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出版者:高等教育出版社

作者:教育部考试中心

出品人:

页数:399 页

译者:

出版时间:2007年8月1日

价格:40.0

装帧:平装

isbn号码:9787040213089

丛书系列:

图书标签:

• 大纲
• 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析（数学一和
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跨越数字的边界：一部探索抽象思维与实用技巧的指南 图书名称： 《逻辑的织锦：从欧几里得到量子纠缠的思维漫游》 图书简介： 本书并非一本考试复习指南，而是一场深入人类理性思维核心的宏大探险。它旨在引导读者跳出标准课程体系的框架，去领略数学作为一门活的、不断演进的学科所蕴含的深刻美学与哲学意蕴。我们不再专注于解题步骤的堆砌，而是致力于剖析“为什么”以及“如何思考”这些数学概念诞生的历史背景、内在逻辑以及它们对现代世界产生的颠覆性影响。 第一部分：思想的源头——数学哲学的溯源与重构 本部分将我们带回到古代文明的璀璨星空下，考察数学思维的萌芽阶段。 1. 几何的诞生与欧氏体系的“绝对性”之辩： 我们将详细探讨欧几里得《几何原本》如何构建起一个严谨的公理化体系，以及这种体系在两千多年中被视为真理的社会心理基础。然而，重点将转向对第五公设的千年求索，分析波伊莱（Bolyai）和罗巴切夫斯基（Lobachevsky）如何通过否定该公设，开启了非欧几何的潘多拉魔盒。这不是关于证明题的讲解，而是关于人类如何敢于挑战“不言自明”的真理，以及这种挑战如何重塑了我们对空间本身的认知。我们将讨论射影几何（Projective Geometry）如何通过消除“无穷远”这一特殊点的地位，实现了一种更统一的空间观。 2. 希尔伯特纲领与二十世纪的危机： 考察十九世纪末期，集合论的悖论（如罗素悖论）如何动摇了数学的根基。希尔伯特试图通过形式主义为数学建立一个无懈可击的堡垒。然而，哥德尔（Gödel）的不完备性定理如同黑天鹅一般降临，宣告了任何足够强大的形式系统都无法自我证明其完备性和一致性。本书将以散文诗般的笔触，描绘数学家们在面对“绝对真理”坍塌时的震撼与重塑。这部分旨在培养读者对数学局限性的深刻理解，以及对真理的开放态度。 3. 直觉主义的抗争： 对比于形式主义，布劳威尔（Brouwer）的直觉主义哲学，强调数学对象的构造性，拒绝非构造性的存在性证明。我们将分析这种哲学立场如何影响了我们对无穷大和逻辑推理的接受度，它迫使我们反思：一个数学概念，如果不能被明确“构造”出来，它是否真的存在？ 第二部分：从确定性到混沌——连续性、无限性与随机性 本部分聚焦于数学如何处理那些看似无法被精确捕捉的现实现象。 1. 微积分的“幽灵”： 虽然微积分是应用数学的基石，但本书将着重探讨牛顿和莱布尼茨时代关于“无穷小量”的哲学争议。我们将介绍柯西（Cauchy）如何通过严格的 $epsilon-delta$ 定义来“清洗”这些“幽灵”，使微积分建立在坚实的极限理论之上。这不是计算导数和积分，而是探讨极限概念本身所包含的动态思维。 2. 傅里叶的频谱革命： 傅里叶分析揭示了任何复杂波形（无论是声音、光波还是电信号）都可以被分解为一系列简单的正弦波之和。本书将探讨傅里叶变换的深层含义：它提供了一种全新的视角，将时域的困惑转化为频域的清晰结构。这部分联系了信号处理、图像压缩和量子力学的基本运算。 3. 混沌的逻辑： 洛伦兹（Lorenz）的气象模型如何意外地揭示了“蝴蝶效应”？我们将深入探讨动力系统理论，分析为什么简单的非线性方程（如逻辑斯蒂映射）可以产生看似完全随机的行为。这里展示了决定论系统如何通往不可预测性，这颠覆了经典的拉普拉斯式机械宇宙观。我们探讨分形几何（Fractal Geometry）——曼德勃罗集（Mandelbrot Set）——如何用简单的代数公式描绘出自然界中无限的复杂性与自相似性。 第三部分：抽象的具象化——结构、信息与计算的本质 本部分探讨数学如何超越数字本身，成为组织信息和理解计算过程的通用语言。 1. 群论：对称性的代数语言： 群论（Group Theory）是抽象代数的核心，它研究的是变换（如旋转、反射）的结构。我们将不拘泥于费马大定理的证明，而是探索群论在晶体学、密码学（椭圆曲线加密）以及粒子物理学中的应用。通过理解群，我们理解了“结构不变性”这一宇宙的基本法则。 2. 图论与网络的拓扑： 从七桥问题到现代互联网的架构，图论（Graph Theory）为分析连接性提供了最简洁的工具。本书将探讨欧拉（Euler）的洞见如何演变成复杂网络科学的基础，包括最短路径算法、网络鲁棒性分析，以及如何用图来建模社交关系和社会传播的动态过程。 3. 图灵机与计算的边界： 图灵（Turing）的奠基性工作——图灵机——不仅仅是一种计算模型，它更是对“什么是可计算的”这一问题的深刻哲学回答。我们将探讨停机问题（Halting Problem）的不可解性，以此界定计算的极限。这部分将引导读者思考人工智能、算法复杂性（P vs NP问题）的深层含义，即有些问题在原则上就是难以解决的。 结语：数学作为一种思维方式 本书的最终目标是培养一种数学的视野：一种能够穿透表象，识别底层结构，并能以严谨而富有创造性的方式解决问题的能力。它邀请读者成为一名思想的探险家，而不是计算的执行者，去欣赏数学这门学科跨越历史、连接科学与哲学的无尽魅力。我们探索的是人类心智构造的宏伟殿堂，而不是考卷上的分数。

