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出版者:厦门大学出版社

作者:陈绩馨

出品人:

页数:531

译者:

出版时间:2007-8

价格:42.0

装帧:平装

isbn号码:9787561527832

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 经管类
• 数学分析
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数理统计
• 考研
• 大学教材
• 理工科

基础代数与几何的精要：迈向抽象思维的阶梯 本书并非《高等数学经管类》的姊妹篇，它是一部独立、扎根于严谨逻辑与直观几何的数学基础教材，旨在为初学者构建坚实的第一块数学认知基石。 第一部分：代数结构的奠基——从集合到数域的拓展 本部分聚焦于数学中最基础的“语言”——集合论的公理化视角及其在代数结构构建中的作用。我们不预设读者对高等数学已有任何了解，而是从最朴素的直觉出发，逐步导入集合的运算、关系与函数的概念。 第一章：集合论基础与逻辑推理 我们将详细阐述朴素集合论的五个基本公理（或ZFC公理系统的简化版），重点讲解如何利用这些公理来定义自然数集 $mathbb{N}$。与专注于应用模型不同，本章着重于证明的艺术。例如，我们将严格证明“有限交的并集仍是有限的”，而非简单地陈述这一事实。 集合的运算与文氏图的局限性： 探讨集合的笛卡尔积、幂集的概念，并引入序对的构造，这是理解关系和函数的基础。 逻辑与证明方法： 系统的介绍直接证明、反证法（Reductio ad Absurdum）以及数学归纳法。我们使用大量的几何和算术例子（如素数的无限性）来巩固这些方法，确保读者理解“为什么”一个证明有效，而非仅仅“如何”进行操作。 第二章：整数、有理数与域的结构 本章将整数集 $mathbb{Z}$ 和有理数集 $mathbb{Q}$ 的构造视为一个抽象代数问题的具体实例。 整数的构造与同余关系： 通过等价关系（Equivalence Relations）的视角，将 $mathbb{Z}$ 定义为整数对 $mathbb{Z} imes mathbb{Z}$ 上的特定等价类。这为后续的抽象代数打下基础。 模运算与初等数论的引入： 详细讨论最大公约数（GCD）的欧几里得算法，并引入裴蜀定理（Bézout's Identity）的证明。我们引入同余类环的概念，但将讨论的深度限制在 $mathbb{Z}_n$ 的有限结构，避免引入群论的复杂性。 有理数的稠密性： 严格证明有理数集的稠密性，并初步探讨有理数域的“不完备性”，为下一阶段引入实数做铺垫。 第三章：向量空间导论——几何直觉与代数运算的结合 本章以二维和三维空间为载体，引入向量（Vectors）的概念，但将其完全置于代数运算的框架内。 几何向量的代数表述： 将向量定义为有序实数组 $(x, y)$，而非箭头。讨论向量的加法和数乘运算的封闭性。 线性组合与生成集： 引入线性组合（Linear Combination）的概念，并定义线性相关（Linear Dependence）与线性无关（Linear Independence）。我们使用几何上的共线、共面来辅助理解这些代数概念。 内积的引入： 定义二维空间中的点积（Dot Product），并利用其性质导出长度（范数）和角度的计算公式。本章的重点是理解基（Basis）的概念——一组最小的、能张成整个空间的线性无关向量。 