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出版者:中国科大

作者:缪柏其//胡太忠

出品人:

页数:302

译者:

出版时间:2009-5

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787312022975

丛书系列:中国科学技术大学精品教材

图书标签:

• 测度论
• 概率
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• 数学
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• 学术
• 理工科
• 统计学
• 随机过程
• 数学模型

数学分析导论：从微积分到实数系统的严谨构建 本书特色： 本书旨在为初学者提供一个严谨而直观的数学分析入门，聚焦于微积分背后的核心理论基础——实数系统的构造、极限的严格定义以及连续性的深入探讨。我们避开了传统的、过于侧重计算技巧的叙述方式，转而将重点放在数学的精确性与逻辑的严密性上，帮助读者建立起扎实的分析学思维框架。全书结构清晰，从最基础的集合论和逻辑预备知识开始，逐步过渡到高等数学的核心概念，并通过大量的例证和反例来加深理解。 --- 第一部分：基础与预备知识——构造坚实的基石 第一章：集合论与逻辑基础 本章是后续所有分析学讨论的“语言”和“工具箱”。我们从集合的严格定义出发，介绍集合的表示法、子集、交集、并集、补集等基本运算。随后，我们将深入探讨函数的概念——从映射的严格定义到单射、满射、双射的区分，这是理解函数极限和连续性的前提。 逻辑方面，本书强调“为什么”而非“是什么”。我们详细阐述了数学归纳法的严谨形式及其在证明中的核心地位，并引入了反证法、构造法等关键的证明技巧。尤其重要的是，我们对“存在性（$exists$）”和“全称性（$forall$）”的量词进行了细致的辨析，这是分析学证明中最常出现歧义的地方。我们通过分析初等代数中的常见错误，说明逻辑清晰度的重要性。 第二章：自然数、整数与有理数的构造 在微积分的计算层面，我们很容易接受 $1+1=2$ 和 $frac{1}{2}$ 的存在。然而，在分析学的世界里，每一个数都必须被“构造”出来。本章将严格遵循皮亚诺公理体系，从自然数 $mathbb{N}$ 的五个基本公理出发，逻辑性地定义加法和乘法。 随后，我们引入整数集 $mathbb{Z}$，通过等价关系将自然数的有序对构造为整数。最后，我们构建了有理数集 $mathbb{Q}$，这是通过 $mathbb{Z}$ 的有序对上的等价关系定义的。每一步构造都配有详细的代数验证，证明了这些数系满足我们直觉中应有的代数性质（如交换律、结合律、分配律）。本章的目的是让读者体验到纯粹数学的“自洽性”和“从无到有”的构建过程。 --- 第二部分：实数系统的奥秘——分析学的核心舞台 第三章：实数集的构建与基本性质 实数 $mathbb{R}$ 是微积分得以成立的基石。本章的核心在于解决“无理数”的问题。我们将使用戴德金截割（Dedekind Cuts）的方法来严格构造实数集。通过对有理数集 $mathbb{Q}$ 的子集进行划分，我们清晰地定义了实数的本质——它是一个完备的、无“洞”的线性有序域。 本章将详细阐述实数集的完备性公理（Completeness Axiom），即任何非空的有上界（或下界）的有理子集，在实数域中总有一个确界（上确界或下确界）。我们将证明这个性质是 $mathbb{R}$ 与 $mathbb{Q}$ 之间最本质的区别，并且证明了诸如区间套定理（Nested Interval Theorem）、单调有界定理（Monotone Convergence Theorem for Bounded Sequences）等重要结论都直接源于完备性。 第四章：数列的极限与收敛性 在实数集上，我们首次引入极限的概念。本章将严格定义数列的极限，即经典的 $epsilon-N$ 语言的运用。我们不仅会进行大量的 $epsilon-N$ 证明，还会探讨极限的代数性质（极限的唯一性、四则运算的极限）。 重点章节包括：子列收敛性，引入了保尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）的初步概念（不涉及更深层次的拓扑结构证明），说明有界数列必有收敛子列。我们还将介绍柯西序列（Cauchy Sequences）的概念，并证明在 $mathbb{R}$ 中，一个序列收敛当且仅当它是柯西序列——这是完备性在序列层面的体现。 --- 第三部分：深入理解函数行为——连续性与微商的理论基础 第五章：函数的连续性与一致连续性 函数连续性是连接点（局部）行为与整体性质的桥梁。本章严格定义了函数在某点处的连续性，并推广到区间上的连续性。我们将深入分析连续函数的代数性质，并证明介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理在应用数学和工程中的重要性不言而喻，但其严格证明依赖于前几章对实数完备性的掌握。 随后，我们引入一致连续性的概念，并将其与普通连续性进行对比，通过具体的函数示例（如 $f(x) = x^2$ 在 $mathbb{R}$ 上的性质与 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上的性质差异）展示两者在数学上的区别与应用上的差异。 第六章：导数的严格定义与微分中值定理 本章将导数从求斜率的计算工具，提升为描述函数局部线性近似的严格工具。我们首先基于极限的定义，给出导数的严格定义，并复习导数的运算法则。 本章的理论高潮在于微分中值定理的证明： 1. 费马引理：局部极值的必要条件。 2. 罗尔定理（Rolle's Theorem）：特殊情况下的平均变化率。 3. 均值定理（Mean Value Theorem, MVT）：连接起函数在区间上的平均变化率与某一点瞬时变化率的桥梁。我们将使用几何直觉辅助严谨的代数证明。 4. 柯西中值定理：作为推广形式，为后续泰勒公式的精确余项形式打下基础。 本书在第六章结束时，已经为读者构建了一个坚实的、基于实数完备性基础上的微积分理论框架，为进一步学习积分学、级数理论或更高级的拓扑与分析打下了坚实的基础。全书贯穿着严谨的逻辑推理和对数学定义精确性的不懈追求。

