、数学的构建基础抽象为精确、无歧义的符号系统。我们将从最基础的语言、语法和语义出发，逐步构建起不同层次的逻辑框架。 第一部分：命题逻辑与一阶谓词逻辑——形式系统的构建 本部分奠定了数理逻辑的基石，聚焦于如何精确地表达和验证陈述。 1. 命题逻辑（Propositional Logic）：真值与联结词的代数 我们从直觉出发，探讨命题（可以被判定为真或假的陈述）的概念。随后，引入逻辑联结词（如“非”、“与”、“或”、“蕴含”、“当且仅当”）作为构建复杂命题的工具。本书的独特之处在于，我们不仅仅停留在真值表层面，而是深入探究命题逻辑的代数结构——布尔代数。我们将展示如何通过代数运算来理解逻辑等价性，从而超越单纯的真值判定，理解逻辑结构本身的性质。我们还将讨论范式（合取范式 CNF 和析取范式 DNF）及其在自动化推理中的重要性。 2. 一阶谓词逻辑（First-Order Predicate Logic, FOL）：量化与关系的表达力 命题逻辑的局限在于无法处理个体和关系。本部分引入了对个体、谓词、函数符号和量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的精确定义，构筑了一阶谓词逻辑的语言。这是现代数学和计算机科学中进行精确描述的通用工具。 在 FOL 的基础上，我们详细阐述了语义学：如何定义一个结构（Structure）或解释（Interpretation），以及一个封闭公式在该结构下的真值判定。我们引入了归纳定义的方法，精确界定了一阶逻辑中项、原子公式、复杂公式的构成规则。 第二部分：证明论与完备性——逻辑系统的内部机制 本部分关注逻辑系统内部的证明过程，探究我们形式化的系统是否足以表达所有“直觉上”正确的推理。 3. 形式化的证明系统：推导规则与元理论 我们引入两种主要的证明范式：Hilbert 式公理系统（强调简洁的公理集）和自然演绎系统（Natural Deduction）（更贴近人类的推理习惯）。我们将详细阐述推理规则（如肯定前件 MP、引入/消去规则），并严格定义“证明”的概念。 4. 哥德尔完备性定理（Gödel's Completeness Theorem）的证明 这是逻辑学的核心里程碑之一。我们将通过构造性方法（如利用 Tarski-Vaught 增扩链理论或更直接的基于Henkin证明的构造）来证明：一个公式在一阶逻辑中是可满足的，当且仅当它是逻辑有效的（可被证明的）。完备性定理确立了证明与真值之间的完美对应关系，是模型论的起点。 第三部分：可计算性理论——逻辑的边界与图灵的遗产 本部分将视角转向计算的本质，探究哪些问题是原则上可以被机械化解决的，哪些则无法。这与逻辑学的判定问题（Entscheidungsproblem）的失败紧密相关。 5. 有效性与可计算性：图灵机模型 我们从形式逻辑中的“可判定性”问题出发，转向计算的数学模型。我们将详细介绍图灵机（Turing Machine）的概念，它不仅仅是一个抽象的计算模型，更是对“算法”这一概念的严格定义。我们探讨图灵机的工作原理、停机问题（Halting Problem）的不可判定性，以及$mathrm{Church-Turing}$ 论题的意义。 6. 递归函数与不可判定性 我们将引入递归函数（Recursive Functions）和 $mu$-递归函数（$mu$-Recursive Functions）作为图灵机的另一种等价的计算模型。通过对这些模型的分析，我们将证明一阶逻辑的可否证性（Refutability）是半可判定的（即我们可以证明一个公式是假的，但可能永远无法证明它是真的），这是对哥德尔不完备性定理（Incompleteness Theorems）的逻辑延伸。本书将分析这些定理的证明结构，特别是第二不完备性定理——一个足够强大的形式系统无法证明自身的一致性。 第四部分：模型论初步——逻辑与代数结构的交汇 本部分将逻辑语言应用于数学对象本身，研究形式结构如何被逻辑语言描述和限制。 7. 初等模型与同构 我们定义结构（如群、环、有序集）作为逻辑的解释域。我们将严格定义同构（Isomorphism），并探讨在不同逻辑体系（如一阶逻辑与高阶逻辑）下，结构被唯一确定的程度。 8. 勒文海姆-斯科勒姆定理（Löwenheim-Skolem Theorems） 我们将推导这个著名的定理：如果一阶公式集在某个无限结构中有一个模型，那么它在所有具有相同基数（或更小基数）的无限结构中也一定有一个模型。这个定理揭示了一阶逻辑在描述无限结构时的“不足”——它无法区分具有不同大小的无限集，这是理解无限性的一个深刻洞察。 总结与展望 本书通过严谨的数学推理，将读者从最简单的逻辑联结推向复杂的可计算性边界和数学结构的深层性质。它不仅是学习数理逻辑的严密工具集，更是理解现代数学基础、计算机科学理论（如复杂度理论和形式验证）以及哲学逻辑论证的必要训练。全书力求在概念的精确性与论证的清晰性之间取得完美平衡。

