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出版者:Brooks/Cole Pub Co

作者:J. Douglas Faires

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2002-11-11

价格:USD 81.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780534407629

丛书系列:

图书标签:

• Numerical Methods
• Calculus
• Mathematics
• Engineering
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• Faires
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• Problem Solving
• Academic

数值方法导论：理论、算法与应用实践 一本全面覆盖数值分析核心概念、算法推导与实际工程应用的权威教材。 --- 内容概述与教学目标 本书旨在为读者提供一套扎实、系统的数值分析知识体系，重点关注如何将复杂的数学问题转化为计算机可解的数值模型，并深入探究各类算法背后的数学原理、收敛性分析及其在实际工程、科学计算中的应用。本书特别注重理论与实践的结合，通过大量的算例、习题和伪代码，帮助读者建立起严谨的计算思维。 本书的教学目标是使读者： 1. 深刻理解 误差分析（截断误差与舍入误差）在数值计算中的核心地位。 2. 掌握 求解线性代数方程组、插值与函数逼近、数值积分与微分等经典问题的基本算法。 3. 熟悉 求解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的常用数值方法。 4. 培养 利用专业软件（如 MATLAB, Python/SciPy）实现和验证数值算法的能力。 第一部分：基础与误差分析（The Foundations of Numerical Computation） 本部分为后续内容奠定坚实的数学和计算基础。 第一章：计算误差与浮点数表示 浮点数系统（IEEE 754 标准）： 深入解析单精度和双精度浮点数的内部结构，包括有效数字、指数和尾数。讨论机器 $epsilon$ (epsilon) 的概念及其对计算精度的限制。 误差的来源与传播： 详细分类和分析舍入误差（Round-off Error）和截断误差（Truncation Error）。通过经典的病态（ill-conditioned）问题，展示误差在算法中的放大效应。 算法稳定性分析： 引入局部和全局稳定性概念，探讨如何设计对输入数据变化不敏感的数值算法。 第二章：非线性方程的求解（Roots of Equations） 本章专注于寻找函数 $f(x)=0$ 的根。 基本迭代法： 详述二分法（Bisection Method）的可靠性及其收敛速度。 高效的局部收敛法： 深入讲解牛顿法（Newton's Method），包括其二次收敛性。讨论割线法（Secant Method）作为牛顿法在导数难以计算时的替代方案。 不动点迭代（Fixed-Point Iteration）： 分析收敛的充分必要条件，并利用收敛半径的概念来指导迭代格式的选择。 算法实现要点： 讨论如何设置有效的收敛容忍度（Tolerance）和最大迭代次数。 第二部分：线性代数方程组的数值解法（Solving Linear Systems） 本部分集中于求解 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 形式的方程组。 第三章：直接法（Direct Methods） 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 详细步骤分解，包括行交换（Pivotting）以增强数值稳定性。引入三角分解（LU Decomposition）作为高斯消元法的矩阵形式表达。 矩阵分解技术： 重点分析 LU, Cholesky（对对称正定矩阵）和 LDLT 分解。讨论每种分解的计算复杂度和存储需求。 矩阵的条件数（Condition Number）： 深入理解条件数 $kappa(A)$ 如何量化线性系统对输入扰动的敏感性，这是判断一个问题“好解”与否的关键指标。 第四章：迭代法（Iterative Methods） 当矩阵 $A$ 规模巨大或稀疏时，迭代法成为首选。 雅可比法（Jacobi Method）与高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel Method）： 详细推导其迭代公式，分析其收敛的充要条件（对角优势性等）。 过松弛法（Successive Over-Relaxation, SOR）： 作为高斯-赛德尔法的加速版本，详细探讨松弛因子 $omega$ 的选择对收敛速度的影响。 共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）： 作为求解对称正定系统最强大的迭代方法之一，本章将介绍其基本思想和迭代步骤，强调其正交性构造。 第三部分：函数逼近与插值（Approximation and Interpolation） 本部分关注如何用易于处理的函数（如多项式）来近似复杂的、离散化的数据点或函数本身。 第五章：插值法（Interpolation） 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）： 给出其基函数形式，分析其优缺点（如Runge现象）。 牛顿插条法（Newton's Divided Difference Formula）： 强调其递推特性，便于逐步增加插值点。 分段插值： 详细介绍样条插值（Spline Interpolation），特别是三次样条（Cubic Splines），解释如何通过连续性条件（一阶和二阶导数连续）来保证插值曲线的光滑性。 第六章：最佳函数逼近与最小二乘法 函数空间与范数： 从理论高度引入 $L_2$ 范数下的最佳逼近。 线性最小二乘法： 求解超定线性系统（数据点多于基函数个数）的最佳近似解。推导正规方程组并讨论其解法。 非线性最小二乘法： 简介高斯-牛顿法（Gauss-Newton）在拟合非线性模型时的应用。 第四部分：数值微分与积分（Numerical Differentiation and Integration） 本部分关注如何利用离散点计算函数的导数和定积分。 第七章：数值微分 差分公式的推导： 基于泰勒级数展开，推导前向差分、后向差分和中心差分公式，并分析它们的截断误差阶数。 高阶差分与有限差分法基础： 介绍如何构造更高精度的差分公式。 复合微分： 如何将高阶差分应用于离散数据。 第八章：数值积分（Quadrature） 牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes Formulas）： 详细推导梯形法则（Trapezoidal Rule）和辛普森法则（Simpson's Rule），并分析其误差项。 复合积分： 通过分区间使用基本公式来提高精度。 高斯求积法（Gaussian Quadrature）： 介绍高斯点和高斯权重，解释其远高于牛顿-柯特斯法的效率和精度。 第五部分：常微分方程的数值解（Ordinary Differential Equations） 本部分是应用数值方法解决动态系统问题的核心。 第九章：常微分方程的初值问题（IVPs） 欧拉方法（Euler Methods）： 显式欧拉法和隐式欧拉法，分析其稳定性和收敛性。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 重点讲解经典的四阶龙格-库塔法（RK4）的推导和应用，这是工程中最常用的单步法。 多步法： 介绍阿当斯-福德斯法（Adams-Bashforth/Moulton）等方法的基本思想。 稳定性与区域： 探讨绝对稳定性和 A-稳定性，解释为什么隐式方法在求解“刚性”（Stiff）问题时更具优势。 附录 附录 A： 矩阵运算的 MATLAB/Octave 或 Python/NumPy 基础操作速查表。 附录 B： 常见函数的数值稳定性案例分析。 --- 本书特色： 算法驱动： 每介绍一种新方法，均提供清晰的数学推导和详尽的迭代步骤。 可视化教学： 辅以大量图示，直观展示插值曲线、迭代过程和误差分布。 深度分析： 严格分析算法的收敛速度（线性、超线性、二次）和计算复杂度。 计算工具集成： 鼓励读者使用计算软件来实现和检验理论结果，真正的“动手”学习。

