稀疏矩阵方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:sergio pissanetzky

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页数:0

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出版时间:1984-4

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isbn号码:9780125575805

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《矩阵运算的理论基石》 内容简介 本书深入剖析了现代科学计算与工程应用中不可或缺的矩阵理论与运算方法。从最基础的线性代数概念出发，循序渐进地构建起完整的矩阵理论体系。我们旨在为读者提供一个严谨且易于理解的学习路径，使其能够掌握矩阵的本质属性、结构特性及其在各类问题中的应用。 第一部分：矩阵理论基础 向量空间与线性映射： 在本部分，我们将首先回顾并深化向量空间的概念，包括子空间、基、维度以及线性无关性。在此基础上，引入线性映射（或称线性变换）这一核心概念，阐释其如何作用于向量空间，并探讨线性映射的核与像。我们将详细介绍如何用矩阵来表示线性映射，以及矩阵的运算（加法、数乘、乘法）如何对应于线性映射的复合与伸缩。 矩阵的构造与基本性质： 本节将详细介绍矩阵的定义、维度、元素表示法。重点讲解矩阵的各种特殊类型，如零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等，并探讨它们的代数性质。矩阵的转置、迹、范数等重要性质也将被一一阐述，为后续内容奠定基础。 行列式及其应用： 我们将深入研究行列式的定义、计算方法（代数余子式展开、初等行变换法）以及重要的几何意义（体积缩放因子）。行列式的性质，如行列式与矩阵可逆性的关系，以及如何通过行列式判断线性方程组解的情况，都将得到详尽的论述。 矩阵的秩与线性方程组： 矩阵的秩是理解线性方程组解的个数和结构的关键。本部分将详细讲解矩阵秩的定义、计算方法，并重点探讨矩阵秩与方程组（齐次与非齐次）解的存在性、唯一性之间的深刻联系。高斯消元法等求解线性方程组的基本算法也将在此基础上进行介绍。 第二部分：矩阵的分解与变换 特征值与特征向量： 特征值和特征向量是揭示矩阵内在性质的重要工具。本节将详细介绍特征值和特征向量的定义、求解方法，以及它们在分析动态系统、稳定性判断等方面的核心作用。我们将探讨特征值和特征向量与矩阵的相似性、对角化等概念的关联。 矩阵的对角化： 在满足一定条件下，矩阵可以被相似地转化为对角矩阵，这一过程称为对角化。本部分将深入探讨矩阵可对角化的充要条件，以及如何通过特征值和特征向量实现矩阵的对角化。对角化在简化矩阵运算、求解高阶线性常微分方程组等方面具有极其重要的价值。 矩阵的奇异值分解（SVD）： 奇异值分解是矩阵分析中一项极为强大的技术，其应用范围极其广泛。我们将详细介绍SVD的定义、几何意义，以及如何通过SVD来揭示矩阵的内在结构、降维、去噪、推荐系统等。SVD的计算方法以及其在数值稳定性方面的优势也将被深入探讨。 QR分解与LU分解： QR分解（正交三角分解）和LU分解（下三角和上三角矩阵分解）是数值线性代数中处理线性方程组和最小二乘问题的重要分解方法。本部分将介绍这两种分解的定义、构造算法（如Gram-Schmidt正交化、Doolittle法、Crout法），以及它们在求解线性方程组、计算矩阵逆、行列式等方面的应用，并分析其数值稳定性和计算效率。 第三部分：矩阵与数值计算 矩阵范数与条件数： 矩阵范数是衡量矩阵“大小”的指标，在分析算法的收敛性和稳定性方面至关重要。本节将介绍多种常用的矩阵范数（如1-范数、∞-范数、2-范数、Frobenius范数），并深入讲解条件数的概念及其在衡量线性方程组病态程度、预测数值解的误差放大方面的作用。 迭代求解线性方程组的方法： 对于大型线性方程组，直接求解方法（如高斯消元）往往计算量过大或数值不稳定。本部分将重点介绍经典的迭代方法，如雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法以及逐次超松弛（SOR）迭代法。我们将分析这些方法的收敛条件、收敛速度，并探讨如何根据问题特性选择合适的迭代策略。 矩阵的近似与降维： 在大数据时代，如何有效地处理和分析高维数据是关键挑战。本部分将介绍基于矩阵分解（如SVD）的近似技术，用于数据降维、特征提取和信息压缩。我们将探讨如何通过保留矩阵的主要成分来近似原始矩阵，从而实现数据的高效表示和存储。 数值稳定性与误差分析： 在实际的数值计算中，舍入误差和截断误差是不可避免的。本节将探讨数值计算中的稳定性概念，分析不同算法中误差的产生和传播机制。我们将介绍一些提高数值稳定性的技术，以及如何对数值计算结果进行误差评估，以确保计算结果的可靠性。 本书适合于高等院校理工科专业学生，以及从事科学计算、工程模拟、数据分析、机器学习等领域的研究人员和工程师。通过学习本书，读者将能够深刻理解矩阵在现代计算科学中的核心地位，并掌握运用矩阵方法解决实际问题的强大能力。

