離散與組合數學 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:東華

作者:Ralph P. Grimaldi

出品人:

页数:0

译者:簡國清

出版时间:2005

价格:0

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isbn号码:9789861541075

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探索宇宙的秩序：一部关于美的数学之旅 本书并非《离散与组合数学》的姊妹篇，也并非旨在探讨其姊妹篇中的任何概念。相反，它是一次独立的、关于宇宙运行深层规律的数学探索之旅，一次对那些隐藏在看似杂乱无章现象背后的精妙结构的发现。我们试图描绘一幅数学之美的图景，而这幅图景并非由离散的元素或排列组合的技巧构成，而是源于对连续、变化以及存在于事物之间的内在联系的深刻洞察。 第一章：流动的画布——微积分的几何直觉 在浩瀚的数学海洋中，微积分犹如一支画笔，能够细腻地描绘出瞬息万变的景象。本章将摒弃枯燥的公式推导，而是专注于微积分的几何直觉。我们将从直观的角度理解导数——它不仅仅是变化率，更是曲线在某一点上的“瞬间坡度”，是切线如何揭示局部形态的秘密。我们还会深入探讨积分，将其视为一种累加过程，将连续的区域分割成无数 infinitesimal 的小块，然后将它们“缝合”起来，从而计算出面积、体积，甚至能量。 想象一下，你正站在山巅，微积分能够告诉你此时的上升速率；你又在海边，微积分可以帮助你计算潮水每日所覆盖的海岸线长度。我们不会涉及离散的变化，而是将重点放在连续流动的现象上，例如： 曲线的舞步： 如何通过导数分析函数的增减性、凹凸性，理解曲线的“呼吸”和“转折”，绘制出最精准的函数图像。 面积与体积的低语： 如何利用积分“切片”法，将复杂的几何体分解成简单的部分，从而计算出它们的精确尺寸。从简单的圆柱体积，到不规则图形的面积，再到三维空间的复杂形体，积分都能赋予我们掌控之力。 运动的轨迹： 如何利用微积分描述物体的运动状态，从速度到加速度，从位置到轨迹，一切都在连续变化的框架下被精准捕捉。 本章旨在培养读者对微积分“可视化”的理解，让数学不再是抽象的符号，而是能够触摸、能够感知的“形状”和“流动”。 第二章：无尽的螺旋——数学归纳法的逻辑之美 数学证明的严谨性是其生命力所在，而数学归纳法则是一种强大而优雅的证明工具，它如同抽丝剥茧，层层深入，最终揭示普遍真理。本章将深入探讨数学归纳法的逻辑结构，而非其在组合计数中的应用。我们将看到，数学归纳法并非仅限于证明离散的命题，它更是一种关于“可传递性”的深刻洞察。 想象一下，你拥有一个能够证明基础命题的“启动器”，以及一个能够从已证明的命题推导出下一个命题的“传递机制”。数学归纳法正是这样一种机制，它允许我们从一个个别的事实，推导出适用于无限多情况的普遍规律。我们将重点关注： 基础命题的稳固基石： 如何精确地设定第一个需要证明的命题，确保其成为整个证明的起点。 归纳假设的逻辑跳跃： 如何在假设某个命题为真时，构建出能够推导出下一个命题成立的逻辑链条。 归纳步骤的严谨性： 如何确保每一步推导都无懈可击，从而保证最终结论的普适性。 我们不会涉及数列求和或排列组合的公式证明，而是将数学归纳法作为一种普遍的推理范式，理解其在证明几何定理、拓扑性质，甚至在计算机科学中验证算法正确性时的深刻意义。通过本章，读者将领略到数学证明的逻辑之美，以及如何构建出坚不可摧的数学论证。 第三章：连接的节点——图论的结构之美 图论，一个描述对象之间关系的数学分支，它以其简洁的语言和强大的可视化能力，揭示了世界万物之间的内在联系。本章将探索图论的结构之美，但我们将关注点放在其对复杂系统建模的能力，而非计数或组合问题。 想象一下，世界中的每一个事物都可以看作是一个“节点”，而它们之间的相互作用或联系则是一条“边”。图论为我们提供了一个强大的框架来理解这些节点和边的组织方式，从而洞察整个系统的行为。我们将探讨： 网络的骨架： 如何用图来表示社交网络、交通网络、通信网络等，理解信息如何在其中传播，以及网络的鲁棒性。 路径的探索： 如何在复杂的网络中寻找最短路径、遍历所有节点的路径，这在物流、导航等领域有着至关重要的应用。 连通性与分割： 如何判断一个网络是否是连通的，以及如何将其分割成不同的子网络，这对于理解系统的模块化和故障隔离至关重要。 色彩的约束： 如何为图的节点分配颜色，使得相邻节点颜色不同，这在资源分配、调度等问题中有着广泛应用。 本章将通过具体的例子，展示图论如何帮助我们理解现实世界的复杂性。我们不会深入研究图的计数问题，而是专注于理解图的结构如何反映和影响其功能。 第四章：无限的探索——实数系的连续性与极限 在数学的殿堂中，实数系是我们构建连续世界的基础。本章将深入探讨实数系的连续性，以及极限的概念，而这与离散的计数和组合有着本质的区别。我们将看到，微积分的强大力量正是建立在这种连续性的基石之上。 想象一下，一条直线上的每一个点都对应着一个唯一的实数，而且在这条直线上没有任何“缝隙”。这就是实数系的连续性，它允许我们描述和分析无限细小的变化。我们将重点关注： 数的稠密性： 任意两个不同的实数之间，都存在无数个其他实数，这保证了实数轴的“无缝连接”。 柯西序列与完备性： 如何通过柯西序列的定义，严格证明实数系的完备性，即任何收敛于某个数的柯西序列，其极限都存在于实数系中。 极限的奥秘： 如何理解函数在某一点的极限，以及数列的极限。这并非简单的累加，而是对一个值“越来越接近”的状态的精确描述。 本章旨在培养读者对实数系连续性的深刻理解，以及极限作为描述无穷逼近过程的数学工具。我们将避免涉及与组合计数相关的证明，而是专注于实数系统本身的内在属性以及其在连续数学中的基础地位。 结语：美的交响 本书并非一部关于如何解决具体数学问题的指南，而是一次关于数学之美的发现之旅。我们希望通过对微积分、数学归纳法、图论以及实数系等主题的探索，展现数学中隐藏的秩序、逻辑和优雅。这些概念并非孤立存在，它们相互关联，共同构建了一个宏大而精妙的数学宇宙。我们所描绘的，是那些关于流动、变化、连接和无限的数学语言，它们比任何计算技巧都更能触及宇宙的本质。