第二部分：几何的精确化——欧几里得空间与变换的初探 本部分将焦点从纯粹的代数结构转向对空间和运动的精确描述，避免了微积分中极限和连续性的探讨，而是专注于刚性的几何变换。 第四章：解析几何的复兴——坐标系与曲线方程 本章回顾并深化了笛卡尔坐标系在描述几何对象中的威力。 直线与平面方程： 详细推导二维直线的一般方程和法向量表示。在三维空间中，重点讲解平面的点法式、截距式，以及空间中两平面夹角的计算。 二次曲线的识别与标准化： 集中分析圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）。关键在于使用配方法将一般二次方程化简为标准形式，并解释方程中系数（如判别式）与几何形状的对应关系。我们不涉及旋转和平移的矩阵运算，而侧重于代数变换。 参数方程的应用： 引入参数方程来描述运动轨迹，例如行星的椭圆轨道或螺旋线，强调参数 $t$（时间或角度）与几何位置的动态关系。 第五章：刚体变换——欧几里得空间中的几何映射 本章探讨保持距离不变的几何操作，为后续理解更高级的变换打下直觉基础。 平移与反射： 利用向量的加法和平面的法向量定义反射操作，重点分析反射操作的代数性质（如两次反射等于平移）。 旋转的几何构建： 在二维平面上，我们使用三角函数（而非复数或矩阵指数）来构建旋转公式。例如，通过将向量分解到坐标轴上，利用和角公式来推导旋转后的新坐标。 刚体运动的性质： 总结平移、旋转和反射的组合如何构成所有保持长度和角度不变的变换（欧几里得群的直观理解）。证明“任何两个全等的图形之间存在一个刚体变换”。 第三部分：基础分析的雏形——序列、级数与收敛性的直观理解 本部分极为谨慎地引入了“无限”的概念，将其视为一种“趋势”而非严格的极限过程，目的是培养读者对无穷过程的敏感性。 第六章：序列的极限——趋向性而非精确值 本章引入了序列（Sequence）的概念，并讨论其“最终行为”。 有界性与单调性： 定义单调递增和单调递减序列。利用单调收敛定理（不进行严格拓扑证明），直观地解释为什么有界单调序列必然趋于某个值。 算术序列与几何序列的渐进行为： 详细分析 $a_n = an+b$ 和 $g_n = ar^n$ 的长期表现。重点讨论 $r^n$ 当 $|r|<1$, $r=1$, $|r|>1$ 时的不同走向，这是对指数增长和衰减的直观感受。 柯西列的思想（非正式）： 引入“项与项之间越来越接近”的概念，作为对收敛性的一种非形式化描述，为理解“无限相加”的可行性做铺垫。 第七章：无穷级数的初步探索 基于对序列行为的理解，本章开始探讨无穷多个数的相加。 级数的定义与部分和： 将级数定义为序列的部分和的极限。 几何级数的和： 严格推导并证明 $|oldsymbol{r}| < 1$ 时，几何级数 $sum_{n=0}^{infty} ar^n = frac{a}{1-r}$ 的结论。这是本书中最接近微积分计算结果的部分。 调和级数的发散性： 使用著名的分组比较法（如 $left(1+frac{1}{2} ight) + left(frac{1}{3}+frac{1}{4} ight) + dots$）来证明调和级数 $sum frac{1}{n}$ 必将发散，培养读者对“慢速增长”的警惕性。 本书的宗旨在于：提供一个不依赖于微积分工具的、结构清晰的数学思维训练场。它专注于代数结构、逻辑推理和几何空间的精确描述，是通往更高阶数学领域（如抽象代数、线性代数或经典分析）的坚实、自洽的预备课程。

