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出版者:华东师范大学出版社

作者:单壿

出品人:

页数:94

译者:

出版时间:2005-4

价格:9.00元

装帧:

isbn号码:9787561740804

丛书系列:

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《数学思维的炼金术：概念、逻辑与创造的探索》 简介： 这是一本旨在深入挖掘数学思维本质的书籍，它并非教授具体的数学公式或解题技巧，而是着眼于培养读者一种全新的、更深层次的数学认知方式。我们将一同踏上一段关于概念理解、逻辑建构与创新思维的探索之旅，揭示数学背后蕴藏的智慧光芒，并学习如何将其灵活应用于解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：概念的基石——理解的深度 数学学习往往停留在“知道”层面，而本书将带领读者超越这一阶段，抵达“理解”的彼岸。我们相信，真正的数学能力并非来自于死记硬背，而是源于对概念核心的洞悉。 解构抽象： 数学中的许多概念，如变量、函数、极限、集合等，初看抽象而难以捉摸。本书将运用类比、可视化、情境化等多种方法，将这些抽象的数学语言剥离其外壳，展现其内在的逻辑关联和现实意义。我们会通过生活中的实例，比如“变量”如同一个可以随意改变的未知数，而“函数”则像是描述事物间内在联系的规则，来帮助读者建立直观的认识。 概念的演进与联系： 数学并非孤立的概念集合，而是由相互关联、层层递进的概念网络构成。本书将追溯核心数学概念的起源和发展脉络，揭示它们之间千丝万缕的联系。例如，我们会探讨数系的扩展如何逐步完善，代数与几何如何相互印证，微积分的概念又如何建立在极限的稳固基石之上。通过理解这些联系，读者将能构建起一个更加完整、更有条理的数学知识体系。 辨析与精炼： 许多看似相似的数学概念，往往存在微妙的差异，而这些差异往往是理解的关键。本书将着重于辨析这些易混淆的概念，例如，区分“相似”与“全等”在几何中的含义，理解“相关”与“因果”在统计中的界限。通过严谨的分析和对比，帮助读者精准把握每个概念的内涵与外延，避免认识上的偏差。 概念的语境化： 同一个数学概念，在不同的数学分支或应用场景下，可能呈现出不同的侧重点。本书将引导读者思考概念的语境化，理解如何在不同的情境下灵活运用和解读数学概念。比如，向量在物理学中代表方向和大小，而在线性代数中则是一种更抽象的数学对象。 第二部分：逻辑的殿堂——推理的严谨 严谨的逻辑推理是数学的灵魂，是构建数学大厦的基石。本书将带您走进逻辑的世界，掌握构建严密推理链条的能力。 演绎推理的力量： 学习如何从已知的公理、定义和定理出发，通过一步步的逻辑推导，得出新的结论。我们将分析典型的演绎推理模式，如三段论、归谬法等，并强调每一步推理的有效性和必然性。例如，通过对勾股定理的证明过程进行剖析，展示演绎推理如何从基本几何公理推导出这一重要结论。 归纳推理的探索： 探索如何从具体的例子中发现规律，并形成具有普遍性的猜想。