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这本书简直是为我这种数学小白量身打造的，我一直对离散数学感到头疼，觉得它抽象得让人抓不住重点。但拿到这本《離散與組合數學》后，我发现它的讲解方式非常生动形象。作者似乎很懂得如何将复杂的概念用贴近生活的例子来阐述，比如在讲解集合论和逻辑推理的部分，他没有堆砌枯燥的公式，而是通过一些日常的场景来引导我们理解，让我这个“数学恐惧症”患者都能轻松入门。特别是书中对图论的介绍，配有大量的插图和具体的应用案例，比如网络路由、社交网络分析，让我清晰地看到了离散数学在计算机科学中的实际价值。读完前几章，我对数学的看法彻底改变了，不再觉得它是一门冰冷的学科，而是一种强大的思维工具。这本书的排版也很舒服，字体大小适中，逻辑清晰，即使是自学，也不会感到迷失方向，非常推荐给所有初学者。

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这本书的装帧和印刷质量给我留下了非常好的第一印象，纸张厚实，不易反光，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，它在内容组织上体现出一种非常严谨的学术态度。我特别留意了它在抽象代数与离散数学交叉领域的处理。例如，在讲授群论在编码理论中的应用时，作者的描述非常精准，用词考究，没有丝毫含糊不清的地方。这对于需要精确表达和理解的读者来说，是一种享受。书中对一些核心定理的证明过程，如最大流最小割定理的证明，逻辑链条异常完整，每一步的假设和结论都交代得一清二楚，这使得读者可以完全放心地跟随作者的思路深入理解。这本书更像是一部严谨的数学专著，适合那些已经有一定数学基础，追求学术深度和严谨性的读者。

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说实话，我更倾向于那些带有浓厚工程实践色彩的教材。这本书虽然是数学书，但它在“离散结构在信息技术中的应用”这一点上做得非常到位。在讲解布尔代数和逻辑电路设计的部分，它清晰地展示了如何将理论模型转化为实际的硬件逻辑，让我这个计算机专业的学生立刻找到了学习的兴奋点。它不仅仅停留在数学定义上，而是不断强调“这种结构能用来解决什么问题”。比如在算法分析那块，它巧妙地引入了数学归纳法来证明算法的正确性和复杂度，这种紧密的结合感，让我感觉离散数学不再是高高在上的理论，而是驱动我未来编程和系统设计的基础。这本书的优点在于它的前瞻性，它让我看到了数学语言是如何构建起整个数字世界的底层逻辑，实用价值极高。

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我是一名正在准备考研的本科生，时间紧任务重，急需一本能够快速提炼重点、直击考点的参考书。《離散與組合數學》这本书给我的感觉是“麻雀虽小，五脏俱全”。它的知识点覆盖面很全，从基础的命题逻辑到高级的容斥原理、鸽巢原理，几乎涵盖了所有考研大纲的要求。最让我满意的是它的习题设置，它不像有些教材那样只是罗列基础题，而是巧妙地将不同类型的考点融入到题目中。通过做这本书的配套习题，我感觉自己对考点之间的内在联系有了更清晰的认识。书中的例题解析非常详尽，即便是那些看似简单的题目，作者也会从不同的角度进行分析，让我学会了如何系统性地解决问题。总而言之，对于应试导向的学习者而言，这本书的效率是最高的，它能帮你少走很多弯路，直达目标。

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作为一名应用数学专业的研究生，我对教材的要求自然会更高一些，需要它不仅能讲清楚基础概念，更要在深度和广度上有所建树。这本书在这方面做得相当出色。它对组合数学部分的讲解尤其令人印象深刻，特别是关于生成函数和递推关系的处理，讲解得非常系统和深入。作者没有满足于给出公式，而是详细推导了每一步的逻辑，这对于理解原理至关重要。书中包含了许多经典的组合恒等式和证明技巧，对于我们进行更高级的理论研究非常有帮助。我特别欣赏它在每章末尾设置的“挑战性习题”，这些题目往往需要综合运用前几节的知识点，能有效地锻炼读者的分析和建模能力。对于希望从“会用”到“精通”的读者来说，这本书无疑是一个极佳的阶梯，它的内容扎实，足以支撑起更高阶的学习。

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