Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Gerd Faltings

出品人:

页数:118

译者:

出版时间:1992-2-19

价格:USD 46.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780691025445

丛书系列:

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《算术黎曼-罗赫定理讲义》 本书旨在深入探讨20世纪数学史上具有里程碑意义的成果之一——算术黎曼-罗赫定理（Arithmetic Riemann-Roch Theorem）。作为连接代数几何、数论和代数K理论的核心概念，算术黎曼-罗赫定理以其深刻的洞察力和广泛的应用，为理解数域上的几何结构提供了全新的视角。本书将带领读者从基础概念出发，逐步构建起理解这一复杂理论所需的数学框架。 本书内容概览： 本书的结构设计力求循序渐进，确保读者能够扎实地掌握每一个关键概念。我们将从代数几何中的经典黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem for curves）出发，回顾其内容、证明思路以及几何意义。这将为我们过渡到算术情形打下坚实的基础。 随后，我们将进入算术黎曼-罗赫定理的核心。这需要引入一些数论和代数K理论的必要工具。 数域与算术曲线： 我们将首先回顾代数数域（algebraic number fields）的基本性质，包括其上的整数环（ring of integers）的结构。在此基础上，我们将引入算术曲线（arithmetic curves）的概念，例如光滑射影曲线在有限域上的情形，以及更一般地，定义在整数环上的曲线。理解这些对象的几何与代数结构是后续讨论的基础。 代数K理论初步： 算术黎曼-罗赫定理的表述离不开代数K理论（algebraic K-theory）的语言。本书将详细介绍与算术黎曼-罗赫定理相关的K理论概念，包括： 秩（Rank）与丝（Sheaf）的概念： 复习并扩展在算术几何背景下的丝理论，特别是关于向量丝（vector bundles）和代数丝（algebraic sheaves）的概念。 Picard群（Picard Group）与CaCl（Class Group）： 探讨一个数域上的算术曲线的Picard群的结构，以及与之密切相关的CaCl群。这将是理解线丛（line bundles）及其等价类的重要工具。 K₀群（K₀ group）与K₁群（K₁ group）： 介绍代数K理论中最基础的K₀群，它对应于向量丝的稳定等价类。在此基础上，我们将引入K₁群，其在算术黎曼-罗赫定理的表述中扮演着重要角色。 算术黎曼-罗赫定理的表述： 核心章节将专注于算术黎曼-罗赫定理的精确表述。我们将详细解释定理的各项组成部分，包括： Divisors（除子）与Line Bundles（线丛）： 在算术曲线的语境下，我们如何定义除子和线丛，以及它们之间的对应关系。 Degree（次数）与Arithmetic Degree（算术次数）： 算术黎曼-罗赫定理中的“次数”概念与经典黎曼-罗赫定理中的次数有所不同，它涉及到一个更精细的算术度量。我们将深入探讨算术次数的定义及其性质。 Cohomology Groups（上同调群）的维度： 算术黎曼-罗赫定理将上同调群的维度与除子的性质联系起来，这是其核心的计算作用。 Arithmetic Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem： 作为算术黎曼-罗赫定理的一个重要推广，我们将介绍算术Hirzebruch-Riemann-Roch定理，它将更一般的向量丝推广到算术情形。 证明思路与技术： 本书将提供对算术黎曼-罗赫定理证明的关键思路的深入分析。这通常涉及： 方法的引入： 算术黎曼-罗赫定理的证明往往需要结合代数几何、K理论和分析方法。我们将概述一些常用的证明策略，例如基于K理论的证明，或者利用谱序列（spectral sequences）等高级工具。 关键引理： 介绍证明过程中至关重要的引理和技术，例如与K-理论的Todd类（Todd classes）或Chern类（Chern classes）相关的算术版本。 应用与推广： 为了展示算术黎曼-罗赫定理的深远影响，本书的最后部分将探讨其在相关领域的应用与进一步的推广。 Arakelov几何： 算术黎曼-罗赫定理与Arakelov几何（Arakelov geometry）有着天然的联系，该几何学试图在代数曲线上引入“几何”的度量。我们将简要介绍Arakelov几何的概念，并说明算术黎曼-罗赫定理在此背景下的作用。 模形式（Modular Forms）与L-函数（L-functions）： 算术黎曼-罗赫定理与模形式和L-函数的理论有着深刻的联系，尤其是在研究算术对象的性质时。 Artin-Tate猜想（Artin-Tate Conjecture）： 算术黎曼-罗赫定理也对理解某些数论猜想，如Artin-Tate猜想，提供了重要的线索。 本书目标读者： 本书适合对代数几何、数论和代数K理论有一定基础的数学专业研究生、博士后研究人员以及对此领域感兴趣的数学家。读者最好具备代数几何中曲线理论、数域理论以及基本的K理论知识。 本书特点： 概念清晰： 致力于以清晰、严谨的方式阐述算术黎曼-罗赫定理的每一个数学概念。 系统性强： 从基础概念到核心定理，再到应用推广，本书构建了一个完整的学习路径。 注重证明思路： 除了定理的陈述，本书还将深入探讨证明背后的思想和关键技术。 为进一步研究奠基： 掌握本书内容将为读者进一步探索数论几何、算术几何等前沿领域打下坚实基础。 通过研读本书，读者将能够深刻理解算术黎曼-罗赫定理这一数学瑰宝，并从中领略到代数几何、数论和K理论交叉融合的巨大魅力。

