具体描述
高等数学学习指导（下册），ISBN：9787564013660，作者：高志强,等 编
《微积分基础与应用探析》内容概要 本书旨在为理工科、经济学及相关专业学生提供一套全面、深入且富有启发性的微积分学习资源。全书内容紧密围绕微积分学的核心概念、理论体系及其在现代科学、工程与经济领域的广泛应用展开，力求在夯实基础的同时，拓展读者的分析视野与解决问题的能力。 第一部分：函数、极限与连续性——分析的基石 本部分是微积分学的逻辑起点和分析基础。 第一章：预备知识与函数概念的深化 本章回顾了集合论的基本概念，重点梳理了实数系的完备性及其在分析学中的重要性。随后，对函数的概念进行了深入探讨，超越了初等代数的范畴，引入了函数的拓扑性质，如函数的单调性、有界性、奇偶性以及周期性，并详细阐述了复合函数与反函数的构造及其性质。特别地，本章引入了直观的集合论语言来描述函数的定义域、值域和图像，为后续的极限理论打下坚实的集合基础。 第二章：极限理论的严谨构建 极限是微积分的灵魂。本章将严格按照 $varepsilon-delta$ 语言来定义数列的极限和函数的极限。我们不仅会详细分析极限的四则运算规则，还会深入探讨极限的保序性与保持不变性。本章的重点难点在于“无限”的概念：无穷大与无穷小。通过丰富的例子，特别是涉及三角函数和指数函数的部分，帮助读者掌握极限的计算技巧，包括利用洛必达法则的初步铺垫（仅限于指数、三角函数等形式）。此外，本章还特别设置了“极限的几何直观理解”一节，试图弥合严谨的代数定义与直观的几何概念之间的鸿沟。 第三章：连续性——函数行为的平滑性 本章聚焦于函数在某一点的连续性及其在闭区间上的性质。我们将清晰界定左、右连续的概念，并推导出函数在一点连续的充要条件。随后，我们将深入探讨闭区间上连续函数的四大基本定理：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理以及零点定理。这些定理是后续微分学中证明许多关键结论的理论支柱。本章末尾通过分析不连续点的类型（跳跃不连续、可去不连续、无穷不连续），帮助读者建立对函数“断裂”程度的量化认识。 第二部分：微分学——变化率的精确描述 本部分将变化率的概念从平均变化率提升到瞬时变化率，构建微分学理论体系。 第四章：导数的定义与计算 本章从平均变化率过渡到瞬时变化率，给出了导数的精确定义，并从几何上阐释了导数与切线的关系，从物理上阐释了导数与瞬时速度的关系。计算方面，本章系统地推导了基本初等函数的导数公式，并详细讲解了微分法则：和、差、积、商的求导法则。至关重要的一节是复合函数的求导法则——链式法则的完整推导和多层复合的应用。最后，本章引入了反函数、隐函数及参数方程的求导方法。 第五章：微分的应用与高阶导数 本章首先引入了函数的微分概念，阐明了微分与导数的本质区别与联系，并探讨了微分在误差估计中的应用。随后，本章转向高阶导数，详细阐述了二阶导数的物理意义（加速度、凹凸性）。本章的重头戏是中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这些定理被誉为微分学的基石，我们将用直观的几何论证来加深理解。 第六章：函数的性态分析与图形绘制 本章是导数在定性分析中的集中体现。我们将导数应用于分析函数的单调区间、极值（极大值与极小值）的确定，以及利用二阶导数判断函数的凹凸性与拐点。通过系统化的步骤，本章指导读者如何综合运用这些工具，绘制出复杂的函数图形，揭示函数的内在结构。此外，本章还包括了函数的最大值和最小值的求解，这对优化问题至关重要。 第七章：洛必达法则与不定式极限 本章专注于解决那些在直接代入后出现 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式极限的问题。我们将严格证明洛必达法则的前提条件和适用范围，并演示其在处理 $infty cdot 0$, $infty - infty$, $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 等其他不定式中的转化技巧。本章强调对法则适用性的判断，避免盲目套用。 第三部分：积分学——积累与求和的艺术 本部分的核心是将无限小的量进行累加，以计算面积、体积、做功等累积量。 第八章：定积分的概念与计算 本章从几何上引入了曲边梯形的面积问题，通过黎曼和的概念和极限过程，严格定义了定积分。本章随后引入了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），这是连接微分学和积分学的核心桥梁。计算部分，本章系统讲解了换元积分法和分部积分法，这是定积分计算的两大核心技术，并配有大量需要灵活运用的范例。 第九章：定积分的应用 本章展示了定积分在解决实际问题中的强大能力。内容包括：计算平面图形的面积（包括参数方程和极坐标下的面积）、旋转体的体积、曲线的弧长、曲面的面积，以及物理学中的应用，如求质心、转动惯量、功和平均值等。本章强调建立数学模型的过程，即将实际问题转化为定积分表达。 第十章：不定积分与积分技巧 本章专注于求解不定积分，即导数为给定函数的原函数族。除了在第八章介绍的换元法和分部积分法外，本章着重介绍有理函数的积分（通过部分分式分解）以及三角有理式的积分（万能代换法等）。同时，本章也讨论了积分存在的条件和性质，为后续的广义积分做铺垫。 第四部分：超越有限——广义积分与无穷级数初步 本部分将分析的范围从有限区间和有限项扩展到无限区域和无穷项。 第十一章：广义积分 本章探讨了积分上限或下限为无穷大（无穷区间积分）或被积函数在积分区间内存在不连续点（瑕积分）的情况。我们使用极限的概念来定义和判断广义积分的收敛性，并系统区分收敛与发散的判定标准。 第十二章：无穷级数初步 本章引入了无穷序列和无穷级数的概念。我们将重点分析级数的收敛性判别方法，包括正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及交错级数的莱布尼茨判别法。对于非负项级数，本章还会简要引入比较判别法的极限形式。最后，本章对幂级数的概念和收敛半径的确定进行了基础性介绍，为后续函数展开做准备。 全书结构逻辑清晰，理论推导严谨，辅以大量的例题与习题，旨在帮助学习者建立起对微积分学严谨的分析思维和解决实际问题的能力。
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