具体描述
目录 第一章 预备知识与基础概念 1.1. 群与环 1.1.1. 群的定义、性质与分类 1.1.2. 环的定义、性质与分类 1.1.3. 域与代数闭域 1.1.4. 模的初步概念 1.2. 向量空间与线性代数回顾 1.2.1. 向量空间的定义与基 1.2.2. 线性映射与矩阵表示 1.2.3. 张量积的空间 1.2.4. 域上的多项式环 1.3. 拓扑空间基础 1.3.1. 拓扑空间的定义与基本性质 1.3.2. 连通性与紧致性 1.3.3. 闭集、开集与邻域 1.3.4. 连续映射 第二章 代数簇的定义与构造 2.1. 仿射空间与多项式方程组 2.1.1. $n$ 维仿射空间 $A^n_k$ 2.1.2. $k$ 上的多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 2.1.3. 方程组与解集 2.1.4. 理想与零点集的关系 2.2. 希尔伯特零点定理 2.2.1. 理想的定义与性质 2.2.2. 根理想与零点集 2.2.3. 希尔伯特零点定理的表述与证明思路 2.2.4. 零点定理在代数几何中的重要性 2.3. 代数簇的定义 2.3.1. 仿射代数簇的定义 2.3.2. 坐标环的概念 2.3.3. 不可约簇与主理想域 2.3.4. 弃置集与代数簇的对应关系 2.4. 射影空间与射影簇 2.4.1. $n$ 维射影空间 $P^n_k$ 2.4.2. 齐次坐标与齐次多项式 2.4.3. 射影簇的定义 2.4.4. 仿射簇与射影簇的构造 第三章 代数簇的几何性质 3.1. 维数理论 3.1.1. 代数簇的维度的定义 3.1.2. 维数的性质与计算 3.1.3. 维数与理想的 Krull 维数 3.1.4. 嵌入与维数 3.2. 奇异点 3.2.1. 处所与切空间 3.2.2. 奇异点的定义 3.2.3. 奇异点的判别方法 3.2.4. 奇异点的局部性质 3.3. 可数性与代数性质 3.3.1. 代数簇上的函数域 3.3.2. 代数簇的连通性 3.3.3. 代数簇的不可约分解 3.3.4. 代数簇的直积 第四章 代数簇的态射与同构 4.1. 态射的定义 4.1.1. 仿射簇之间的态射 4.1.2. 坐标环的同态映射 4.1.3. 态射的性质与构造 4.1.4. 恒等态射与复合态射 4.2. 同构 4.2.1. 代数簇的同构定义 4.2.2. 同构的充要条件 4.2.3. 同构在代数几何中的意义 4.3. 闭合态射 4.3.1. 闭合态射的定义 4.3.2. 闭合态射的性质 4.3.3. 闭合态射与坐标环的性质 4.4. 像与核 4.4.1. 态射的像 4.4.2. 态射的核 4.4.3. 像-核分解 第五章 代数曲线 5.1. 代数曲线的定义 5.1.1. 一维代数簇 5.1.2. 代数曲线的坐标环 5.1.3. 代数曲线的不可约性 5.2. 代数曲线的几何分类 5.2.1. 有理曲线 5.2.2. 椭圆曲线 5.2.3. 超椭圆曲线 5.3. 代数曲线的奇异点 5.3.1. 尖点、二重点 5.3.2. 奇点的几何解释 5.4. 代数曲线的 genus 5.4.1. genus 的概念 5.4.2. genus 与曲线分类的关系 5.4.3. genus 与积分 5.5. 代数曲线的模空间 5.5.1. 模空间的思想 5.5.2. 曲线模空间的初步概念 第六章 预备代数概形理论 6.1. 环的谱 6.1.1. 质理想与环的谱 6.1.2. 谱的拓扑结构 6.1.3. 谱与环的对应关系 6.2. 概形的定义 6.2.1. 齐氏空间与结构层 6.2.2. 概形的定义 6.2.3. 仿射概形 6.3. 概形间的态射 6.3.1. 态射的定义 6.3.2. 态射的性质 6.4. 代数簇与概形的联系 6.4.1. 代数簇的概形化 6.4.2. 概形理论的优势 6.5. 概形模空间初步 6.5.1. 模空间的泛性质 6.5.2. 概形模空间的应用 前言 代数几何学是一门融合了代数与几何的精妙学科，它利用代数工具研究几何对象的性质，揭示了抽象代数结构与具体几何形态之间的深刻联系。本书旨在系统地介绍代数几何学的核心概念与基本方法，为读者构建一个坚实的理论基础。