题源（高中数学）4：平面向量 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:河北教育出版社

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出版时间:2007-4-6

价格:12.5

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isbn号码:9787543422070

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数学探源：解析几何的几何之旅 书名：数学探源：解析几何的几何之旅 作者：张建华 教授 出版社：博雅学苑出版社 --- 内容简介： 本书旨在带领读者深入领略解析几何这门学科的魅力，探寻其从古老的几何直觉到严谨的代数表达的演变历程。我们不满足于简单地罗列公式和例题，而是力求揭示隐藏在数学符号背后的几何直观，构建起几何与代数之间的坚实桥梁。全书内容严谨而又不失生动，适合对数学有浓厚兴趣的自学者、高中及大学初期的学生，以及希望提升自身数学素养的教育工作者。 第一部分：坐标系的建立与直线的代数描绘 本书的开篇，我们将从最基础的笛卡尔坐标系谈起。然而，我们的视角并不仅仅停留在“如何建立”上，而是深入探讨坐标系选择的合理性及其对后续计算的影响。 1. 坐标系的演进与基础： 从欧几里得的几何空间到笛卡尔的解析世界，我们追溯坐标概念的引入如何彻底改变了数学家处理空间关系的方式。我们将详细分析直角坐标系、斜角坐标系乃至极坐标系的基本原理和相互转换的几何意义。 2. 直线的代数肖像： 直线是平面几何中最基本的研究对象。本书将系统梳理直线的各种方程形式——点斜式、两点式、一般式、截距式。重点在于，我们不仅仅是记忆这些形式，而是探究每一种形式背后所蕴含的几何约束。例如，理解为何一般式 $Ax+By+C=0$ 能够简洁地表达所有直线（包括垂直于坐标轴的直线），其系数 $A$ 和 $B$ 与直线的法向量之间的深刻联系。 3. 距离与角度的解析表达： 两点间的距离公式的推导不再是单纯的勾股定理应用，而是与向量的模长概念进行初步的衔接。对于直线间的夹角，我们使用斜率 $k$ 的正切值进行度量，并深入剖析当斜率不存在（即直线垂直于 $x$ 轴）时，如何利用向量的内积或法向量来处理这些“边界情况”，确保数学模型的完备性。 4. 点线关系的高级应用： 讲解点到直线的距离公式，并着重于其几何意义——最短距离的垂直性。通过这一公式，我们可以引出垂足的坐标计算、线段的垂直平分线等经典几何问题的代数解法，展示解析几何在解决传统几何难题时的强大威力。 第二部分：圆锥曲线的统一视角 圆锥曲线是解析几何皇冠上的明珠，它们不仅是平面上最常见的曲线，其自身的生成过程也蕴含着深刻的几何美感。本书将以统一的、基于离心率的视角来审视椭圆、抛物线和双曲线。 1. 抛物线：轨迹与焦点： 抛物线的定义——到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹。我们将从这个定义出发，推导出标准方程 $y^2=2px$（或 $x^2=2py$）。重点分析抛物线的几何性质，如对称轴、顶点，以及切线方程的确定。我们将用向量的观点来阐释焦点弦的性质，避免仅仅停留在代数运算上。 2. 椭圆：有界运动的轨迹： 椭圆的定义——到两个焦点距离之和为常数的点的轨迹。