复变函数与积分变换 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:机械工业

作者:杨巧林 编

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2007-9

价格:24.00元

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isbn号码:9787111103646

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《复变函数与积分变换》：探索抽象数学世界的钥匙 数学，是人类智慧的结晶，是理解宇宙运行规律的语言。在众多数学分支中，复变函数论与积分变换以其独特的魅力和强大的应用价值，在理论研究和工程技术领域占据着举足轻重的地位。本书《复变函数与积分变换》正是为那些渴望深入探索这个抽象而又充满力量的数学世界，并希望将其应用于实际问题的读者量身打造。 本书并非简单罗列公式和定理，而是力求从概念的源头出发，循序渐进地引领读者理解复变函数和积分变换的核心思想。我们将从复数这一概念的引入开始，逐步构建复变函数的基础理论。复数，这个看似简单的数系扩展，却为我们打开了一个全新的几何和代数视野。从复数的几何表示，到代数运算，再到复平面上的映射，我们将深入理解复数世界的多姿多彩。 第一部分：复变函数的基石 在构建了对复数及其运算的清晰认识后，本书将自然而然地引入复变函数的概念。我们并非仅仅将实变函数中的变量替换为复数，而是要深入理解复变函数的定义、性质以及它们在复平面上的行为。 复变函数的概念与性质： 从最基本的定义出发，我们将探讨函数的极限、连续性等核心概念在复数域中的表现。读者将了解到，在复数域中，函数的连续性比实数域更为严苛，这为后续的理论发展奠定了基础。 解析函数： 解析函数是复变函数论的灵魂。我们将详细阐述解析函数的定义，并深入探究其关键的充要条件——柯西-黎曼方程。本书将通过大量的例题和几何解释，帮助读者直观地理解解析函数在复平面上的“光滑”和“保角”性质。我们将探讨多项式、指数函数、对数函数、三角函数等初等复变函数的解析性，并展示它们在复平面上的各种变换行为，如旋转、缩放、平移等。 复变函数的积分： 在实变函数中，我们已经熟悉了定积分的概念。然而，在复数域中，函数的积分变得更加丰富和复杂。本书将引入复变函数的路径积分，并详细讲解格林公式在复平面上的推广——格林公式，以及其核心推论——柯西积分定理。柯西积分定理是整个复变函数理论的基石，它揭示了在单连通区域内，解析函数的路径积分与路径的起点和终点无关，甚至为零。 柯西积分公式： 在柯西积分定理的基础上，我们将推导出威力强大的柯西积分公式。这一公式不仅能够计算特定形式的复变函数路径积分，更重要的是，它揭示了解析函数在其定义域内的任意一点的值，都可以通过其边界上的值来确定。这表明解析函数具有极高的“光滑性”和“规律性”，其内部性质完全由边界性质决定。 解析函数的幂级数展开： 泰勒级数是实变函数中描述函数局部行为的重要工具。在复变函数中，解析函数同样可以进行幂级数展开，即泰勒级数。本书将详细讲解泰勒级数的收敛性，并介绍其在表示解析函数、判断解析性等方面的应用。 奇点与留数： 并非所有的复变函数都是解析的。在某些点上，函数可能表现出不规则的行为，这些点被称为奇点。本书将对孤立奇点进行分类，包括可去奇点、极点和本质奇点，并重点讲解留数的概念。留数是位于极点附近函数展开式中特定系数，它在计算复变函数积分方面具有至关重要的作用。 留数定理： 留数定理是复变函数积分计算的核心工具。它将函数在封闭曲线上的积分转化为了被积函数在曲线内部所有奇点的留数之和的简单计算。本书将通过大量的实例，演示如何利用留数定理计算各种复杂的复变函数积分，这对于工程和物理中的许多问题求解具有直接意义。 保角映射： 解析函数在复平面上的一个重要几何性质是保角性，即它们能够保持角度不变。