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现代科学计算与工程应用基础 作者： 李明 教授，张伟 博士 出版社： 科技前沿出版社 出版年份： 2023年 定价： 128.00 元 ISBN： 978-7-5045-XXXX-X --- 内容简介 本书旨在为理工科领域（包括但不限于计算机科学、电子工程、机械设计、材料科学以及物理学等）的本科生、研究生以及相关领域的工程技术人员，提供一套全面、深入且高度实用的现代科学计算与工程应用基础理论与实践指南。本书的撰写立足于当前学科发展的前沿，紧密结合行业需求，强调理论深度与实际操作能力的同步提升。 本书结构清晰，内容涵盖了支撑现代工程分析与决策制定的核心数学工具和计算方法，特别侧重于数值分析的鲁棒性、算法的效率优化以及在实际工程问题中的应用案例解析。 全书共分为六大部分，共十八章，详细内容如下： 第一部分：基础理论与计算环境（第1-3章） 本部分为全书的基石，旨在巩固读者对科学计算环境的认识，并回顾必要的数学预备知识。 第1章：科学计算概述与软件环境 深入探讨科学计算在现代工程中的定位与演变，重点介绍主流的科学计算平台（如 MATLAB, Python (NumPy/SciPy), Julia）的特性、优势与适用场景。详细讲解了面向对象编程在数值算法实现中的重要性，并提供了一套标准的代码规范和调试技巧。内容侧重于如何高效地搭建和管理计算工程。 第2章：误差分析与数值稳定性 系统梳理了浮点数的表示、舍入误差的来源与传播。对截断误差、归一化误差和灾难性抵消等核心概念进行了详尽的数学推导和算例演示。本章特别引入了“条件数”的概念，分析了病态问题的识别与处理策略，确保读者能够设计出数值稳定的算法。 第3章：线性代数在计算中的应用 回顾了矩阵空间、特征值分解等线性代数核心概念，重点转向大规模矩阵运算的效率优化。详细讨论了稀疏矩阵的存储格式（如 CSR, CSC）及其在求解大型线性系统中的优势。本章为后续的偏微分方程求解奠定了矩阵基础。 第二部分：函数逼近与插值技术（第4-5章） 本部分聚焦于如何用有限的、易于计算的函数来近似复杂的实际函数或离散数据点。 第4章：插值方法精选 详述了牛顿插值法、拉格朗日插值法，并深入探讨了分段插值，特别是三次样条插值。分析了样条插值在保证全局光滑性方面的优越性，并给出了在边界条件选择上的工程指导。 第5章：最小二乘逼近与数据拟合 系统讲解了函数空间理论下的最小二乘原理。区分了等距数据点和不等距数据点的拟合策略。重点阐述了多项式回归、傅里叶级数逼近在信号处理和数据平滑中的具体应用，并讨论了过拟合（Overfitting）的识别与避免。 第三部分：数值微分与积分（第6-8章） 本部分是工程建模中处理连续系统离散化的关键技术。 第6章：数值微分与有限差分方法 基于泰勒展开式推导了一系列高精度的前向、后向和中心差分公式。分析了不同阶数差分公式的精度与误差边界。重点讲解了如何利用有限差分法处理曲面微分，以及在网格不均匀情况下的差分格式构建。 第7章：定积分的数值计算 详细比较了牛顿-柯特斯求积公式（如梯形法则、辛普森法则）的适用范围和收敛速度。引入了高斯求积公式，展示了其最优正交节点选择带来的高精度优势。此外，还讨论了在积分区间发散或被积函数奇异时的处理技巧。 第8章：复平面中的积分与留数定理应用 面向物理和电子工程背景的读者，本章引入了复分析基础，并详细讲解了留数定理在线路分析、信号滤波等问题中对反常积分和特定积分的求解能力，这是传统实分析方法难以企及的。 第四部分：常微分方程（ODE）的数值解法（第9-11章） 本部分是动力学系统、电路分析和传热学等领域的核心工具。 第9章：一阶ODE的单步法 全面介绍欧拉法及其改进型（改进欧拉法、Heun's法）。着重深入分析了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是经典的四阶RK4算法的推导、稳定性和局部截断误差的量化分析。 