通过对长短轴、焦距的定义，推导出标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$。我们深入探讨椭圆的离心率 $e$ 如何衡量其“扁平”程度，并详细分析参数方程的引入如何方便地描述椭圆上的任意一点，这为后续的动态分析打下基础。 3. 双曲线：分离与渐近： 双曲线是椭圆定义的自然延伸，即到两焦点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。它所具有的渐近线特征是其区别于前两者的关键。我们将分析其实虚轴的概念，并深入解析渐近线方程的几何来源——当 $|x|$ 或 $|y|$ 趋于无穷大时，曲线如何渐近于一条直线。 4. 统一性探讨：圆锥曲线的生成： 本部分的高潮在于，我们将回归到圆锥的截面——如何通过一个平面以不同角度切割一个圆锥，系统地生成抛物线、椭圆和双曲线。我们将简要介绍极坐标系下圆锥曲线的统一方程，展示解析几何的宏大结构。 第三部分：从代数到几何的升华：二次曲线的一般方程 本章将带领读者超越标准方程的限制，面对更一般位置的圆锥曲线。 1. 一般二次方程的识别： 介绍一般形式的二元二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。我们不直接求解复杂的坐标旋转，而是利用判别式 $Delta = B^2 - 4AC$ 来快速判断该方程代表的是椭圆、抛物线还是双曲线。这是代数工具识别几何形态的经典范例。 2. 平移与旋转：消除交叉项： 我们系统地讲解如何通过坐标系的平移来消除一次项（$Dx$ 和 $Ey$），从而确定曲线的中心或顶点。更关键的是，我们探讨如何通过坐标旋转来消除交叉项 $Bxy$，从而将任意位置的圆锥曲线转化到其标准形式。这一过程，虽然涉及三角函数计算，但其背后逻辑是寻找曲线的主轴方向，体现了几何对称性的重要性。 3. 几何性质的恢复： 通过将一般方程转化为标准形式，我们可以精确地计算出任意位置的圆锥曲线的焦点、准线、长轴、短轴等所有几何参数，从而实现从纯代数表达式到完整几何描述的完美转换。 第四部分：解析几何与向量的交汇 解析几何的现代发展离不开向量工具的引入。本部分将展示如何使用向量的运算来简化和深化对几何关系的理解。 1. 向量在直线中的应用： 用方向向量替代斜率来描述直线的方向，从而避免了斜率不存在的“奇点”问题。引入直线的参数方程，它不仅描述了直线上所有的点，还隐含了点的运动规律。 2. 向量在圆锥曲线中的应用： 向量的内积和外积在处理直线与圆锥曲线的位置关系，如求切线斜率、判断点与曲线的位置关系时，表现出极高的效率和清晰度。例如，利用向量的点积来定义焦点到准线的垂线，或者用向量的投影来计算点到直线的距离，其几何意义远比纯粹的代数公式更直观。 3. 极坐标的应用初探： 简要介绍极坐标系（$r, heta$）下，直线和圆的表达形式，以及它在描述与原点或某特定点有密切关系的几何图形时的优越性。 --- 本书特色： 注重几何直观： 每一条代数公式的推导，都伴随着对其几何意义的深入剖析。 强调统一性： 贯穿全书，力求从统一的数学思想（如离心率、向量）来审视和解决问题。 结构递进清晰： 从一维到二维，从直线到曲线，从特殊到一般，知识体系的构建遵循严格的逻辑顺序。 《数学探源：解析几何的几何之旅》 不仅仅是一本习题集，更是一次探索几何美学与代数精确性完美结合的学术旅程。通过阅读本书，读者将不再是被公式所束缚，而是能够用数学的语言，清晰而优雅地描绘我们所处的空间世界。