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**（评价四：侧重于对排版、习题和辅助材料的评价，语言简洁有力，更像是一个资深用户的推荐）** 纸质版的装帧和排版称得上是一流，字体清晰，数学符号的渲染处理得极其到位，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。但真正让我心动的，是书后精心设计的习题集。这些习题不是简单的重复性计算，它们往往是进一步探索理论的阶梯。从基础的真值表构建到复杂的模型构造性证明，难度梯度设置得极其科学合理。我发现，很多课后习题的解答都需要综合运用前几章的知识点，这迫使我必须将零散的知识点融会贯通，而不是死记硬背。附带的几篇精选的原始文献导读，也为我们提供了深入了解逻辑学发展史的窗口。可以说，这本书的设计理念是“主动学习”而非“被动接受”，它提供的不仅仅是知识，更是一套完整的、可自我检验的学习方法论。

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**（评价二：侧重于阅读体验和对读者学习路径的启发，语言更加口语化、带有个人感受）** 说实话，初次拿起这本《Foundations of Mathematical Logic》，我有点被它厚重的篇幅和专业的术语吓到。但坚持读下去后，才发现它简直就是一本“逻辑入门的贴心向导”。作者的写作风格非常注重读者的直观感受，很多抽象的概念，比如哥德尔不完备性定理的引入，都不是直接抛出晦涩的结论，而是通过一些精心设计的例子和类比，逐步引导我们去理解其背后的深层含义。我特别喜欢它在讲解归谬法和反证法时那种步步为营的教学节奏，让人在不知不觉中就掌握了严格的论证技巧。读完后，我不再是那个只会做算术题的“技术宅”，而是能更清晰地审视日常论证中的谬误。这本书最大的价值不在于它告诉你“是什么”，而在于它教会你“如何思考”——那种对一致性和完备性的不懈追求，已经潜移默化地影响了我处理其他学科问题的态度。

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**（评价三：侧重于与其他领域知识的联系与拓展，语言充满热情与前瞻性）** 这本书的精妙之处在于，它完美地架设了纯粹逻辑理论与计算机科学、哲学基础之间的桥梁。虽然书名强调的是“基础”，但内容绝对没有停留在皮毛。例如，书中对可计算性理论的初步介绍，对图灵机模型的描述，与后续讨论的递归函数和判定问题（Decision Problem）形成了完美的闭环，这对于任何想深入研究人工智能或理论计算机领域的读者来说，都是极其宝贵的财富。我甚至在阅读关于非经典逻辑的部分时，联想到了现代量子计算中对逻辑悖论的新处理方式。作者对形式化系统的强大表达力的展现，让人对数学本身的边界产生了敬畏感。它不仅是关于逻辑的“基础”，更是关于整个现代科学思维模式的“蓝图”。我强烈推荐给那些希望在跨学科研究中打下坚实基础的学生，这本书提供的视角绝对是超前的。