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作为一名正在攻读数值分析课程的学生，我最近入手了这本《Student Solutions Manual for Faires/Burden's Numerical Methods》，老实说，这本书的出现，简直是给我这门课的学习带来了如沐春风般的体验。我一直在寻找一本能够真正帮助我理解那些抽象概念，并能提供清晰解题思路的辅助材料，而这本书恰恰满足了我的所有期待，甚至超出了我的预期。我印象最深刻的是，它并没有简单地罗列答案，而是非常细致地剖析了每一个步骤，从最基本的公式推导，到每一步计算的逻辑，再到最终结果的解读，都讲解得条理清晰，鞭辟入里。当我遇到一些棘手的证明题或者复杂算法的实现时，这本书就像一位循循善诱的导师，耐心地引导我一步步解开迷雾，让我恍然大悟，原来这个问题可以这样解决，原来这个概念是这样理解的。有时候，教材上的讲解可能会因为篇幅限制或者教学风格的差异，在某些细节上略显模糊，而这本书正好弥补了这些不足，它用一种更贴近学生视角的方式，化繁为简，让那些曾经让我头疼的难题变得触手可及。而且，它的排版和设计也相当人性化，重点突出，易于查找，这对于我们这种需要大量查阅参考资料的学生来说，简直是福音。总而言之，这本书不仅仅是一本习题解答，它更是一本高质量的学习伴侣，极大地提升了我的学习效率和学习乐趣。