第10章：高阶ODE与系统ODE的求解 讲解了如何将高阶ODE转化为标准的一阶ODE组进行求解。详述了多步法（如 Adams-Bashforth 和 Adams-Moulton 方法）的构造原理、零点稳定性与收敛性。特别分析了刚性（Stiffness）问题的特征及其对隐式方法（如 BDF 方法）的需求。 第11章：ODE求解器的稳定性与自适应步长控制 超越基础算法本身，本章侧重于“如何用好”求解器。详细介绍了局部误差估计技术，并基于此构建了步长自动调整策略（如步长加倍/减半控制）。通过案例对比不同求解器在处理瞬态响应和稳态问题时的效率差异。 第五部分：偏微分方程（PDE）的数值方法（第12-15章） 本部分是流体力学、电磁场、结构力学等领域仿真分析的理论基础。 第12章：一维/二维线性椭圆型PDE的有限差分法 以泊松方程（Poisson Equation）和拉普拉斯方程为例，推导了二维网格下的中心差分格式。重点讲解了如何通过高斯消元或迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）求解离散化后的线性方程组。 第13章：抛物型PDE的求解：瞬态传热与扩散 以热传导方程为例，深入分析了显式和隐式差分格式。详细对比了前向时间-中心空间（FTCS）法的稳定性和效率，以及Crank-Nicolson格式在精度和稳定性之间的平衡。 第14章：双曲型PDE与特征线法 针对波动方程等，本章介绍了特征线法在处理双曲型方程中的优势。此外，探讨了迎风格式（Upwind Scheme）在对流项处理上的重要性，以及TVD（Total Variation Diminishing）格式在抑制数值耗散方面的应用。 第15章：有限元方法（FEM）入门 提供有限元方法的概念性介绍，重点阐述其在处理复杂几何边界上的优势。讲解了变分原理、形函数（Shape Functions）的选取以及单元刚度矩阵的装配过程，为后续进阶学习打下基础。 第六部分：优化理论与工程实例（第16-18章） 本部分将计算方法应用于实际的参数估计、控制与优化问题。 第16章：无约束优化算法 系统介绍寻找函数极小值的核心方法。涵盖了一维搜索（如黄金分割法）和多维搜索（如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法BFGS）。特别强调了搜索方向的构造和步长的精确控制。 第17章：线性规划与约束优化 讲解了单纯形法（Simplex Method）的基本原理和迭代过程，以及其在资源分配问题中的应用。对拉格朗日乘子法在等式约束优化中的应用进行了详细的几何解释和代数推导。 第18章：计算方法在反问题中的应用 探讨了参数辨识、系统辨识等反问题（Inverse Problems）的特点。重点讨论了正则化（Regularization）技术，如 Tikhonov 正则化，在处理不适定反问题中稳定求解的重要性。本章以一个实际的传感器校准案例结束全书。 --- 本书特色 1. 理论与实践并重： 每章后附有详尽的“工程实践指导”栏目，提供伪代码和应用案例，指导读者将理论算法转化为实际可运行的代码。 2. 侧重算法效率： 大量篇幅用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，培养读者对计算资源敏感的工程思维。 3. 面向前沿应用： 包含对稀疏矩阵存储、刚性ODE求解、以及数值方法在反问题中应用等前沿主题的探讨，确保内容与当前研究热点同步。 4. 详尽的数学推导： 严格遵循数学原理，确保读者理解算法“为什么有效”，而非仅仅停留在“如何使用”的层面。 5. 丰富的图表和案例： 配备数百张辅助图表和来自控制论、材料模拟、信号处理等领域的真实数据案例，增强直观理解。 本书适合作为高等院校理工科专业“数值分析”、“科学计算方法”等课程的教材或参考书，也为从事工程仿真、数据分析和工业控制的研究人员和工程师提供了极具价值的参考资料。
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