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我对这本书的期望，很大程度上是希望它能为我打开理解“算术几何”这一宏大领域的另一扇窗户。我希望《Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem》能够清晰地阐释“算术”元素是如何被引入代数几何的，以及它如何改变了我们对几何对象的理解。我非常期待书中能够对“算术基点”的概念进行详尽的解释，以及它在定义算术除子和算术曲线中的作用。我希望作者能够以一种易于理解的方式，讲解定理中的各种“算术不变量”，以及它们与数域的类群、单位群等重要数论概念之间的联系。我也会密切关注书中对证明过程中使用的“层论”和“上同调”工具的详细介绍，以及它们如何被巧妙地应用于算术情境。如果书中能够通过一些具体的例子，展示出算术黎曼-罗赫定理如何帮助我们理解代数数论中的一些基本问题，比如理想的分布或类的性质，那将是我认为这本书最吸引人的地方。

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我对这本书的结构安排充满了好奇。一本好的“Lectures”系列书籍，通常会遵循一个逻辑清晰的脉络，逐步构建起复杂的概念体系。我非常想知道作者是如何组织讲解“算术黎曼-罗赫定理”的。它是否会先从经典的黎曼-罗赫定理讲起，然后逐步引入算术的元素，或者直接从算术几何的框架开始？我尤其关注那些在证明中起到关键作用的引理和定理，希望它们能得到充分的介绍和推导，而不是仅仅被提及。例如，如果书中能够详细解释“算术覆盖”的概念，以及它与数域的联系，这将是我非常乐于看到的。此外，我很想了解这本书是否会讨论算术黎曼-罗赫定理的一些变体或推广，比如针对不同类型的算术对象的版本。我对那些能够展示定理普遍性和灵活性的内容非常感兴趣。如果书中还能包含一些历史性的文献回顾，介绍该定理是如何一步步发展起来的，那将是对我理解其深层意义的巨大帮助。

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这本书的作者在学术界的声望，无疑是我选择阅读它的一个重要因素。我希望作者能够凭借其深厚的专业知识，将“算术黎曼-罗赫定理”这一复杂主题，以一种既严谨又不失生动的方式呈现出来。我特别期待在书中看到作者对于证明方法的独到见解。例如，是否会讨论不同的证明策略，并对比它们的优劣？我希望书中能够提供足够的背景知识，使得即使我不是算术几何领域的专家，也能逐步理解定理的核心思想。这可能意味着需要对数论中的一些基本概念（如伽罗瓦表示、代数数论）以及代数几何中的基本工具（如概形理论、层论）进行必要的梳理。我对那些能够帮助读者建立起“算术”与“几何”之间桥梁的内容尤其感到兴奋。如果书中能够提供一些关于如何应用算术黎曼-罗赫定理解决具体问题的示例，那将是我认为这本书最宝贵的财富之一。