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话说我之前拿到Faires/Burden的《Numerical Methods》教材时，说实话，心里还是有点打鼓的。毕竟这门课涉及的数学理论和算法都很硬核，一个人啃教材总感觉缺了点什么。直到我发现了这本书——《Student Solutions Manual for Faires/Burden's Numerical Methods》。这简直就是救星降临！我之前最头疼的就是那些需要详细推导的过程，教材上可能就一笔带过，留给我自己去琢磨，结果经常是卡在那里，动弹不得。但这本书就完全不一样了，它会把每道题的解答过程拆解得非常详细，就像是在手把手地教你一样。比如，对于那些迭代逼近的题目，它会一步步展示如何计算残差，如何判断收敛性，每一步的计算都是清晰可见的。而且，它还不仅仅是给出了数值计算的步骤，还会解释为什么这么做，背后的数学原理是什么。这点对我来说太重要了，因为我希望不仅仅是“会做题”，而是“理解题”。它还给了我很多关于如何选择合适方法的建议，这在实际应用中非常宝贵。这本书的出现，让我对数值分析这门课的信心大增，感觉不再是孤军奋战，而是有了一个强大的后援团。

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作为一名对数值方法充满好奇的学生，我在学习Faires/Burden的《Numerical Methods》过程中，始终在寻找能够进一步深化理解的资源。《Student Solutions Manual for Faires/Burden's Numerical Methods》的出现，无疑为我打开了一扇新的窗户。这本书的精髓在于它对习题解答的深度挖掘。它不会止步于给出最终答案，而是会详细阐述解题过程中的关键思考点。例如，在处理数值积分时，它会清晰地说明辛普森法则或梯形法则的原理，并演示如何根据被积函数的性质来选择最合适的积分方法，以及如何分析由此带来的误差。这本书还特别注重引导读者思考问题的“边界情况”和“特殊情况”，这在数值分析中至关重要。它会通过具体的例子，让我们理解在某些条件下，某些算法可能会失效，或者产生意想不到的结果，并提供相应的规避策略。这种教学方式，让我从被动接受知识，转变为主动探索和思考。这本书的内容组织也非常合理，题目难度递进，覆盖面广，让我能够循序渐进地掌握数值方法的核心概念和应用技巧。它不仅是我学习教材的有力补充，更是一本帮助我构建扎实数值分析基础的宝贵工具书。

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对于很多和我一样，正在钻研Faires和Burden的《Numerical Methods》这本经典教材的学生来说，拥有一个靠谱的习题解答手册是多么关键。我最近入手了《Student Solutions Manual for Faires/Burden's Numerical Methods》，说实话，它的价值远远超出了一本简单的答案集。我个人尤其欣赏它在讲解解题思路上的细致之处。很多时候，教材会给出一个题目，然后直接给出结果，或者简单提一下方法。但是，这本书会花大量篇幅去解释“为什么”选择这种方法，这种方法的“前提条件”是什么，以及在实际操作中，有哪些“陷阱”需要注意。比如，在处理插值多项式时，它会详细对比不同插值方法的优劣，并根据题目给出的数据点特征，给出选择最佳方法的理由。这种深入的分析，让我不仅仅是在模仿解题步骤，而是真正理解了这些数值方法背后的思想和应用场景。而且，这本书还涉及了一些教材中可能略过的，但对深入理解非常重要的细节，比如数值稳定性问题，它会用实例来解释，为什么某个算法在某些情况下会出现较大的误差。这种“知其然，更知其所以然”的学习体验，对于我这样的学习者来说，是极其宝贵的。

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坦白说，刚开始接触Faires/Burden的《Numerical Methods》时，我感觉自己像个在迷宫里摸索的探险家，教材上的理论公式和抽象概念，有时候让我觉得无从下手。直到我翻开了《Student Solutions Manual for Faires/Burden's Numerical Methods》，这才觉得好像找到了地图和指南针。这本书最让我赞赏的一点，是它对算法的解读方式。它不仅仅是列出代码或者计算步骤，而是会清晰地解释每一步算法的逻辑，比如，牛顿迭代法在求解非线性方程时，它是如何通过切线来逼近根的，每一步的更新公式是如何推导出来的。并且，它还会提供不同算法的比较，例如，比较高斯消元法和LU分解法在求解线性方程组时的优缺点，以及在不同规模矩阵下的计算效率。这让我能够更好地理解这些算法的适用范围和局限性。这本书也很有前瞻性，它会提示我在实际应用中可能遇到的问题，比如，如何处理病态矩阵，或者如何选择合适的步长来保证计算精度。它让我觉得，学习数值方法不仅仅是记住公式，更是要培养一种解决实际问题的能力。这本书就像一位经验丰富的向导，带领我穿越数值分析的丛林。

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