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出版者:Wiley

作者:Raymond A. Barnett

出品人:

页数:624

译者:

出版时间:2008-11-18

价格:$ 230.80

装帧:Hardcover

isbn号码:9780470280768

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《解析几何与应用：探索空间之美与工程实践》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的解析几何学导论，重点关注其在现代科学、工程、计算机图形学和数据分析等领域的广泛应用。我们不再仅仅将解析几何视为纯粹的数学分支，而是将其视为一种强大的建模和可视化工具，用以描述和解决真实世界中的复杂问题。 第一部分：基础构建——从二维到三维的过渡 本部分将读者从熟悉的两维笛卡尔坐标系平稳过渡到三维空间。我们首先复习并深化向量代数的基础，这是理解和操作高维空间的关键。重点在于向量的加减、标量乘法、点积（内积）以及叉积（外积）。点积的几何意义——投影与功的计算，以及叉积在确定平面法向量和计算面积方面的应用，将被详尽阐述。 随后，我们将引入空间中的基本几何元素：点、线和平面。针对直线，我们将探讨参数方程、对称方程以及点向式。特别地，我们将详细分析两条直线之间的关系（相交、平行、异面），并推导出它们之间最近距离的计算方法，这对于机器人路径规划和天体轨道模拟至关重要。 平面的概念是本部分的核心。我们将深入研究平面的点法式、一般式以及截距式，并侧重于如何利用法向量来理解和分析平面的几何特性。如何计算点到平面的距离，以及两个平面之间的夹角，这些都是后续三维建模的基础。 第二部分：二次曲面与高级几何形体 解析几何的魅力在于其描述复杂形体的能力。本部分将系统地介绍和分类主要的二次曲面，包括球面、椭球面、抛物面、双曲面以及圆锥面。对于每一种曲面，我们不仅会给出其标准方程，还会通过“截距分析法”（即考察曲面与坐标平面相交的截线）来帮助读者建立直观的三维图像。 为了更好地理解这些曲面的性质，我们将引入“二次型”的概念，并探讨主轴变换。通过坐标系的旋转和/或平移，可以将二次曲面化为最简形式，这对于识别曲面的类型和优化计算至关重要。例如，在处理光学反射或电磁场分布问题时，识别主轴方向是进行简化分析的前提。 本部分还将涉及圆柱面和特殊曲面的分析，以及如何使用参数化方法来描述那些不能轻易用标准隐式方程表示的复杂表面（如螺线面）。 第三部分：向量值函数与微积分的融合 解析几何与微积分的结合构成了微分几何的基础。本部分将引入向量值函数，即空间曲线的参数化表示 $mathbf{r}(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle$。我们将重点研究空间曲线的运动学性质：弧长、速度、加速度。 曲率（Curvature）和挠率（Torsion）是描述空间曲线弯曲程度和扭曲程度的关键概念。我们将推导它们的计算公式，并应用它们来分析弹道轨迹（如炮弹或卫星的轨道）的几何特征。特别是，我们将介绍弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式，展示如何通过曲率和挠率来完全确定空间曲线的形状。 此外，我们将探讨向量场。在流体力学和电磁学中，向量场描述了空间中每一点的流速或力。我们将引入线积分和面积分，并将其应用于计算穿过特定路径的通量或总功。格林公式、斯托克斯公式和散度定理（高斯定理）的几何意义将被详细阐述，强调它们如何将微积分转化为对封闭曲面和边界的积分，这是工程分析中的核心工具。 第四部分：解析几何在应用中的深化 本部分着重于将前述理论应用于实际问题，展现解析几何作为应用数学的强大威力。 计算机图形学中的应用： 我们将探讨如何使用齐次坐标系来表示三维变换（平移、旋转、缩放）。矩阵变换在三维渲染管线中的作用将被详细解析，包括透视投影和正交投影的几何原理。了解这些原理对于开发任何3D游戏引擎或CAD软件都是必不可少的。 优化问题与对偶性： 在多变量微积分的基础上，我们将使用拉格朗日乘数法来解决受约束优化问题，而几何直观（梯度向量与约束曲面的法向量平行）将贯穿始终。例如，如何设计一个形状，使其在给定表面积下体积最大化。 数据拟合与回归： 在统计学和数据科学中，经常需要用简单的几何形状（如平面或二次曲面）来拟合高维数据点云。我们将探讨最小二乘法在线性回归和非线性曲面拟合中的几何解释，例如如何找到最佳拟合平面。 机器人学与运动规划： 我们将分析机器人手臂的运动学模型，使用变换矩阵来描述连杆之间的相对位置和姿态。逆运动学问题本质上是一个复杂的几何约束求解问题，需要对坐标系之间的关系有深刻的理解。 本书的每一章都配有大量的例题和实际案例分析，旨在培养读者将抽象的数学概念转化为解决实际工程和科学挑战的能力。通过系统学习，读者将掌握分析和描述复杂三维环境所需的数学语言和工具。