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这本书的语言风格，初看之下，略显古朴和严谨，甚至可以说是有些“冷峻”的。它不像那些试图用幽默风趣的叙述来拉近与读者距离的当代教材那样平易近人。作者似乎将所有的精力都倾注在了数学逻辑的严密性上，文字的雕琢退居其次。在介绍期望和方差这些核心概念时，它的表述总是非常精确，每一个修饰词的选择都经过了深思熟虑，不留任何语义上的歧义空间。这种严谨性在处理涉及到极限和收敛性的证明时尤为重要，比如中心极限定理的介绍，作者非常耐心地解释了依概率收敛、几乎必然收敛和依分布收敛之间的微妙区别，并给出了各自的应用情境。不过，也正因为这种极致的严谨，对于那些数学基础相对薄弱的读者来说，初期的阅读体验可能会有些吃力，需要反复揣摩才能完全体会到其中蕴含的数学美感。我甚至觉得，这本书更像是为已经有一定微积分基础，希望系统、无懈可击地掌握概率论的理工科高年级学生或研究生准备的，它的每一句话都像是在进行一次正式的学术陈述，没有多余的寒暄。

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这本书的讲解风格简直是教科书级别的典范，每一个概念的引入都像是精心设计的数学剧本。作者似乎深谙初学者在面对抽象的概率论时容易产生的困惑，所以他们总能找到最直观的类比和最清晰的逻辑链条来铺陈。我尤其欣赏它在基础公理部分的处理方式，没有急于抛出复杂的公式，而是花了大量的篇幅去阐释“为什么”是这样的定义，这对于建立坚实的概率思维至关重要。比如，在介绍条件概率时，它不仅仅是给出了公式 $P(A|B) = P(A cap B) / P(B)$，而是通过一个非常细致的“信息更新”过程来解释这个公式的内在含义，让我第一次真正理解了“给定”这个动作在概率世界中的分量。排版上，公式与文字的穿插也做得十分考究，关键公式会被单独突出，辅以简洁的注释，使得阅读节奏张弛有度，不会让人在密集的符号海洋中迷失方向。对于那些习惯于死记硬背公式，却从未真正理解其背后数学思想的读者来说，这本书无疑是提供了一个重塑认知的绝佳路径。它不是那种只顾着炫耀高深理论的书，而是真正致力于教会你如何“像一个概率学家一样思考”的入门指南，虽然有些地方的推导过程略显冗长，但正是这份细致，保证了每一个知识点都能被扎扎实实地吸收。