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这本书的重量感和内容密度，初拿在手里时确实让人感到有些沉甸甸的，但一旦深入阅读，就会发现这种“重”是物有所值的。它提供了一种非常系统化的、可以自我检验的学习闭环。除了理论讲解和例题分析，书中还穿插着大量的“自我检测小测验”。这些小测验的难度设置非常科学，它们不是简单地重复例题，而是对知识点进行了巧妙的重组和变式，能够有效地检验我是否真正理解了概念，而非死记硬背了步骤。更棒的是，它似乎预料到了读者在学习过程中可能会产生的知识漏洞，并在后续的章节中，以一种潜移默化的方式进行了回顾和强化。这种层层递进、互相印证的学习路径，构建了一个坚实的知识网络，让我感到自己的数学基础正在以一种前所未有的扎实程度稳步提升。

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初次接触这本书时，我最大的疑虑是它内容的前沿性和实用性。毕竟数学考试的内容更新迭代很快，很多旧的资料很快就会过时。然而，这本书给我的惊喜在于，它似乎完全把握了近年来考试的风向标。它的内容组织逻辑极其巧妙，不是简单地堆砌知识点，而是遵循着从宏观到微观的递进思路。比如，在解析某个专题时，它首先会概述这个知识点在历年试卷中的占比和侧重方向，然后才深入到具体的定理和解题技巧。这种自上而下的结构，让我能够迅速建立起对整个知识体系的全局观，避免了陷入题海战术的误区。更令人称道的是，书中对一些经典难题的剖析，简直是教科书级别的示范。它不仅仅给出答案，更重要的是展示了多种可能的解题路径，并分析了每种路径的优劣，这极大地拓宽了我的思维边界，让我学会了从不同的角度去审视同一个问题，这种思维训练比单纯记住解法有效得多。

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这本书的封面设计得十分大气，封面的配色以深蓝色为主调，搭配着一些几何图形的线条勾勒，给人一种严谨、专业的视觉感受。内页的纸张质感也相当不错，摸上去很光滑，而且油墨印刷清晰，字迹锐利，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。我特别喜欢它在排版上的用心，章节的划分非常清晰，每一部分的标题都用醒目的粗体字标出，让人一目了然。而且，书中大量的图表和公式推导都做得非常规范，那些复杂的数学符号看起来一点也不杂乱，这对于我们这些需要反复对照公式的学习者来说，简直是福音。翻阅过程中，我发现作者在细节处理上非常到位，比如一些关键概念的解释部分，都用了不同的颜色或加粗来突出强调，这种细致入微的处理，极大地提升了阅读体验，让人感觉这不是一本冷冰冰的教辅书，而更像是一位经验丰富的老师在旁边耐心引导。

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说实话，我是一个对数学有天生畏惧感的人，很多时候看到厚厚的公式和陌生的符号就想打退堂鼓。这本书的语言风格，可以说是完全打破了我对传统数学辅导书的刻板印象。它没有使用那种晦涩难懂的学术术语，而是用了一种非常贴近我们考生日常理解的口吻进行阐述。尤其是一些比较抽象的概念，作者会非常形象地打比方，仿佛在跟老朋友聊天一样，将原本“高冷”的数学知识变得平易近人。我记得有一次，我对一个涉及概率的复杂模型感到非常困惑，拿起这本书一看，作者用了一个生活中的小场景来模拟，一下子就茅塞顿开。这种“去专业化”的表达方式，极大地降低了学习的心理门槛，让我从“我学不会”的自我设限中走了出来，重新燃起了对数学学习的热情。

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这本书的价值，绝不仅仅停留在知识点的罗列上，它更像是一套完整的应试策略手册。我观察到，作者在章节末尾设置了“陷阱预警”和“得分点聚焦”两个板块，这两个部分的设计简直是神来之笔。陷阱预警部分，精准地指出了考生在解题过程中最容易犯的低级错误，很多都是我以前总是忽略的细节。而得分点聚焦，则像是一份精确的“阅卷标准指南”，它清晰地告诉我，在特定的题型中，哪些步骤是必须体现的，才能拿到满分。这使得我的复习工作变得更加有针对性，不再是漫无目的地刷题，而是带着明确的目标去攻克难点。这种对考试心理和阅卷机制的深刻洞察，体现出作者非同一般的教学经验和对考试制度的深刻理解，它让我感觉自己不只是在学习数学，更是在学习如何“考好”数学。

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