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作为一名对数学概念的深度理解有较高追求的读者，这本书为我提供了极大的满足。作者在讲解每一个概念时，都力求深入浅出，并且会花费大量的笔墨去探讨概念的内涵和外延。我特别欣赏他在介绍三角函数定义时，不仅仅局限于直角三角形，而是从单位圆出发，清晰地阐述了三角函数在任意角度下的定义，这为理解后续更复杂的概念打下了坚实的基础。书中关于三角函数图像的绘制和性质分析的部分，是我学习的重点，也是我在这本书中收获最大的地方。作者不仅提供了不同类型三角函数的标准图像，还详细地分析了这些图像的周期性、对称性、振幅、相位偏移等关键特征。他鼓励读者尝试自己动手绘制各种变形的三角函数图像，并观察图像的变化规律，这种互动式的学习方式，让我对三角函数图像的理解更加透彻。我还在书中找到了关于“三角函数恒等式”的详细推导和分类，作者将复杂的恒等式分解为易于理解的步骤，并且提供了大量的练习题来巩固记忆。我尤其喜欢书中关于“三角函数的应用”一章，它不仅仅列举了几个简单的例子，而是深入探讨了三角函数在物理学中的波动方程、工程学中的信号分析、甚至在生物学中的种群动态模型等领域的应用。作者通过详细的数学建模过程，展示了如何将现实问题转化为数学模型，然后利用三角函数来求解，这种跨学科的应用能力，让我对数学的价值有了全新的认识。这本书给我带来的不仅仅是知识的提升，更是一种解决问题思路的启迪。

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这本书给我的感觉非常“实在”，内容充实，理论讲解透彻，并且应用案例丰富。作者在讲解每一个概念时，都力求做到严谨而又不失生动。我尤其喜欢他在介绍三角函数恒等式时，所做的详细推导和分类。他将复杂的恒等式分解为易于理解的步骤，并且提供了大量的练习题来巩固记忆。我还在书中找到了关于“三角函数的几何意义”的详细阐述，例如如何通过单位圆来理解正弦、余弦、正切等函数，这让我对三角函数的几何直观性有了更深刻的认识。书中大量的图示和数学模型，都为理解复杂的概念提供了极大的帮助。例如，在讲解三角函数在物理学中的应用时，作者就绘制了一系列关于振动、波动的示意图，清晰地展示了三角函数如何描述这些现象。我尝试着去解决其中的一些综合性题目，这些题目通常需要运用多个章节的知识才能完成，这对于培养我的综合解题能力非常有帮助。书中还包含了一些“拓展阅读”的内容，介绍了与三角函数相关的更高级的数学分支，这让我能够跳出教材的框架，去接触更广阔的数学世界。这本书给我带来的不仅仅是知识的积累，更是一种学习数学的动力和兴趣。

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这本书的逻辑结构清晰，内容循序渐进，非常适合初学者入门，同时也为有一定基础的读者提供了更深入的探索空间。作者在引入每一个新概念时，都力求从最基本的定义出发，然后逐步深入。我特别欣赏他在介绍三角函数图像的周期性和振幅时，所做的详细分析。他通过改变参数，展示了图像如何发生平移、伸缩和翻转，并解释了这些变换对函数性质的影响。这种“由简入繁”的学习方式，让我能够清晰地理解三角函数图像的各种变化。书中大量的习题设计得非常实用，它们涵盖了从基本计算到复杂应用等多种题型，并且每一道习题都提供了详细的解答过程。我尝试着去解答其中的一些题目，通过对照答案，我能够及时发现自己的知识盲点，并进行针对性的复习。我还在书中找到了关于“三角函数的级数展开”的介绍，虽然这部分内容可能相对抽象，但作者通过引入泰勒级数等概念，清晰地展示了如何用多项式来逼近三角函数，这为我理解三角函数在微积分中的应用打下了基础。书中还穿插了一些关于“三角函数在工程学中的应用”的案例，例如在信号处理、滤波器设计等领域，这让我看到了数学工具的强大威力。这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种解决问题的思路和方法。