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我之所以被这本书吸引，是因为“算术黎曼-罗赫定理”本身就代表着数学中一个非常迷人的交汇点——数论与代数几何的深度融合。我希望这本书能够清晰地勾勒出这种融合是如何实现的，以及它带来了哪些新的数学工具和研究方向。我特别期待书中对“算术覆盖”和“算术除子”等概念的精确定义和详细解释，以及它们如何在定理的陈述和证明中发挥作用。我希望作者能够以一种循序渐进的方式，引导读者理解定理的各个组成部分，特别是那些在算术情境下进行推广的“不变量”和“维数公式”。我还会关注书中对不同证明方法的介绍，是否能够清晰地展示出算术几何的独特技巧。如果书中能够提供一些关于算术黎曼-罗赫定理在数论研究中的具体应用案例，例如与代数数论、自守形式等领域的联系，那将是我认为这本书最具价值的方面。

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对于这本书，我最深的期待是它能够以一种引人入胜的方式，揭示“算术黎曼-罗赫定理”背后深刻的数学思想。我希望书中能够详细阐述“算术”这个概念是如何被引入和操作的，以及它如何丰富了经典的黎曼-罗赫定理。我特别关注书中对“算术除子”和“算术向量丛”等核心概念的定义和性质的介绍，希望它们能够清晰地展示出数论与几何之间的联系。我期待作者能够以一种系统性的方式，讲解定理的证明过程，特别是那些利用了“层论”和“上同调”工具的巧妙之处。我也会留意书中是否讨论了算术黎曼-罗赫定理在不同算术几何情境下的变体和推广，以及它们如何帮助我们理解数域的算术性质。如果书中能够通过一些具体的例子，展示出该定理如何被用来解决数论中的一些经典问题，比如费马大定理的某些方面，那将是我认为这本书最有价值的贡献。

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这本书的封面设计，虽然我无法在此细述，但它传递出的学术严谨感和一丝神秘感，无疑加深了我对内容的期待。阅读一本关于“算术黎曼-罗赫定理”的书，对我而言，不仅仅是为了掌握一个定理本身，更是为了理解它背后的深刻思想。我非常看重作者在引导读者理解定理“为何重要”方面的努力。例如，它是否能解释为何需要将黎曼-罗赫定理推广到算术领域，以及这种推广所带来的新的数学洞见。我希望书中能对“算术”这一概念在代数几何中的具体体现有详细的介绍，比如引入的“算术覆盖”、“算术群”等概念，以及它们与经典代数几何对象之间的联系。我特别关注定理在证明过程中所涉及到的工具，比如各种类型的上同调理论（如德拉姆上同调、贝蒂上同调等）以及它们在算术曲线上如何被定义和运用。如果书中能通过一些具体的例子来佐证定理的陈述和证明，那将大大增强我学习的信心和乐趣。我期待这本书能以一种引人入胜的方式，揭示出数学家们如何巧妙地将几何直觉与数论的严谨相结合，创造出如此深刻的数学工具。

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作为一名对数学充满热情的研究者，我对《Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem》的期待，更多地集中在其对定理背后数学思想的深度挖掘上。我希望这本书不仅仅是定理的陈述和证明的集合，更能深入探讨“算术”这个概念如何改变了经典的黎曼-罗赫定理的内涵和应用。我非常感兴趣作者是如何处理“模”和“算术群”等概念的，以及它们在定理中的作用。我希望书中能够提供一些关于定理在不同算术几何情境下的具体表现，比如在有限域上的代数曲线，或者在整数环上的代数簇。我对那些能够展示定理与数论中的其他重要结果（例如，类数公式、L函数）之间的联系的内容尤为关注。如果书中能够通过一些巧妙的例子，展示出算术黎曼-罗赫定理如何帮助我们理解数域的算术性质，那将是我认为这本书的价值所在。