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这本书的封面设计，坦白说，第一眼并没有给我留下特别深刻的印象，那种经典的教科书风格，蓝白相间的色调，中规中矩的字体，让人觉得它很“正统”。然而，真正翻开书页，我才发现它内在的扎实。对于高中阶段的数学学习者来说，向量这个概念常常是一个转折点，它从传统的几何思维向更抽象的代数思维过渡，初学者很容易感到迷茫。这本书的优势在于，它没有急于抛出复杂的公式，而是花了大量的篇幅去构建“为什么需要向量”的逻辑基础。比如，在讲解向量的几何意义时，作者会用非常生活化的例子来解释单位向量、零向量这些基础概念，而不是直接给出定义。我特别欣赏它在向量加减法部分的处理，通过不同角度的插图对比，清晰地展示了三角形法则和平行四边形法则的等价性，这对于初学者理解向量的“方向性”和“合成”至关重要。这本书的习题设置也体现了循序渐进的原则，从基础的运算到后期的坐标表示，难度梯度设计得非常合理，不会让人在前半部分就产生畏难情绪。总的来说，这是一本适合用来打地基的教材，厚重而可靠，让人感到安心。

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说实话，刚拿到手时，我有点担心内容会过于理论化，毕竟“平面向量”听起来就带着一股浓浓的大学预科气息。但实际阅读下来，发现它非常贴合咱们国内高中数学的教学大纲要求，尤其是在处理那些每年高考都可能出现的“陷阱”题型时，这本书展现了极强的针对性。它的排版风格是偏向于紧凑和知识密集的，不像有些图文并茂的读物那样轻松，但信息密度极高，每一页都有可供推敲的内容。我特别注意到它对“向量在几何中的应用”这一章的拓展，它不仅讲解了如何用向量法证明三角形或四边形的性质，还引入了一些简单的向量优化问题，比如如何用向量的性质去寻找最值。这一点非常关键，因为它帮助学生从“工具的使用者”转变为“工具的设计者”。唯一的遗憾是，某些涉及复数或三维空间向量的初步概念的引入略显突兀，虽然是为了知识的连贯性，但对于基础薄弱的学生来说，可能会需要配合其他资料来消化这部分内容。但就平面向量本身而言，它的深度和广度是毋庸置疑的，绝对是案头必备的参考书。

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从一个常年与数学题打交道的读者的角度来看，这本书的价值在于它的“解题框架构建能力”。它不是一本简单的题库，而更像是一套解决平面向量问题的“方法论”。作者很注重对不同题型的归纳和总结，尤其是在处理涉及直线和向量夹角的问题时，它会系统地列出基于角度公式、点乘定义以及坐标运算的三种解题路径，并分析每种方法的优劣和适用场景。这种系统性梳理对于培养数学思维的全面性极为重要。举个例子，书中对于“用向量法求三角形面积”的讲解，直接给出了基于叉积（虽然在平面向量中是外积的绝对值，但其思想内核是相通的）的简洁公式，这比传统的海伦公式在处理不规则三角形时要高效得多。这本书的优点在于它的“高屋建瓴”，它教导我们如何从向量的视角去看待和解决原本复杂的几何问题，是一种思维层级的提升。对于希望在高难度综合题中取得突破的同学来说，这本书提供的不仅仅是知识点，而是一套完整的解题思维体系。

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我对这套书系的期待值其实挺高的，因为之前用过它们家的解析几何分册，印象不错。这本《平面向量》的阅读体验，则更像是在进行一次精密的“思维手术”。它不像一些辅导书那样追求花哨的解题技巧，而是致力于打通学生思维的“任督二脉”。书中对向量坐标化的过渡处理得尤其出色，很多学生在学到平面向量坐标表示后，往往会陷入纯粹的代数运算，从而忘记了向量的几何本质。这本书巧妙地在每一节的“思考与探索”中穿插了不同形式的几何问题，要求读者必须在向量运算和几何直觉之间来回切换。比如，在讲解向量的数量积（点乘）时，作者不仅仅停留在计算公式上，而是深入探讨了其几何意义——投影和夹角，这对于理解向量在物理学，尤其是力学中的应用，有着深远的铺垫作用。它的难点解析部分也做得非常到位，对于那些容易混淆的概念（比如零向量和单位向量的区别），总能用最简洁的语言给出最精准的界定，避免了晦涩难懂的学术术语堆砌。读完后，感觉像是给大脑装上了一套新的分析工具，看待平面几何问题的方式都变得更加立体和高效了。

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这本书的叙述语言风格，用一个词来形容就是“冷静而精准”。它没有太多激励人心的口号或者过于口语化的表达，而是像一位经验丰富、不苟言笑的导师，一步步引导你进入向量的严谨世界。我个人对数学教材的偏好就是这种风格，它要求读者保持专注力，因为任何一个细节的疏忽都可能导致最终结果的偏差。在讲解向量的线性组合和基底概念时，它处理得非常巧妙，将复杂的线性代数思想用最基础的向量运算来体现，为未来学习更高阶的数学内容打下了坚实的“代数直觉”。我印象最深的是书中对“向量共线”和“向量相等”的辨析，很多学生容易将两者混淆，这本书通过一个直观的例子——“两条平行的、等长的线段”，清晰地阐释了两者在方向和起点上的本质区别，这种对比式的讲解，效果胜过千言万语的定义堆砌。这本书的价值在于，它不仅教会你“怎么算”，更重要的是让你明白“为什么可以这么算”。

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