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**（评价五：侧重于对逻辑哲学思辨的探讨，语言带有思辨色彩，偏向哲学爱好者）** 阅读《Foundations of Mathematical Logic》的过程，与其说是学习一门技术，不如说是一场对“真理”本质的哲学追问。书中所涉及的关于“不可能性”的证明——尤其是对数学完备性极限的揭示——带来了巨大的震撼。当面对哥德尔的洞见时，我们不得不重新审视人类知识体系的局限性。这本书非常成功地平衡了形式系统的冰冷精确与它所引发的哲学思考的温度。作者没有回避逻辑学自身存在的那些深刻的、近乎悖论的问题，反而鼓励读者去直面它们。例如，如何理解一个系统自身的‘自指’？一个形式系统的‘有效性’边界究竟在哪里？对于那些对休谟、康德的认识论基础感兴趣，并希望用最严格的工具来检视这些问题的读者来说，这本书提供了一个无与伦比的思辨场域。它让逻辑不再是枯燥的符号游戏，而是关乎我们如何认识世界的根本探索。

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**（评价一：侧重于对内容深度和广度的赞赏，语言略显学术化）** 这本书以其严谨的结构和对数理逻辑基础概念的全面梳理，为我打开了一扇通往形式化思维世界的大门。作者对命题演算和一阶谓词演算的阐述细致入微，每一步推导都清晰可循，即便是初学者也能从中领悟到逻辑推理的精髓。尤其值得称道的是，书中对于证明论（Gentzen's systems）和模型论（Compactness Theorem, Löwenheim-Skolem Theorem）的探讨，展现了作者深厚的学术功底。这些内容并非简单的知识堆砌，而是通过巧妙的组织，将逻辑学的不同分支有机地串联起来，构建了一个宏大而自洽的理论框架。阅读过程中，我深切感受到逻辑学作为数学基石的强大力量，它不仅仅是一种演算工具，更是一种规范思维、消除歧义的哲学武器。那些关于可定义性与完备性的深入讨论，极大地拓宽了我对计算理论和集合论边界的理解，这本书无疑是严肃逻辑研究者案头不可或缺的参考资料。

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世界上唯一的一位逻辑学家，他的名字，包括firstname，middlename和lastname同时是三种计算机语言的名称，想不出世界上还有其他人享此尊荣。 Haskell：最流行的函数式编程语言，不需这里多说。 Brook：是一种基于ANSI C的语言，但引入了并行计算的概念，同一运算可同时施用于不同的数据，这个功能是通过stream的数据类型实现的。 Curry：一种函数式逻辑编程语言，这个语言基于Haskell，但合成了一些逻辑编程的要素。 Curry还可以当做动词使用：currying，在数学和计算机编程中指一个取多个实参的函数可分解为一系列单一实参的函数操作。 Curry-Howard同构是数理逻辑中一个重要发现和定理：简单说就是：任何逻辑命题都可转换成类型从而实现λ-演算。

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世界上唯一的一位逻辑学家，他的名字，包括firstname，middlename和lastname同时是三种计算机语言的名称，想不出世界上还有其他人享此尊荣。 Haskell：最流行的函数式编程语言，不需这里多说。 Brook：是一种基于ANSI C的语言，但引入了并行计算的概念，同一运算可同时施用于不同的数据，这个功能是通过stream的数据类型实现的。 Curry：一种函数式逻辑编程语言，这个语言基于Haskell，但合成了一些逻辑编程的要素。 Curry还可以当做动词使用：currying，在数学和计算机编程中指一个取多个实参的函数可分解为一系列单一实参的函数操作。 Curry-Howard同构是数理逻辑中一个重要发现和定理：简单说就是：任何逻辑命题都可转换成类型从而实现λ-演算。

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世界上唯一的一位逻辑学家，他的名字，包括firstname，middlename和lastname同时是三种计算机语言的名称，想不出世界上还有其他人享此尊荣。 Haskell：最流行的函数式编程语言，不需这里多说。 Brook：是一种基于ANSI C的语言，但引入了并行计算的概念，同一运算可同时施用于不同的数据，这个功能是通过stream的数据类型实现的。 Curry：一种函数式逻辑编程语言，这个语言基于Haskell，但合成了一些逻辑编程的要素。 Curry还可以当做动词使用：currying，在数学和计算机编程中指一个取多个实参的函数可分解为一系列单一实参的函数操作。 Curry-Howard同构是数理逻辑中一个重要发现和定理：简单说就是：任何逻辑命题都可转换成类型从而实现λ-演算。