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这本书的结构非常清晰，章节之间的逻辑衔接十分自然流畅，让我能够在一个连贯的学习路径上稳步前进。我尤其喜欢作者在每一章开头都会设置一个“本章导读”，简要介绍本章的学习目标和核心内容，这让我能够对即将学习的内容有一个整体的把握，从而更有针对性地去阅读。在章节内容方面，作者并没有一味地追求知识点的数量，而是注重对核心概念的深入讲解和反复巩固。例如，在介绍正弦定理和余弦定理时，作者不仅给出了它们的公式和证明，还通过大量的几何图形和实际应用案例，展示了它们在解决三角形问题中的重要作用。我还在书中找到了关于“三角函数的图像变换”的详细讲解，作者通过平移、伸缩、翻转等操作，清晰地展示了如何通过对基本三角函数图像的变换来得到各种复杂的三角函数图像，这对于我理解三角函数图像的周期性、振幅等性质非常有帮助。书中大量的例题设计得也非常精妙，它们涵盖了从基础到进阶的各种题型，并且每一个例题都给出了详细的解答步骤和思路分析。我尝试着去解答其中的一些习题，通过对照答案，我能够发现自己理解上的盲点，并及时进行纠正。这本书在数学的学习方法上也给了我很大的启发。作者强调“理解比记忆更重要”，鼓励读者在学习过程中多思考、多提问，而不是死记硬背公式。这种学习理念，让我受益匪浅。

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这本书的语言风格非常独特，既有严谨的学术性，又不失风趣幽默。作者在讲解复杂的数学概念时，经常会穿插一些生动形象的比喻或者小故事，这极大地缓解了学习过程中的枯燥感。我尤其喜欢他在介绍三角函数诱导公式时，运用“绕单位圆走路”的比喻，形象地解释了角度的变化如何影响三角函数值的符号和大小。这种富有趣味性的讲解方式，让我能够轻松地记住那些原本比较抽象的公式。书中大量的图示和表格也为理解概念提供了极大的便利。例如，在讲解三角函数的图像时，作者就绘制了各种不同颜色和线型的图像，清晰地展示了不同参数对图像的影响。我还发现了一些关于“三角函数在音乐和声音学中的应用”的章节，作者通过分析声波的振动模型，展示了三角函数如何被用来描述和合成各种乐音。这种跨学科的应用，让我看到了数学的无限可能性，也激发了我对音乐和声音学的兴趣。书中还包含了一些“挑战题”，这些题目通常需要运用多个章节的知识才能解决，对于培养读者的综合解题能力非常有帮助。我尝试着去解决其中的一些挑战题，虽然过程有些艰难，但每一次的成功都让我充满了成就感。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而有趣的老师，它引导我一步一步地探索数学的奥秘。

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我对这本书的整体印象可以用“严谨而又不失趣味”来概括。作者在数学的逻辑性和严密性上做得非常到位，每一个定理的推导都步步为营，清晰明了，很少有含糊不清的地方。我尤其欣赏他在证明过程中所采用的清晰的语言和逻辑结构，这使得即使是较为复杂的证明，也能被我一步一步地理解。在一些关键的定理推导过程中，作者还会穿插一些“提示”或“注意”的标注，提醒读者一些容易出错的地方或者需要特别关注的细节，这种细致入微的处理方式，极大地减少了我在学习过程中的困惑。同时，书中穿插的各种应用案例，又为相对抽象的数学概念注入了生命力。例如，在介绍复数与欧拉公式时，作者并没有止步于理论层面，而是详细阐述了复数在交流电路分析、信号处理等领域的实际应用，让我看到了数学工具的强大威力。我尤其喜欢其中关于“分形几何”的介绍，虽然这部分内容可能超出了三角函数的范畴，但作者巧妙地将其与三角函数中的迭代和递归思想联系起来，展现了数学不同分支之间的微妙联系，令我大开眼界。书中大量的图示和数学模型，都为我理解这些复杂的应用场景提供了直观的帮助。例如，在讲解傅里叶级数时，作者就用一系列动态的图形展示了如何用简单的三角函数去逼近复杂的周期函数，这种视觉化的演示效果，远比单纯的公式推导要来得深刻。总而言之，这本书在保持数学严谨性的同时，成功地将抽象的理论与生动的实际应用相结合，是一本兼具学术价值和实用性的优秀教材。

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这本书的写作风格非常独特，充满了作者个人的思考和独特的见解。他并没有照搬市面上其他同类教材的陈旧模式，而是试图以一种更具启发性的方式来引导读者。我尤其欣赏他对数学历史的梳理，在介绍某个重要公式或定理时，作者会花一部分篇幅讲述其诞生的背景、经历的曲折以及对后世产生的深远影响。这种“溯本求源”的方法，让我不仅仅是记住了一个孤立的数学符号或公式，更能理解其背后的逻辑和价值。例如，在讲解余弦定理时，作者就详细地介绍了毕达哥拉斯如何在三角形的边角关系研究中不断探索，最终形成这个重要的定理。这种对数学家们智慧的致敬，也让我对学习数学本身产生了更强的敬意。此外，书中大量的“思考题”和“拓展阅读”环节，也为我提供了额外的思考空间。这些题目并非简单的计算练习，而是更侧重于概念的理解和逻辑推理。作者鼓励读者在解决问题的过程中，发挥自己的想象力和创造力，去探索不同的解题路径。我尝试着解答其中的一些题目，虽然有些题目确实颇具挑战，但每一次的成功都给我带来了巨大的成就感。在“拓展阅读”部分，作者还引用了一些相关的研究论文和科普文章，这让我能够跳出教材的框架，去接触更广泛的数学世界。这种开放式的学习模式，非常适合那些希望深入理解数学本质，而不仅仅是应付考试的读者。这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种学习方法和思维方式的启迪。

