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出版者:北京师范大学出版社

作者:丁勇 编

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2008-1

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787303090822

丛书系列:21世纪高等学校研究生教材 数学学科硕士研究生系列教材

图书标签:

• 数学
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现代分析基础（“非”内容） 1. 关于“集合论基础”的视角转换：从公理化到直观构建 《现代分析基础》可能深入探讨了集合论作为分析学基石的必要性，但此处我们聚焦于那些可能未被作为核心叙事线的集合论主题。我们不探讨策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的具体公理体系，转而关注集合论在分析学应用中那些非形式化的、更偏向于直觉的构建过程。 例如，我们不会详细展开关于选择公理（AC）的逻辑推导及其在良序定理中的应用。相反，我们会关注：在不完全依赖AC的情况下，如何通过基本的并集、交集、笛卡尔积等操作，直觉地理解“函数”和“关系”的建立过程。这侧重于分析问题解决过程中，集合作为“容器”的实际操作性，而非其在逻辑哲学上的完备性。 侧重而非深入的领域： 有限集与无限集的可操作性对比： 强调如何在实际分析问题中区分并操作有限和可数无限集，而不深究不可数无穷的严格定义。 序关系（Order Relations）的直观几何意义： 关注实数线上序关系的几何表现，而非其在偏序集上的抽象定义。 2. 拓扑学：侧重于度量空间的应用性，而非一般拓扑空间的抽象性 现代分析的基石之一是拓扑学，但不同书籍的侧重点截然不同。《现代分析基础》可能将大量的篇幅用于建立一般拓扑空间的定义、开集、闭集、紧致性、连通性的抽象理论框架。然而，以下内容可能被我们搁置或仅作背景介绍： 我们不会深入讨论： 一般拓扑空间中的分离公理（Separation Axioms）： 例如 $T_3, T_4$ 空间的详细性质及其在度量空间中的必然满足性。 拓扑空间上的同胚（Homeomorphisms）的深度分类： 仅将同胚视为保持拓扑结构的一种等价关系，而不去探究不同拓扑空间类别之间的复杂映射理论。 点集拓扑学的构造性证明方法： 避免过于依赖抽象拓扑概念来证明微积分中的基本定理，而是倾向于使用更直观的、基于距离的论证。 替代关注点： 我们将把分析学的讨论严格限定在度量空间（Metric Spaces）的框架内。这包括对开球、闭球的明确定义，以及如何仅使用距离函数 $d(x, y)$ 来定义收敛性、完备性（作为一种“无洞”的完备性概念）以及连续性。焦点在于如何将这些概念应用于 $mathbb{R}^n$ 空间。 3. 实分析与微积分的差异：超越极限的“形式化”过程 如果《现代分析基础》侧重于从 $epsilon-delta$ 定义出发的严格性，那么以下这些在传统微积分或应用分析中常见的“工具性”内容，可能不会被作为主要章节进行详述： 多变量微积分中的微分形式（Differential Forms）： 避免涉及微分几何的语言，如外微分、楔积等，即使它们与更高维度的积分理论密切相关。 泰勒展开的高阶余项的严格分类： 可能只关注拉格朗日余项或柯西余项中的一种，而不全面系统地探讨所有余项形式的局限性与适用范围。 初等函数的构造性证明： 不会花费大量篇幅来严格证明 $exp(x)$、 $sin(x)$ 等函数是通过级数展开或微分方程解唯一性来定义的，而是直接将其作为已知的分析对象来使用。 4. 测度论的“几何化”理解而非“代数化”结构 测度论是现代分析的核心，但其深度和广度极大。《现代分析基础》可能倾向于建立勒贝格测度（Lebesgue Measure）的构造过程，但以下测度论中偏向于代数结构或高级几何测度的部分，可能不会被作为重点： 抽象测度空间与 $sigma$-代数的结构： 不会深入探讨 $sigma$-代数本身的性质，例如 $sigma$-代数是否总是可以通过拓扑结构生成，或者其代数运算的限制。 乘积测度与Fubini定理的严格条件： Fubini定理的证明和条件（例如，何时可交换积分次序）可能被简化为对 $mathbb{R}^2$ 上矩形区域的直观推广，而不会扩展到更一般的乘积 $sigma$-代数上。 测度论在概率论中的特定应用： 不会深入探讨条件期望、鞅论（Martingales）等依赖于测度论的概率论高级主题。 5. 傅里叶分析与泛函分析的初步接触：聚焦于工具而非理论完备性 许多分析教材会以傅里叶级数或泛函分析的初步概念作为高级分析的引子。如果《现代分析基础》避免了这些高级理论，那么它可能不包含以下内容： 周期函数的完备正交系： 不会深入讨论傅里叶级数在 $L^2$ 空间中的收敛性，以及其与希尔伯特空间的直接关联。 巴拿赫空间（Banach Spaces）的完整结构： 虽然可能会提到完备的赋范向量空间，但不会系统地讨论 Hahn-Banach 定理、开映射定理或闭图像定理等泛函分析的核心结果。 算子理论的引入： 不会涉及有界线性算子、谱理论等内容，因为这些通常是泛函分析的专属领域。 总结：本书的“非”核心关注点 综上所述，如果一本名为《现代分析基础》的书籍侧重于建立实数系统上的极限、连续性、微积分的严格基础，以及勒贝格积分的初步构建，那么它很可能淡化或完全省略了以下领域： 1. 集合论的深层逻辑哲学和公理系统的形式化检验。 2. 一般拓扑空间（非度量空间）的抽象理论。 3. 多变量微积分中涉及微分形式的高级几何概念。 4. 测度论中关于 $sigma$-代数结构和乘积测度的深度代数讨论。 5. 傅里叶分析和泛函分析中关于无穷维向量空间和算子理论的系统介绍。 这本书的“不包含”之处，恰恰是那些将分析学推向更抽象、更广阔的数学分支的桥梁。它专注于“脚下的土地”——即如何将直觉建立在坚实的 $epsilon-delta$ 基础之上。