本书将强调归纳推理的开放性和探索性，同时也会警示其局限性，引导读者如何在归纳的基础上进行更深入的验证和证明。我们会举例说明，通过观察一系列数的规律，如何提出一个关于素数分布的猜想，并讨论如何进一步验证这个猜想。 溯源与证明： 证明是数学的核心活动，它不仅仅是给出答案，更是展示答案是如何被构建起来的过程。本书将深入探讨不同类型的证明方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等。我们将通过对经典数学证明的解析，让读者理解证明的逻辑结构、步骤以及其中的创造性。 识别逻辑谬误： 在学习构建严密逻辑的同时，同样重要的是能够识别和避免逻辑上的错误。本书将列举常见的逻辑谬误，如偷换概念、以偏概全、循环论证等，并分析其产生的根源，帮助读者提高批判性思维能力，避免在论证过程中误入歧途。 逻辑的灵活性： 逻辑并非僵化的规则，而是具有一定灵活性的思维工具。本书将探讨如何在不同的数学问题中，根据实际情况调整和运用逻辑推理，找到最有效的解决方案。 第三部分：创造的火花——思维的跃迁 数学的魅力不仅在于其严谨的逻辑，更在于其无穷的创造性。本书将激发读者的创新潜能，培养在数学领域乃至更广泛的领域中进行创造性思维的能力。 视角转换的艺术： 许多棘手的数学问题，往往可以通过改变视角来简化。本书将介绍各种视角转换的技巧，如从几何角度看代数问题，从动态角度看静态问题，或者将问题置于更广阔的数学背景下进行思考。例如，我们可能会探讨如何用图形的方式来理解复杂的代数方程，或者如何从不同的角度来审视一个看似简单的几何图形。 类比与迁移： 类比是创造性思维的重要源泉。本书将探讨如何巧妙运用类比，将已知领域的知识迁移到新的问题中，从而获得解决问题的灵感。我们会分析一些成功的类比案例，例如，将电流的流动类比为水的流动来理解电路，或者将生物系统的演化与算法设计进行类比。 问题分解与组合： 复杂的数学问题往往可以通过将其分解为更小的、可管理的部分来逐个攻克，然后再将这些部分的解组合起来。本书将指导读者掌握有效的分解与组合策略，提高解决复杂问题的效率。我们会讨论一些经典的问题分解方法，以及如何将不同部分的解巧妙地组合起来形成最终的答案。 “无中生有”的构思： 有时，解决问题的关键在于提出全新的概念或方法。本书将鼓励读者跳出固有思维模式，大胆构思，探索“无中生有”的可能性。这并非鼓励随意猜测，而是强调在扎实的理论基础上，通过敏锐的观察和大胆的想象，去构思前所未有的解决方案。 数学的哲学思考： 深入思考数学的本质、意义和应用，能够激发更深层次的创造力。本书将引导读者进行一些哲学层面的思考，例如，数学是发现的还是发明的？数学在描述世界中的作用是什么？这些思考将有助于拓宽读者的视野，激发更具前瞻性的创新思维。 结语： 《数学思维的炼金术：概念、逻辑与创造的探索》并非一本“速成”的秘籍，而是一本陪伴您成长的思考伙伴。它将帮助您重塑对数学的认知，培养一种能够灵活运用概念、严谨进行逻辑推理、并富有创造力的思维模式。无论您是数学爱好者，还是希望提升自身解决问题能力的任何人，这本书都将为您开启一扇通往更深邃数学世界的大门，让您在思维的炼金过程中，收获智慧与洞察。