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相较于市面上许多侧重于特定应用（如机器学习或图论）的读物，《稀疏矩阵方法》的视野显得更为宏大和普适。它更像是一部涵盖了稀疏矩阵处理“工具箱”的百科全书。我发现书中对不同类型稀疏矩阵（如对称、不定、带状）的特性分析非常到位，并针对性地推荐了最适合的求解策略。例如，对于大型电磁仿真中常见的非对称系统，书中对Krylov子空间方法（如GMRES）的深入剖析，以及针对其重启策略和残差估计的优化方案，都值得细细品味。这种对问题普适性的把握，保证了即便是面对未来出现的新型稀疏结构问题，读者也能迅速找到切入点。全书的组织结构逻辑严密，层层递进，从最基本的存储到复杂的并行算法，构建了一个完整的知识体系，体现了作者深厚的学术功底和多年教学经验的沉淀。

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这本书的排版和图表设计也值得称赞，尽管主题是高度技术性的，但整体阅读体验相当流畅。作者在关键概念的引入上处理得非常得当，没有让公式淹没思路。例如，在阐述多重网格法（Multigrid）的加速机制时，配以直观的网格细化与光滑操作的示意图，极大地帮助了抽象概念的具象化。此外，书中对历史发展脉络的简要回顾，也让读者能体会到这些方法的演变历程，增加了阅读的趣味性。总而言之，《稀疏矩阵方法》无疑是一部在该领域内具有里程碑意义的著作，它不仅仅是一本参考手册，更是一份系统化的专业素养培养指南，对于任何严肃从事大规模数值计算工作的人员而言，都是案头必备的宝典。

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这本书的另一个显著特点，是它在算法实现细节上的详尽披露，这对于动手能力强的实践者来说是莫大的福音。我特别欣赏作者在介绍各种预处理技术时所展现出的工程智慧。例如，在讨论不完全LU分解（ILU）时，书中不仅给出了标准的分解步骤，还穿插了大量关于“填充（Fill-in）控制”的讨论，甚至提到了在实际并行计算环境中，如何权衡分解质量与计算成本的实际考量。这种将理论与工程实践紧密结合的叙事方式，使得原本枯燥的数值计算变得生动起来。我感觉作者像是一位经验丰富的老工程师在手把手地带我做项目，而不是一个高高在上的理论家。书中对于内存访问模式优化和缓存友好的数据结构设计的探讨，也让我对如何榨干硬件性能有了全新的认识，这在处理TB级别稀疏数据集时显得尤为关键。

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坦率地说，这本书的阅读门槛不低，它需要读者具备扎实的线性代数和数值分析基础。对于初学者而言，初期可能会感到有些吃力，尤其是在涉及特征值问题的部分，抽象性大大增强。但这种“高门槛”恰恰保证了其内容的深度和价值。我个人认为，它更适合作为一本进阶参考书或专业课程的教材。书中大量的数学符号和公式推导需要读者保持高度的专注力，但这换来的是对算法鲁棒性、稳定性和收敛性保证的彻底理解。它迫使读者从“如何调用函数”升级到“如何设计函数”，这种思维的转变，才是阅读一本经典专著的真正意义所在。我甚至将它放在手边，随时翻阅以巩固我对特定数值技巧的记忆。

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初次捧读《稀疏矩阵方法》这本书，我最深的感受是它对底层理论的扎实构建与精妙阐述。作者似乎秉持着一种“溯源而上”的治学态度，并没有急于展示那些光鲜亮丽的算法应用，而是将大量的篇幅倾注于对矩阵结构、存储格式乃至数值稳定性的数学原理的推导。特别是关于迭代求解器收敛性的那几章，讲解得极为细致入微，每一个不等式的推导过程都清晰可见，读起来仿佛回到了研究生时期在图书馆啃读经典教材的时光。它不仅仅是告诉你“A方法比B方法快”，更深层次地解释了“为什么快”，以及在何种数学背景下这种优势才会显现。对于那些真正想深入理解稀疏线性代数内核的工程师和研究人员来说，这本书简直是一本难得的内功心法秘籍。它没有华而不实的炫技，只有经得起时间考验的硬核知识，让人读完后对整个领域的基础框架豁然开朗，不再满足于停留在API调用的层面。

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