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调和分析。哈代极大算子作用下的卷积性质（附加上泊松积分核）。LI可积函数的傅里叶反演不一定存在但是在恒等逼近算子收敛性意义下等价类；研究高斯和柏松和；在勒贝格积分L2（RN)中傅里叶变换是酉算子，且唯一性。Lp（p》2)的傅里叶变换是施瓦茨函数速降空间的同胚；有限复值 borel测度空间是无穷远为0的连续函数空间的对偶；C∞空间太大，C紧支集∞太小，而在速降空间中傅里叶变换适中；速降空间的对偶是缓增空间

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调和分析。哈代极大算子作用下的卷积性质（附加上泊松积分核）。LI可积函数的傅里叶反演不一定存在但是在恒等逼近算子收敛性意义下等价类；研究高斯和柏松和；在勒贝格积分L2（RN)中傅里叶变换是酉算子，且唯一性。Lp（p》2)的傅里叶变换是施瓦茨函数速降空间的同胚；有限复值 borel测度空间是无穷远为0的连续函数空间的对偶；C∞空间太大，C紧支集∞太小，而在速降空间中傅里叶变换适中；速降空间的对偶是缓增空间

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调和分析。哈代极大算子作用下的卷积性质（附加上泊松积分核）。LI可积函数的傅里叶反演不一定存在但是在恒等逼近算子收敛性意义下等价类；研究高斯和柏松和；在勒贝格积分L2（RN)中傅里叶变换是酉算子，且唯一性。Lp（p》2)的傅里叶变换是施瓦茨函数速降空间的同胚；有限复值 borel测度空间是无穷远为0的连续函数空间的对偶；C∞空间太大，C紧支集∞太小，而在速降空间中傅里叶变换适中；速降空间的对偶是缓增空间

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调和分析。哈代极大算子作用下的卷积性质（附加上泊松积分核）。LI可积函数的傅里叶反演不一定存在但是在恒等逼近算子收敛性意义下等价类；研究高斯和柏松和；在勒贝格积分L2（RN)中傅里叶变换是酉算子，且唯一性。Lp（p》2)的傅里叶变换是施瓦茨函数速降空间的同胚；有限复值 borel测度空间是无穷远为0的连续函数空间的对偶；C∞空间太大，C紧支集∞太小，而在速降空间中傅里叶变换适中；速降空间的对偶是缓增空间