本书将深入探讨保角映射的性质，以及它在解决边值问题、物理场分布等实际问题中的广泛应用。读者将了解如何利用共形映射将复杂的几何区域映射到简单的几何区域，从而简化问题的求解。 第二部分：积分变换的强大工具 积分变换是数学中一种非常重要的工具，它能够将一个函数从原来的域（例如时域）转换到另一个域（例如频域），从而简化复杂问题的分析和求解。本书将重点介绍两种最常用的积分变换：拉普拉斯变换和傅里叶变换。 拉普拉斯变换： 拉普拉斯变换是工程领域中解决常微分方程和线性系统问题的强大武器。本书将从定义出发，详细讲解拉普拉斯变换的性质，如线性性、时移性、频移性、微分性质、积分性质等。我们将通过列表的方式，提供常见函数的拉普拉斯变换，并重点介绍如何利用这些性质来求解微分方程。 拉普拉斯逆变换： 仅仅进行拉普拉斯变换是不够的，我们还需要能够将变换后的函数还原到原来的域。本书将介绍拉普拉斯逆变换的方法，包括利用表格、部分分式分解和卷积定理等。 拉普拉斯变换在工程中的应用： 我们将通过具体的工程实例，如电路分析、系统响应、稳定性分析等，展示拉普拉斯变换在实际问题求解中的巨大威力。读者将看到，原本复杂的微分方程问题，在经过拉普拉斯变换后，可以转化为代数方程，大大简化了求解过程。 傅里叶变换： 傅里叶变换是将一个信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。它在信号处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。本书将从傅里叶级数的概念出发，逐步引入傅里叶变换的定义、性质和几何意义。 傅里叶变换的性质： 与拉普拉斯变换类似，傅里叶变换也拥有许多重要的性质，如线性性、时移性、频移性、尺度变换、微分性质、卷积定理等。本书将对这些性质进行详细的阐述和推导。 傅里叶变换与傅里叶级数的关系： 读者将理解傅里叶变换是傅里叶级数在周期趋于无穷时的推广，以及它们之间的内在联系。 傅里叶逆变换： 我们将讲解如何通过傅里叶逆变换，将一个函数从频域转换回时域。 傅里叶变换在工程中的应用： 本书将通过实际案例，如信号的频谱分析、滤波、噪声抑制、卷积运算的简化等，展示傅里叶变换在通信、音频、图像等领域的广泛应用。 傅里叶变换与拉普拉斯变换的联系与区别： 读者将能够清晰地理解傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的联系和区别，以及它们各自适用的场景。 本书的特点与价值： 《复变函数与积分变换》不仅是一本教材，更是一本学习工具。本书的编写遵循以下原则： 概念清晰，逻辑严谨： 我们力求从最基本的概念出发，层层递进，保证数学逻辑的严谨性。 图文并茂，直观易懂： 对于抽象的数学概念，本书将配以大量的图示和几何解释，帮助读者建立直观的理解。 例题丰富，习题精选： 大量的例题和精心设计的习题，将帮助读者巩固所学知识，并培养解决问题的能力。 理论与应用结合： 本书在讲解理论知识的同时，强调其在物理、工程、计算机科学等领域的实际应用，激发读者的学习兴趣。 语言流畅，通俗易懂： 避免使用过于晦涩的语言，力求用清晰、流畅的语言表达复杂的数学思想，降低学习门槛。 通过学习本书，您将能够： 掌握复变函数论的核心概念和方法： 深刻理解解析函数、柯西积分定理、留数定理等，并能够熟练运用它们解决问题。 熟练运用拉普拉斯变换和傅里叶变换： 掌握这两种强大的积分变换工具，并能够将其应用于解决工程和物理领域的实际问题。 提升数学思维能力： 学习抽象数学概念的过程，将极大地锻炼您的逻辑思维和抽象思维能力。 为进一步学习打下坚实基础： 本书的内容是许多高等数学、工程数学课程的基础，掌握本书内容将为您的进一步学习提供有力支撑。 无论您是高等院校的学生，还是希望提升自身工程技术能力的专业人士，亦或是对抽象数学世界充满好奇的探索者，《复变函数与积分变换》都将是您不可或缺的得力助手。它将为您打开一扇通往更广阔数学世界的大门，让您领略数学的严谨之美和实用之光。