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我一直对数学中那些将看似不相关的领域联系起来的思想感到着迷，“算术黎曼-罗赫定理”正是这样一个例子，它将数论的抽象性与代数几何的几何直观相结合。我希望《Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem》能够生动地展示这种结合是如何发生的，以及它为数学研究带来了哪些新的可能性。我非常期待书中能够对“算术”这一概念在代数几何中的具体实现方式进行深入的剖析，比如如何定义“算术基点”以及它在定理中的作用。我希望作者能够以一种清晰且富有逻辑的方式，讲解定理中的“算术不变量”是如何计算的，以及它们与数域的算术结构，如单位群、类群等之间的关系。我对书中是否包含对定理不同证明路径的比较以及它们各自的优点和局限性的讨论，也充满了期待。如果书中能够提供一些关于算术黎曼-罗赫定理在数论研究中的实际应用案例，例如在狄利克雷 L 函数理论中的作用，那将是我认为这本书最吸引我的地方。

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这本书的标题——《Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem》——在我第一次看到时就吸引了我。它承诺着深入探讨一个在数论和代数几何交叉领域中至关重要的定理，而“ Lectures”这个词本身就暗示着一种教学性的、循序渐进的讲解方式，这对于我这样想要系统学习这一复杂主题的读者来说，是极具吸引力的。我尤其期待它能以一种清晰且有条理的方式，逐步引导读者理解定理的各个方面，从其历史渊源，到其核心的数学思想，再到它在现代数学研究中的应用。通常，像“算术黎曼-罗赫定理”这样深奥的主题，往往需要扎实的背景知识，我希望这本书能够提供必要的铺垫，即使我的基础不是那么深厚，也能跟随作者的思路。我希望书中能包含对关键概念的详细阐释，例如算术曲线、除子、秩，以及它们在算术情境下的推广。我也会留意作者在证明过程中的处理方式，是否能够清晰地展现出定理的精妙之处，以及不同的证明思路之间的联系。总而言之，我对这本书抱有很高的期望，希望它能成为我通往这一数学前沿的宝贵向导。

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这本书的标题，尤其是“Lectures”一词，预示着一种深入且系统的讲解。我非常期待这本书能够为我提供一个坚实的理论基础，以便我能真正理解“算术黎曼-罗赫定理”的精髓。我希望书中能够详细介绍算术几何中一些核心的构造，比如“算术曲线”的定义，以及如何定义其上的“算术除子”和“算术向量丛”。我特别关注定理的陈述中那些与数论紧密相关的“算术不变量”，希望书中能对它们的含义和计算方法进行清晰的说明。我也会留意书中是否提供了关于证明过程中所涉及的“算术覆叠”和“算术伽罗瓦作用”的详细解释。如果书中能够通过一些具有代表性的例子，展示出算术黎曼-罗赫定理如何被用来研究数域的算术性质，比如与高斯互易律或二次互易律的联系，那将是我认为这本书最有价值的部分。

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算数曲面Riemann-Roch 类比经典的代数曲面。arithmetic Chern-classes. 热核方法证明指标定理。

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算数曲面Riemann-Roch 类比经典的代数曲面。arithmetic Chern-classes. 热核方法证明指标定理。

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算数曲面Riemann-Roch 类比经典的代数曲面。arithmetic Chern-classes. 热核方法证明指标定理。

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算数曲面Riemann-Roch 类比经典的代数曲面。arithmetic Chern-classes. 热核方法证明指标定理。

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算数曲面Riemann-Roch 类比经典的代数曲面。arithmetic Chern-classes. 热核方法证明指标定理。