我们将从群、环、域等基础代数概念出发，逐步引入向量空间、拓扑空间等几何背景，为后续代数簇的构造与性质探讨奠定基础。 本书第二章将深入探讨代数簇的定义，从多项式方程组出发，通过希尔伯特零点定理将代数理想与几何零点集建立起精确的对应关系。我们将介绍仿射代数簇的概念，并在此基础上引入射影空间，构造射影代数簇，从而拓展代数几何的研究对象。 第三章将聚焦于代数簇的几何性质。我们将讨论维数理论，理解代数簇的“大小”；深入研究奇异点的概念，探究簇上“不光滑”的部分；并探讨代数簇的可数性、连通性等拓扑和代数性质，为进一步的分析提供工具。 第四章致力于代数簇之间的态射和同构。我们将定义态射，并探讨其性质，特别是闭合态射。通过同构的概念，我们能够辨别不同代数簇在代数几何意义上的等价性，理解结构上的同一性。 第五章将重点研究代数曲线，作为一维的代数簇。我们将介绍代数曲线的定义、几何分类，深入分析其奇异点，并引入代数曲线的“Genus”这一重要不变量，揭示其深刻的几何意义。此外，还将初步触及代数曲线模空间的概念，为更复杂的几何对象的研究埋下伏笔。 第六章将初步介绍代数概形理论。我们从环的谱出发，理解代数结构如何映射到几何空间。在此基础上，我们将定义概形，并探讨概形间的态射，最终阐明代数簇与概形之间的紧密联系，以及概形理论在代数几何中的普适性和优越性。本书还将简要介绍概形模空间的概念，为读者开启更高级的代数几何探索之旅。 本书的编写力求逻辑严谨，概念清晰，并尽量减少抽象概念的堆砌，通过具体的例子和直观的解释来帮助读者理解。我们相信，通过对本书内容的学习，读者能够对代数几何学有一个全面而深刻的认识，并为进一步深入研究打下坚实的基础。 --- 第一章 预备知识与基础概念 在深入代数几何的宏大世界之前，对一些基础的代数和拓扑概念进行回顾和梳理是至关重要的。这些概念如同构建一座宏伟大厦的基石，没有它们，后续的理论发展将显得空中楼阁。本章将系统地梳理这些预备知识，为读者在代数几何的旅途中提供坚实的支撑。 1.1. 群与环 群和环是抽象代数中的两个基本结构，它们提供了研究对称性、运算性质以及数字系统的一般框架。 1.1.1. 群的定义、性质与分类 一个集合 $G$ 配合一个二元运算 $$ 构成一个群 $(G, )$，如果它满足以下四个条件： 1. 封闭性： 对任意 $a, b in G$，有 $a b in G$。 2. 结合律： 对任意 $a, b, c in G$，有 $(a b) c = a (b c)$。 3. 单位元： 存在一个元素 $e in G$，使得对任意 $a in G$，有 $a e = e a = a$。 4. 逆元： 对任意 $a in G$，存在一个元素 $a^{-1} in G$，使得 $a a^{-1} = a^{-1} a = e$。 若群还满足交换律（即对任意 $a, b in G$，有 $a b = b a$），则称该群为阿贝尔群（或交换群）。 群的性质十分丰富，例如单位元是唯一的，每个元素的逆元也是唯一的。群的分类是一个复杂但极其重要的领域，例如有限单群的分类问题是数学史上的一大壮举。在代数几何中，我们经常会遇到阿贝尔群，它们在研究向量空间、模以及代数簇的结构时扮演着重要角色。 1.1.2. 环的定义、性质与分类 一个集合 $R$ 配合两个二元运算（通常记作加法 $+$ 和乘法 $cdot$）构成一个环 $(R, +, cdot)$，如果它满足以下条件： 1. $(R, +)$ 是一个阿贝尔群（其中加法单位元记作 $0$）。 2. 乘法满足结合律：对任意 $a, b, c in R$，有 $(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。 3. 乘法对加法满足分配律：对任意 $a, b, c in R$，有 $a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c$ 和 $(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$。 若环 $(R, +, cdot)$ 中的乘法也满足交换律，则称该环为交换环。若存在乘法单位元 $1$（使得对任意 $a in R$，有 $a cdot 1 = 1 cdot a = a$），则称该环为含单位元的环。 代数几何的核心研究对象——代数簇，通常是在某个域上定义的，而域本身就是一个特殊的交换环。多项式环、矩阵环等也是代数几何中常见的环。 1.1.3. 域与代数闭域 一个交换环 $k$ 如果满足以下条件，则称其为一个域： 1. $k$ 包含至少两个元素（即 $0
