Calculus of a Single Variable pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Houghton Mifflin School

作者:Larson, Ron/ Hostetler, Robert P./ Edwards, Bruce H.

出品人:

页数:760

译者:

出版时间:

价格:0.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780618595587

丛书系列:

图书标签:

微积分
单变量微积分
高等数学
数学分析
微积分学
Calculus
数学
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函数

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具体描述

探索数学的广阔疆域：超越单变量微积分的精彩世界本书将带领读者踏上一段引人入胜的旅程，深入探索高等数学领域中那些至关重要且应用广泛的分支，这些领域极大地扩展了单变量微积分所奠定的基础。我们将不再局限于对单个变量函数的分析，而是将目光投向更广阔的数学空间，揭示多变量函数、向量场、以及更抽象的结构所蕴含的深刻洞察力与强大工具。我们的旅程将从多元微积分（Multivariable Calculus）的迷人世界开始。在这里，我们将引入偏导数的概念，这使我们能够理解一个函数如何随着多个自变量的变化而变化，即使其他变量保持不变。我们将学习链式法则在多维空间中的推广，这对于理解复杂系统中的相互依赖关系至关重要。梯度向量的引入将为我们提供函数表面最陡峭上升方向的几何解释，而方向导数则允许我们计算函数在任意指定方向上的变化率。接下来的篇章将专注于多元函数的积分。我们不再满足于一维的面积或体积计算，而是将探索二重积分和三重积分。我们将学习如何在笛卡尔坐标系、柱坐标系以及球坐标系中设置和计算这些积分，每种坐标系的选择都将极大地简化特定几何形状的计算。这些积分工具是计算复杂物体的质量、重心、转动惯量以及电荷分布的基础。我们将深入研究雅可比行列式在坐标变换中的核心作用，理解它如何精确地量化了面积或体积的尺度变化，这是进行变量代换的理论基石。向量分析是本书的另一核心支柱。我们将定义向量场，这是一种将空间中每一点都与一个向量相关联的数学结构，广泛应用于流体力学、电磁学和引力理论中。我们将掌握线积分的概念，用于计算沿特定路径的功或质量，以及曲面积分，用于计算穿过曲面的通量。这些积分概念的真正力量体现在格林定理、斯托克斯定理和散度定理（高斯定理）这三大经典定理中。这些定理建立了不同维度上积分之间的深刻联系，将线积分、面积分与更简单的闭合区域上的多重积分联系起来，是物理学和工程学中诸多守恒定律的数学表达。在代数和分析的交汇点上，我们将介绍线性代数的基础知识。理解向量空间、线性变换、矩阵及其特征值和特征向量是理解高维几何和动力系统的关键。矩阵不仅是求解线性方程组的工具，它们更是描述旋转、缩放和剪切等几何操作的语言。特征值和特征向量揭示了线性系统中最内在的、不变的性质，例如振动的频率或系统的稳定性。为了处理更复杂的微分方程，我们将进入常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的世界。对于ODE，我们将系统地研究一阶和二阶线性方程的求解方法，包括使用积分因子、常数变易法以及拉普拉斯变换。拉普拉斯变换作为一种强大的积分变换工具，能将微分方程转化为代数方程，极大地简化了具有特定初始条件的初始值问题的求解过程。对于PDE，我们将专注于物理学中最基本的方程，如热传导方程（扩散方程）、波动方程和拉普拉斯方程。我们将探讨分离变量法，这是一种将复杂的偏微分问题分解为一系列可解的常微分方程的系统化技术。在引入这些方程的物理背景和边界条件后，读者将看到傅里叶级数和傅里叶变换如何成为解决这些方程，特别是处理周期性或局部化问题的关键数学工具。傅里叶分析将揭示任何复杂信号都可以分解为简单正弦和余弦波的叠加这一深刻原理。最后，本书还将探索级数理论的更深层次应用。我们回顾泰勒级数的收敛性分析，并将其推广到傅里叶级数，这不仅是分析周期函数的一种方法，也是连接离散信号处理与连续函数的桥梁。我们还会简要触及复变函数论的引言，认识到将实变量扩展到复平面后，函数的性质会变得更加丰富和“良好”，例如柯西-黎曼方程和留数定理的强大威力，这些工具在工程和物理的某些领域具有不可替代的地位。本书旨在培养读者将抽象的数学工具应用于解决复杂、现实世界问题的能力。它要求读者不仅要掌握计算技巧，更要培养一种对多维空间、连续变化和系统稳定性的深刻几何直觉。通过对这些高级主题的系统学习，读者将为深入研究理论物理、先进工程设计、数据科学以及数学建模打下坚实而全面的基础。