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我必须提到这本书在习题设置上的高下立判。它巧妙地将习题分为了“基础巩固型”和“综合应用型”两大类。基础题目的分布非常均匀，确保了对前文刚刚学完的每一个定理和公式都能立即得到实践检验的机会，很多题目直接就是对定理的逆向运用，帮助读者检验自己是否真正理解了条件的必要性。但真正让我眼前一亮的是那些综合应用题。这些题目往往需要读者将贝叶斯定理、全概率公式与离散/连续分布的知识点进行跨章节的串联，计算过程复杂但逻辑清晰，是检验一个人能否将零散知识点整合为解决实际问题的能力的关键。我记得有一道关于可靠性工程的题目，需要用到指数分布和泊松过程的组合，解出来的那一刻，成就感是巨大的，因为它证明了我确实掌握了这些工具，而不仅仅是背诵了公式。遗憾的是，这本书对于习题答案的提供略显吝啬，只有最终结果而缺乏详细的推导过程，这使得我在遇到困难时，少了一个及时的引导，不得不花费更多时间在自我调试上，但反过来看，或许这也是一种变相的鼓励——逼迫读者自己去完成最后的“拼图”。

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这本书的排版和装帧设计，体现了一种低调的专业主义。纸张质量上乘，触感厚实，油墨印制清晰锐利，即使在长时间的阅读中，眼睛也不会感到明显的疲劳，这对于需要反复查阅的参考书来说是极大的加分项。封面设计极其简洁，黑白灰的配色方案，没有任何花哨的图形元素，完全聚焦于书名本身，传递出一种“内容至上”的信号。书签页的预留设计也很人性化，方便读者在需要回顾特定章节时快速定位。然而，如果一定要吹毛求疵，我认为在某些涉及复杂积分运算的章节，作者可以考虑增加一些视觉辅助，比如用不同的颜色或字体样式来高亮显示积分上下限的变化或变量替换的关键步骤，这样在处理那些涉及多重积分或雅可比行列式变换的难题时，读者的视觉负担会更轻一些。总的来说，这本教材在物理呈现上，是完全对得起其专业内容的，它是一件可以长久收藏和使用的案头良器，代表了一种对知识本身尊重的态度。

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读完这本书，我最大的感受是作者的“求真务实”。市面上很多概率论教材，往往为了追求理论的完备性或现代感，会引入大量现代统计学或信息论的前沿概念，导致基础部分被稀释。但这本《概率论教程》则坚守了概率论的核心阵地，将离散型和连续型随机变量的分布、大数定律和中心极限定理等基石内容打磨得炉火纯青。它的例题选择非常贴合实际应用场景，但又严格遵守数学推导的规范性，没有那种为了“酷炫”而构造的过于怪异的例子。我记得关于随机变量函数的分布那一章，作者用了足足三页的篇幅来梳理求解各种变换（如单调函数变换、复合函数变换）的步骤和注意事项，这一点对于准备工程或量化分析考试的人来说，简直是救命稻草。而且，这本书对“随机过程”的初步探讨也处理得非常克制和得体，没有深入到马尔可夫链的复杂性，而是停留在对随机游走和基本泊松过程的直观理解上，这使得读者在完成基础学习后，能带着清晰的框架去探索更高级的课题，而不会因为过早接触过多复杂的符号系统而望而却步。整体而言，这是一本为打牢基础而生的工具书，其价值在于其“纯粹性”。

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基于测度的概率教材，不过习题答案比较难找。中科大的经典教材差不多都是这样，啃起来难，放下去回味无穷，几天不读还有点心痒

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基于测度的概率教材，不过习题答案比较难找。中科大的经典教材差不多都是这样，啃起来难，放下去回味无穷，几天不读还有点心痒

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