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这本书在内容的深度和广度上都做得相当出色，为我打开了一扇通往更深层数学世界的大门。作者在介绍基础三角函数知识的同时，还巧妙地引入了一些更高级的概念，比如复数与三角函数的关系、三角函数在微积分中的应用等。我尤其欣赏他在讲解复数三角形式时，如何将复数的几何意义与三角函数的性质巧妙地结合起来，这让我对复数的理解上升到了一个新的高度。书中关于“极坐标系”的介绍也让我印象深刻。作者通过生动的图形和实例，展示了极坐标系在描述曲线和旋转对称性方面的优势，并且阐述了极坐标与直角坐标之间的转换关系，这为我理解一些更复杂的几何形状提供了新的工具。我还在书中找到了关于“三角函数在优化问题中的应用”的章节，作者通过一些实际的例子，展示了如何利用三角函数的周期性和对称性来求解一些优化问题，例如在一定范围内最大化或最小化某个函数的值。这种将抽象数学理论应用于解决实际问题的能力，让我对数学的价值有了更深刻的认识。书中还包含了一些“历史趣闻”，讲述了一些著名的数学家在三角函数研究过程中的故事，这让我感受到了数学发展的魅力和历史的厚重感。这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种对数学的敬畏和热爱。

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这本书的封面设计实在是让人眼前一亮，沉稳的蓝色搭配简洁的几何图形，透着一股严谨又不失活力的学术气息。翻开书页，纸张的质感相当不错，触感温润，即使长时间翻阅也不会感到疲劳。排版也非常用心，公式和图形清晰地呈现，注释和例题穿插其中，使得复杂的概念更容易被理解。作为一名对数学一直保持着好奇心的读者，我尤其欣赏作者在引入每一个新概念时所做的铺垫。他并没有直接抛出复杂的定义和定理，而是先从一些直观的、生活化的例子入手，比如用天文学中的距离测量来引出三角函数的应用，或者用工程学中的振动模型来解释周期性函数的概念。这种循序渐进的方式，极大地降低了阅读门槛，也让学习的过程变得更加有趣。我尤其喜欢其中关于“黄金分割”在自然界和艺术中应用的章节，它将枯燥的数学公式与美妙的艺术设计巧妙地联系在一起，让人不禁感叹数学的无处不在和深刻。书中大量的插图和图表更是锦上添花，它们不仅仅是简单的装饰，更是帮助理解抽象概念的重要工具。例如，在讲解同角三角函数的基本关系式时，作者就绘制了一系列以单位圆为基础的图形，清晰地展示了正弦、余弦、正切等函数在不同象限内的取值变化，这种视觉化的呈现方式，比单纯的文字描述要直观得多。我还在书中发现了一些关于三角函数在物理学、计算机图形学等领域的实际应用案例，这些案例让我对三角函数的价值有了更深刻的认识，也激发了我进一步探索这些交叉学科的兴趣。总而言之，这本书在内容编排、视觉呈现以及理论与应用相结合方面都做得非常出色，是一本值得细细品读的数学读物。

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这本书给我带来的最大感受是“启发性”。作者在讲解数学知识时，不仅仅是传递信息，更重要的是引导读者去思考，去探索。我特别欣赏他在介绍三角函数的历史发展时，所做的细致梳理。他讲述了古代数学家如何一步一步地发展出三角函数，以及这些知识是如何影响了人类文明的进步。这种对数学历史的关注，让我对数学产生了更深的敬意。书中大量的“开放性问题”和“思考题”，也为我提供了广阔的思考空间。这些问题没有标准答案，需要读者发挥自己的想象力和创造力去解决。我尝试着去解答其中的一些问题，虽然有些问题确实颇具挑战，但每一次的探索都让我受益匪浅。我还在书中找到了关于“三角函数在计算机图形学中的应用”的章节，作者通过详细的数学模型，展示了三角函数如何被用来实现旋转、缩放、透视等三维图形变换，这让我看到了数学在现代科技中的重要作用。书中还包含了一些“数学游戏”，通过游戏的方式来巩固和应用三角函数知识，这让学习过程变得更加有趣。这本书不仅仅是一本教材，更像是一本启迪智慧的读物，它让我对数学充满了好奇和热爱。

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