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对于非数学专业但需要用到复变函数的工科学生来说，这本书的难度可能偏高，但其价值也在于它的“硬核”。它没有过多地去渲染复变函数的“美”，而是专注于如何利用它来解决实际问题。我最喜欢的部分是它对奇异点分类和留数计算的详细阐述。作者清晰地列举了可去奇点、极点和本质奇点的判断标准，并通过大量的例题展示了如何选择合适的围道进行积分。特别是对于“跳跃”的积分路径，书中的处理方式非常规范，让我在做工程上的振动分析和信号处理的推导时，心里更有底气。不过，我建议初学者最好能配合一些可视化工具或者更偏向应用的书籍一起学习，因为这本书对抽象概念的“软化”工作做得比较少，它期望读者自己去体会那种从欧式空间到复平面的升维带来的直观变化。总而言之，这是一本可以伴随你整个研究生阶段的参考书，你会发现每次重温都有新的理解。

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说实话，刚开始看这本书的时候，我有点摸不着头脑，感觉内容跳跃性比较大，可能是我基础知识储备还不够扎实。但是，坚持读下去后，我发现作者的讲解思路其实是非常高效和凝练的。他似乎默认读者已经对实分析和基础微积分有了一个不错的理解，所以很多基础的铺垫都被省略了，直接进入到复变函数的奇妙世界。我特别欣赏它在介绍积分变换，特别是傅里叶和拉普拉斯变换时的处理方式。作者没有像某些教材那样把它当成一个独立的工具箱来介绍，而是紧密地结合了留数定理来展示其强大的计算能力。比如，如何利用围绕奇点的路径积分来求解一些实积分，这个技巧简直是神来之笔。书中关于保角映射的几何直观描述也做得比较到位，虽然图片不多，但文字描述的画面感很强，让我能想象出 $z=w^2$ 如何将上半平面“拉伸”成整个复平面。这本书更像一位经验丰富的老教授在给你“点拨迷津”，你需要有一定的自学能力去填补那些跳跃的空白点。

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这本书给我的感觉就像是拆解一台精密仪器，作者把复变函数的每一个“齿轮”——解析性、一致性、积分路径、留数——都拆开来，详细地展示了它们的构造和咬合方式。我特别喜欢书中对“路径无关性”的讨论，它不仅仅是一个数学结论，更是对保守场和势能概念的深刻诠释。作者通过对柯西积分定理和柯西积分公式的反复强调和变体，构建了一个强大的理论框架。在学习如何利用洛朗级数展开来处理具有奇点的函数时，书中提供的分解技巧非常实用，能够有效地将复杂的表达式转化为易于处理的标准形式。对于我这样注重方法论的学习者而言，这本书的价值远超单纯的知识点罗列。它教会了我如何用一种更广阔、更对称的视角去看待函数和空间的变换，这对于我后续处理电磁场理论中的复杂边界条件问题时，提供了强大的思维武器。

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这本《复变函数与积分变换》的教材，我拿到手的时候就感觉分量十足，不是那种轻飘飘的入门读物。翻开目录，果然是直击核心的课程内容。作者的叙述风格非常严谨，每一个定义、每一个定理都推导得一丝不苟，对于我这种喜欢刨根问底的理工科学生来说，简直是福音。比如，在讲柯西黎曼方程推导的时候，作者没有直接给出结论，而是用了好几步的极限和微积分的技巧来铺垫，让我清晰地理解了为什么函数要在复平面上满足那样的条件才能可微。书中大量的习题设计也极其巧妙，很多基础题夯实了概念，而后面的挑战题则需要你综合运用多个知识点，尤其是在等角映射和留数定理的应用上，简直是把复杂的几何问题转化成了简单的代数计算，那种豁然开朗的感觉，在很多其他教材里是体会不到的。当然，初次接触可能会觉得有些枯燥，但一旦你沉下心来，跟着作者的逻辑走一遍，你会发现数学的美感就在于这种精确和普适性。这本书无疑是一本扎实的工具书，对后续学习如偏微分方程、广义相对论等都有着不可替代的基础作用。

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这本书的排版和装帧都给人一种古典的学术气息，内页的纸张质量也很好，适合长时间阅读和在上面做大量的批注。我个人觉得，这本书在处理“解析性”这一核心概念时显得尤为深刻。作者反复强调了复变函数相较于实变函数的优越性——一旦可微，就意味着无限次可微，并且可以被泰勒级数完全展开，这种“一步登天”的特性被刻画得淋漓尽致。在介绍幂级数展开和一致收敛性时，作者的论述逻辑非常缜密，完全没有那种为了凑字数而堆砌定理的感觉。很多涉及复积分的定理，如格林公式的复变推广，作者都给出了严谨的证明，这对于我们理解物理定律的普适性非常重要。唯一的缺点可能是，对于一些高阶的特殊函数（如贝塞尔函数）的引入和应用介绍相对较少，如果能增加一些它们在物理场中的具体应用案例，那就更完美了，但瑕不掩瑜，它依然是该领域内不可多得的精品。

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