eq 1$）。 2. 对任意非零元素 $a in k$，存在其乘法逆元 $a^{-1} in k$。 域的例子包括实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$、有理数域 $mathbb{Q}$，以及有限域 $GF(p^n)$。域是代数几何中最基本的“系数”来源，代数簇的定义依赖于其定义域的性质。 代数闭域是指该域上的任意非零单变量多项式都有根。例如，复数域 $mathbb{C}$ 是代数闭域，而实数域 $mathbb{R}$ 不是（例如 $x^2+1=0$ 在 $mathbb{R}$ 中无根）。代数闭域在代数几何中尤为重要，因为许多几何性质在代数闭域上才表现得更为清晰和完备。 1.1.4. 模的初步概念 设 $R$ 是一个环。一个集合 $M$ 配合一个加法运算和作用于 $M$ 上的由 $R$ 中的元素定义的标量乘法，若满足一系列性质（类似于向量空间），则称 $M$ 为 $R$ 左模（如果 $R$ 是交换环，则左右模没有区别）。更具体地说，若 $(M, +)$ 是一个阿贝尔群，并且存在一个映射 $R imes M o M$, $(r, m) mapsto r cdot m$，使得： 1. $r cdot (m_1 + m_2) = r cdot m_1 + r cdot m_2$ 2. $(r_1 + r_2) cdot m = r_1 cdot m + r_2 cdot m$ 3. $(r_1 r_2) cdot m = r_1 cdot (r_2 cdot m)$ 4. $1_R cdot m = m$ (其中 $1_R$ 是 $R$ 的乘法单位元) 则 $M$ 是 $R$ 的左模。 在代数几何中，我们经常研究代数簇的坐标环，而坐标环上的代数（例如多项式环）的模是一个非常重要的研究对象，它编码了代数簇的局部几何信息。 1.2. 向量空间与线性代数回顾 向量空间是代数运算可以进行的“场所”，它为研究几何对象提供了结构化的语言。 1.2.1. 向量空间的定义与基 设 $V$ 是一个集合，其元素称为向量。设 $k$ 是一个域。若 $V$ 配合一个加法运算（记作 $+$, $V imes V o V$）和一个标量乘法运算（记作 $cdot$, $k imes V o V$），满足以下性质： 1. $(V, +)$ 是一个阿贝尔群。 2. 对任意 $a, b in k$ 和 $u, v in V$，有 $a cdot (b cdot v) = (ab) cdot v$ 且 $1_k cdot v = v$（其中 $1_k$ 是 $k$ 的乘法单位元）。 3. 对任意 $a, b in k$ 和 $u, v in V$，有 $a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v$ 且 $(a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v$。 则称 $(V, +, cdot)$ 是域 $k$ 上的向量空间。 基是向量空间一组线性无关且能够张成整个空间的向量。一个向量空间如果存在有限基，则称其为有限维向量空间，其维数等于基中向量的个数。 1.2.2. 线性映射与矩阵表示 设 $V$ 和 $W$ 是域 $k$ 上的向量空间。一个映射 $f: V o W$ 如果满足： 1. $f(u + v) = f(u) + f(v)$ 对任意 $u, v in V$。 2. $f(c cdot v) = c cdot f(v)$ 对任意 $c in k, v in V$。 则称 $f$ 为线性映射（或线性变换）。 当 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间时，选择 $V$ 和 $W$ 的基后，线性映射 $f$ 可以由一个矩阵 $A$ 表示。