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这本书的理论深度，说实话，刚开始接触时感觉有点“硬核”，特别是涉及到线性代数那部分的内容。矩阵的秩、特征值、特征向量这些概念，在讲解特征值分解时，作者并没有直接跳到应用，而是先花了好大篇幅去解释其背后的几何意义——空间变换的本质。这种扎实的理论铺垫，对于我们未来学习计量经济学中的回归分析模型，比如主成分分析（PCA）的应用，是极其重要的基石。我之前在其他地方学到这些知识点时，总感觉像在套用一个黑箱公式，推导过程含糊不清。但这本书不同，它会耐心地告诉你，为什么特征向量描述的是变换后方向不变的向量，为什么特征值代表了拉伸或压缩的倍数。虽然理解这些几何图像需要花费额外的时间和精力去揣摩，但一旦打通了这层壁垒，后面涉及矩阵求逆、矩阵对角化等计算时，理解起来就豁然开朗了，仿佛所有的步骤都有了清晰的逻辑支撑。这种对数学“思想”的强调，远比单纯教授“计算技巧”要高明得多，真正体现了“高等”二字的价值所在。

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这本书的封面设计着实令人眼前一亮，那种深邃的蓝色调，配上烫金的标题字体，透着一股庄重又不失现代感的学术气息。我最初是冲着它在课程推荐书目中的高权重买的，毕竟作为经济管理类的学生，数学基础的扎实程度直接决定了未来分析模型的深度。拿到书后，我立刻翻阅了目录，结构安排得相当清晰合理。微积分部分，从基础的极限、导数讲起，逻辑链条非常顺畅，作者似乎非常理解我们这类应用型专业学生的思维定势，每一个理论引入都紧密地联系着实际的经济学问题，比如边际收益、弹性系数的计算，这比纯理论的数学教材要亲切得多。我特别欣赏它在例题选择上的独到之处，很多题目并非是枯燥的数值运算，而是直接模拟了市场供需、成本优化等场景，这使得学习过程不再是机械的公式堆砌，而是真正理解数学工具如何服务于管理决策。尤其是在多元函数应用那一块，梯度、Hessian矩阵在寻找最优解时的直观解释，比起我之前看过的某本理工科教材，要形象生动百倍，让我对优化理论有了更深层次的体悟。虽然内容深度不可避免地要比那些专为数学系学生编写的“天书”略浅一些，但对于我们搭建起坚实的数学思维框架来说，简直是量身定做，物有所值。

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与其他很多侧重于纯粹数学推导的教材相比，这本《高等数学经管类》在章节的衔接和知识点的引入顺序上，展现出了极强的“应用导向性”。例如，在介绍定积分的计算方法之前，它会先通过一个关于国民收入累积效应的例子来阐述为什么要引入定积分的概念，积分的几何意义在这里被赋予了经济学上的“累积量”的内涵。这种先提出问题、再引入工具的叙事方式，极大地激发了我学习的内在动力，让我时刻能感受到这门学科与我所学专业的紧密关联。我尤其喜欢它在最后附带的“拓展阅读与前沿应用”部分，虽然篇幅不长，但提及了如蒙特卡洛模拟在金融风险评估中的应用、动态规划在资源调度中的基础思想等，这些内容虽然超出主干课程的要求，却为我们后续深入学习更高级的运筹学或金融工程学课程埋下了极好的伏笔。它不只是一个知识的容器，更像是一个引导者，指引我们从基础数学的彼岸，眺望应用科学的远方，让人感觉手中的不仅仅是一本教科书，而是一张通往更广阔学术世界的地图。

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我是一个偏爱通过大量习题来巩固知识的人，这本书的习题设计简直是为我量身打造。它不是那种只有几个简单计算题凑数，最后才放一两个大题糊弄了事的模式。从章节末尾的练习来看，习题的梯度设置极其科学合理。首先是基础概念的辨析和直接代入计算，确保基本功过关；接着是应用型的中等难度题目，开始要求对知识点进行初步的组合运用；最后，往往压轴部分会设置一些需要综合运用多个章节知识才能攻克的“思考题”或“拓展应用”，这些题目往往具有很强的开放性和启发性，能真正锻炼独立分析问题的能力。更棒的是，这本书的答案解析部分处理得非常得体——它没有提供所有习题的完整解答过程，这一点我非常赞赏。对于那些基础题，只给出了最终答案，迫使我们必须自己完成推导；而对于那些真正有难度的拓展题，才会给出详尽的步骤说明。这种“点到为止”的解析策略，既保证了学习的有效性，又杜绝了直接抄袭答案的弊病，真正做到了引导学生独立思考，是本高水平的教材才会采用的处理方式，让我感觉自己是在“学数学”而非仅仅“做作业”。

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这本书的排版和印刷质量，说实话，在这个价位段能做到如此精良，真是让人惊喜。纸张的厚度适中，墨色浓郁且均匀，即便是长时间盯着那些密密麻麻的公式和符号看，眼睛的疲劳感也相对较低，这对于需要大量刷题和推导的数学学习来说至关重要。细节之处见真章，比如书中的图表绘制得极为精确，坐标轴的刻度和曲线的走势都清晰锐利，这对于理解函数图像的几何意义大有帮助。我对比了图书馆里几本更老的版本，新版的图文处理能力显然提升了一大截，特别是那些涉及三维空间的曲面图，立体感更强，有效避免了初学者在空间想象上的障碍。而且，书本的装订非常牢固，即便是频繁翻阅到一些关键的定理证明部分，书脊也丝毫没有松动的迹象，这对于需要反复研读的教材来说，绝对是加分项。另外，书中一些关键定义和定理还采用了不同字号或加粗处理，使得知识点的层级划分一目了然，学习起来思路不会打岔，这种注重用户体验的设计理念，在学术书籍中是难能可贵的，体现了编者对读者学习过程的深切关怀。

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