Recent Advances In Elliptic And Parabolic Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Chen, Chiun-Chuan (EDT)/ Chipot, Michel (EDT)/ Lin, Chang-Shou (EDT)

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2005-2

价格:$ 171.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812561893

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆问题
• 抛物问题
• 数值分析
• 有限元方法
• 泛函分析
• 数学物理
• 常微分方程
• 应用数学
• PDEs

流体力学中的非线性演化方程：从基本原理到前沿应用 图书简介 本书旨在为研究生和研究人员提供一个全面且深入的视角，聚焦于流体力学领域中一类至关重要的数学工具——非线性偏微分方程（PDEs）的最新进展。不同于侧重于椭圆型或抛物型方程的经典分析，本书将视角独特地投向那些描述复杂流体运动、能量耗散与波动力学等现象的演化方程。我们着重探讨那些在数学结构上具有显著非线性和高度非局部性特征的方程组，例如非线性泊肃叶方程（Navier-Stokes 方程组的简化或特定情形）、非线性对流-扩散方程、以及与界面流动、湍流模型相关的复杂方程。 第一部分：基础理论与数学框架的深化 本部分首先回顾了分析非线性演化方程所需的基础分析工具，但其侧重点在于超越经典线性理论的局限。我们不纠缠于标准的抛物型方程（如热传导方程）的正则性理论，而是直接进入更高层次的数学挑战。 1.1 非线性演化方程的结构分类与解的唯一性 我们将探讨一阶到高阶时间导数的非线性方程，包括那些包含高阶空间导数项的方程。重点分析了涉及 Burgers 方程、KdV 方程等典型非线性结构的更高维或耦合系统。讨论了基于能量法、熵解法以及粘性解概念来确立解的弱解或经典解的唯一性与存在性。特别关注了在低正则性或不规则初始数据下，解的构造性方法，如半群理论在非线性情形下的推广与局限。 1.2 能量耗散与长期行为分析 对于描述粘性流体或具有耗散机制的系统，能量的衰减性质是理解系统稳定性的关键。本书详述了如何利用特定的 Lyapunov 泛函来估计解的 $L^p$ 范数或 Sobolev 范数随时间的演化。我们深入探讨了当时间趋于无穷大时，系统解的渐近行为——例如，是否收敛于平衡态、周期解，或是否存在奇异地爆炸的解（Blow-up）。对于具有保守性的非线性系统，我们讨论了 Hamilton 结构以及如何利用 Poisson 括号的概念来维持某些积分量（如质量、动量）的守恒性。 1.3 空间离散化与半离散方法的稳定性 在数值分析的背景下，非线性演化方程的空间离散化常常引入数值不稳定性和非物理的振荡。本章详细分析了有限差分法、有限元法以及谱方法在处理对流项（如 $mathbf{u} cdot abla mathbf{u}$）时的稳定性条件。重点讨论了迎风格式、中心差分格式在高雷诺数（高对流项）情形下的局限，并引入了诸如人工粘性、迎风耗散等稳定化技术，同时评估它们对物理精度造成的影响。 第二部分：关键物理模型与前沿数学挑战 本部分将理论工具应用于当前流体力学研究中的几个核心非线性问题。 2.1 湍流模型与随机微分方程的耦合 湍流是流体力学中最具挑战性的非线性现象之一。本书不直接求解全套 Navier-Stokes 方程，而是聚焦于平均场理论（RANS）和涡粘性模型（如 $k-epsilon$ 模型、 $k-omega$ 模型）的数学性质。我们将这些模型视为一组耦合的非线性演化方程，其中部分项可能被随机扰动项（Stochastic Terms）所替代，从而引入随机偏微分方程（SPDEs）的分析方法。讨论了如何处理这些混合型（确定性与随机性并存）方程的解的遍历性与平稳分布。 2.2 界面流动与相场模型 描述两种或多种流体（如油水混合、气泡动力学）界面的演化，涉及到高度非线性的运动学边界条件或相场模型（Phase-Field Models）。我们分析了 Cahn-Hilliard 方程或 Allen-Cahn 方程在流体力学背景下的非线性推广，特别关注曲率驱动的界面运动（如最小表面张力驱动的演化）所带来的四阶非线性扩散项。探讨了利用平均曲率流（Mean Curvature Flow）的理论来研究界面演化的长期正则性和尖点形成（Pinch-off）的临界条件。 2.3 井控制的非线性扩散与渗透 在地下水动力学或多孔介质流中，达西定律与质量守恒相结合形成了非线性渗透方程。这些方程通常表现为“退化抛物型”或“奇性半线性”形式，其中扩散系数依赖于解本身（通常是密度的幂律函数）。本书深入剖析了这些退化方程的特性，例如解的平滑性可以在某些区域丧失（形成尖锐的界面或渗透前沿），以及如何利用超弱解或广义解的概念来捕获这些物理上至关重要的不连续性。 第三部分：数值模拟的高级技术与可验证性 本部分关注如何用先进的数值方法有效地求解这些复杂的非线性演化系统，特别是那些对时间步长和空间分辨率要求极高的模型。 3.1 隐式时间积分方案与非线性系统的求解 对于描述高频振荡或强相互作用的系统，显式时间积分（如前向欧拉法）通常需要极小的时间步长（受 CFL 条件限制）。我们详细分析了隐式时间积分方案（如 Crank-Nicolson 或后向欧拉法）在非线性演化方程中的应用。关键在于，这些方法要求在每一步迭代中求解一个大型的、非线性的代数方程组。本书讨论了牛顿法、修正牛顿法及其预处理技术，用于高效地收敛到非线性修正项。 3.2 算子分裂法与交错时间步进 当演化方程由不同物理机制（如对流、扩散、反应项）的非线性算子耦合而成时，算子分裂（Operator Splitting）是一种强大的工具。我们分析了 Strang 分裂等方法的收敛性和误差估计，特别是在对流项处理（需要特殊处理以避免数值色散）与扩散项处理（通常允许较大的时间步长）之间进行权衡。重点讨论了适用于耦合多物理场问题的先进交错时间步进策略。 3.3 基于流形的数值方法与守恒律 对于明确要求守恒质量、动量和能量的非线性系统，标准的有限差分或有限元方法可能在数值上产生非物理的源或汇。本书介绍了基于流形（例如，将流体速度场限制在特定的李群或流形上）的数值方法，以及结构保存型算法（Structure-Preserving Schemes）。这些方法的设计目标是确保离散系统在时间演化过程中严格保持某些重要的物理守恒量，从而提高长期模拟的可靠性。 本书的最终目标是为读者提供一个分析非线性流体演化方程的综合工具箱，强调从严格的数学分析到前沿的物理建模与高效数值实现的无缝衔接。

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