该矩阵将作用于向量的坐标表示上，实现从 $V$ 到 $W$ 的变换。线性代数的核心内容，如矩阵运算、行列式、特征值等，都是研究线性映射性质的工具。 1.2.3. 张量积的空间 张量积是构造新的向量空间的一种方式，它在代数几何中有着广泛的应用，特别是在研究多重线性映射以及构建更复杂的代数对象时。对于两个向量空间 $V$ 和 $W$，它们的张量积 $V otimes_k W$ 是一个由 $V$ 和 $W$ 的基张成的新的向量空间，其元素是形如 $v otimes w$ 的形式和（其中 $v in V, w in W$）的有限和，并满足特定的双线性关系。 1.2.4. 域上的多项式环 设 $k$ 是一个域。由 $n$ 个变量 $x_1, dots, x_n$ 生成的多项式环记作 $k[x_1, dots, x_n]$。它的元素是形如 $f(x_1, dots, x_n) = sum_{i_1, dots, i_n} a_{i_1, dots, i_n} x_1^{i_1} cdots x_n^{i_n}$ 的有限和，其中 $a_{i_1, dots, i_n} in k$ 是系数。多项式环是交换的、含单位元的环。 多项式环是代数几何中最基本的研究对象之一，代数簇本质上是由多项式方程组定义的几何对象。多项式环的理想（Ideal）的概念在代数几何中扮演着核心角色，它直接对应着代数簇的几何结构。 1.3. 拓扑空间基础 拓扑空间是研究连续性、连通性、紧致性等几何性质的框架。 1.3.1. 拓扑空间的定义与基本性质 一个集合 $X$ 配合一个拓扑 $mathcal{T}$（$X$ 的子集族），若满足以下条件，则称 $(X, mathcal{T})$ 为拓扑空间： 1. $emptyset in mathcal{T}$ 且 $X in mathcal{T}$。 2. 任意有限个 $mathcal{T}$ 中的集合的交集仍在 $mathcal{T}$ 中。 3. 任意个 $mathcal{T}$ 中的集合的并集仍在 $mathcal{T}$ 中。 $mathcal{T}$ 中的集合称为开集。开集是拓扑空间的基本构建块，它们定义了空间的“邻域”和“连续性”。 1.3.2. 连通性与紧致性 连通性： 一个拓扑空间 $X$ 是连通的，如果它不能被写成两个不相交的非空开集的并集。连通性反映了空间的“整体性”，一个连通空间在拓扑意义上是“不可分割”的。 紧致性： 一个拓扑空间 $X$ 是紧致的，如果它满足 Heine-Borel 定理的推广：从 $X$ 的任意开覆盖（覆盖 $X$ 的开集的集合）都可以选出有限个开集，它们也覆盖 $X$。紧致性是一个重要的局部性质，它通常意味着空间在某种意义上是“有限的”或“不无限扩张的”。 1.3.3. 闭集、开集与邻域 闭集： 一个集合 $C subseteq X$ 如果是某个开集的补集，则称 $C$ 为闭集。任意拓扑空间中，有限个闭集的并集是闭集，任意个闭集的交集是闭集，并且 $emptyset$ 和 $X$ 都是闭集。 邻域： 点 $x in X$ 的一个邻域是指包含 $x$ 的一个开集。更一般地，一个集合 $N$ 被称为点 $x$ 的邻域，如果存在一个开集 $U$ 使得 $x in U subseteq N$。邻域的概念对于定义收敛、连续性等性质至关重要。 1.3.4. 连续映射 设 $(X, mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, mathcal{T}_Y)$ 是两个拓扑空间。一个映射 $f: X o Y$ 如果满足：对 $Y$ 中的任意开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V) = {x in X mid f(x) in V}$ 在 $X$ 中是开集，则称 $f$ 为连续映射。 连续映射是保持拓扑结构（即开集结构）的映射。在代数几何中，我们将要研究的态射（morphism）在仿射概形的情况下，就具有连续映射的性质。 通过对这些基础代数和拓扑概念的掌握，我们就能更好地理解和接受代数几何中出现的更抽象、更深刻的概念。下一章，我们将正式进入代数簇的构建。