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我一直以为高等代数是枯燥乏味、充满冰冷公式的学科，直到我翻开了这本关于线性空间与矩阵理论的著作。这本书的叙事方式非常独特，它没有一上来就抛出那些让人望而生畏的定义，而是从几何学的角度切入，用向量的旋转、拉伸和投影这些直观的图像来构建起整个线性代数的骨架。作者对特征值和特征向量的讲解尤其精彩，他没有将其视为单纯的矩阵运算，而是赋予了它们“不变性”的深刻含义，这让我豁然开朗。书中对正交化过程的描述，细腻到了每一步的数值稳定性考量，这对于将来从事数值计算方向的我来说，简直是福音。此外，这本书在介绍抽象概念时，总能巧妙地联系到实际应用场景，比如在数据降维（PCA）和图像处理中的具体实现，这极大地激发了我学习的兴趣，让我意识到数学的优雅不仅仅在于其内在逻辑，更在于它对现实世界的强大解释力。这本书的排版和插图也值得称赞，清晰的图示有效地弥补了纯文字描述可能带来的理解障碍，使得复杂的空间变换过程一目了然。

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坦白说，我之前对概率论和数理统计的理解非常片面，总觉得它就是关于掷骰子和抽奖的学问，缺乏严谨的理论深度。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它以极其严谨的测度论为基础，为概率的定义构建了一个坚实的地基，使得“随机性”这个原本模糊的概念变得可以被精确量化和研究。书中关于大数定律和中心极限定理的论证过程，层层递进，逻辑链条清晰得令人叹服。特别是对各种统计估计量（如最大似然估计、矩估计）的比较分析，不仅详细阐述了它们的优缺点，还从渐近性质和有效性等多个维度进行了深入剖析，这对于我准备统计学专业考试至关重要。作者在讲解假设检验时，对P值和置信区间的误读风险进行了多次强调和警示，这种严谨的治学态度非常值得学习。这本书的参考文献和历史注释也十分丰富，让人在学习知识的同时，也能感受到这门学科发展的曲折历程，增添了不少人文色彩。

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这本书对我建立概率思维和逻辑推理能力起到了决定性的作用。它更像是一本关于“如何思考随机世界”的哲学指南，而不是简单的数学公式集合。作者在讲解条件概率和贝叶斯定理时，用了非常巧妙的思维实验，打破了许多人基于直觉产生的认知偏误。比如，书中对“蒙提霍尔问题”的深度剖析，不仅给出了正确的解法，更重要的是解释了为什么人们会直觉性地错误判断，这种对人类思维局限性的洞察，实在令人深思。全书的论证结构非常严谨，每一步推理都建立在清晰的公理化基础之上，这使得即便是看似简单的结论，也能追溯到最根本的逻辑起点。对于任何从事数据科学、机器学习或风险评估工作的人来说，这本书提供的底层逻辑框架是无可替代的。它教会我的不是解题技巧，而是面对不确定性时，如何保持清醒的头脑和科学的分析路径。读完后，我感觉自己在日常决策中，都变得更加审慎和有条理了。

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作为一本面向应用数学的教材，这本书在处理微分方程的部分展现了非凡的功力。它不像很多教科书那样只关注经典方程（如热传导、波动方程）的解析解法，而是花了大量的篇幅介绍如何对实际问题进行建模，并将模型转化为可求解的微分方程形式。特别是对非线性微分方程的定性分析，作者引入了相平面分析、李雅普诺夫稳定性理论等高级工具，这使得读者能够在大致了解解的性质，而无需求出精确解析表达式的情况下，把握系统的长期行为。我特别欣赏其中关于生态系统动力学和电路分析的案例研究，这些例子不仅贴近工程实际，而且展示了不同阶常微分方程组是如何相互耦合、展现出复杂动力学行为的。书中的数值解法章节也相当实用，它详细介绍了龙格-库塔方法等算法的原理和编程实现要点，对于想将数学模型付诸编程实践的读者来说，提供了极佳的起点。

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这本书真是个宝藏，让我对高等数学的理解提升到了一个新的层次。尤其是它对微积分基础概念的阐述，简直是清晰明了，仿佛作者就是站在我面前手把手地教导一样。我以前总是对极限和导数的定义感到头疼，那些抽象的符号让我望而却步，但这本书通过非常生活化的例子和循序渐进的推导过程，把这些复杂的概念彻底“翻译”成了我能理解的语言。它不仅仅是告诉你“是什么”，更重要的是解释了“为什么是这样”，这种深入探究的精神非常令人钦服。特别是书中关于泰勒展开式的部分，作者没有急于给出复杂的公式，而是先用几何直觉去引导读者理解函数的局部逼近过程，这一点做得极其到位。读完这部分，我感觉自己对函数的局部性质有了全新的认识，不再是死记硬背公式，而是真正理解了其背后的数学思想。书中的习题设计也很有匠心，从基础的运算到复杂的应用题都有涵盖，而且难度梯度设置得非常合理，每完成一章的练习，都能清晰地感觉到自己的能力在稳步提升。对于任何想在数学领域打下坚实基础的自学者来说，这本书绝对是不可多得的良师益友。

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