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出版者:华东师范大学出版社

作者:单墫

出品人:

页数:93

译者:

出版时间:2012-8-1

价格:14.00元

装帧:平装

isbn号码:9787561792131

丛书系列:数学奥林匹克小丛书

图书标签:

• 数学
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• 趣味数学
• 数学启蒙

《数学解题策略与思想：探索思维的边界》 本书并非旨在收录那些被誉为“皇冠上的明珠”的数学奥林匹克竞赛题目，也不打算直接呈现给您那些深邃、抽象的理论证明。相反，它更像是一位经验丰富的向导，带领您深入数学竞赛背后那片更为广阔、更为自由的探索领域。我们相信，真正的数学魅力，不仅仅在于征服一道道难题，更在于理解解题过程中所孕育的思维火花、所形成的独特视角，以及所沉淀的深刻思想。 《数学解题策略与思想》将目光聚焦于数学竞赛背后所蕴含的普适性解题方法与思维模式。我们不会简单地罗列公式或定理，而是力图剖析那些经典题目背后隐藏的“解题之道”。每一章都将围绕一个核心的数学思想或解题策略展开，通过精选的、富有代表性的例题，细致入微地展现这些思想在不同问题中的灵活运用。这些例题并非奥赛的“天书”，而是经过精心筛选，旨在清晰地阐释核心概念，让读者能够循序渐进地掌握精髓。 第一部分：化繁为简的艺术——结构与对称 在数学的世界里，许多看似复杂的问题，往往隐藏着简洁的结构和对称的美感。本部分将深入探讨如何识别和利用问题中的结构性特征，以及如何通过对称性来简化思考过程。 章节一：观察的力量——发掘隐藏的规律 我们会从最基础的观察入手，强调在面对一个新问题时，不应急于套用公式，而是先静下心来，细致地观察问题中的每一个元素，寻找它们之间的联系和潜在的规律。我们会通过一系列引导性的练习，训练读者的观察力，例如：从数列中发现递推关系，从几何图形中识别相似或全等，从代数表达式中寻找因式分解的可能性。我们将着重讲解如何将抽象的符号转化为具体的图像，或者将复杂的条件可视化，从而更容易地捕捉到隐藏的模式。 章节二：对称性的魔力——从局部到整体的飞跃 对称性是数学中最优美的概念之一。本章将引导读者理解不同形式的对称性，包括轴对称、中心对称、旋转对称，以及代数中的对称性，如多项式的对称根。我们将展示如何利用这些对称性来大幅减少求解的步骤。例如，在几何问题中，如果一个图形具有某种对称性，那么求解一部分的性质往往就能推导出整体的性质。在代数问题中，识别对称多项式能够极大地简化方程的求解。我们会通过“换元法”等经典技巧，展示如何通过引入新的对称变量来解决原本棘手的方程或不等式。 章节三：整体法的思维——“块”与“整体”的视角 很多时候，将一个复杂的问题分解成小部分来解决，不如将其视为一个整体来处理更为高效。本章将介绍“整体法”的思维方式。这包括如何将一系列关联的变量看作一个整体，如何通过构造新的数学对象来代表整体，以及如何在问题的不同阶段灵活地切换“局部”和“整体”的视角。例如，在解一些组合问题时，与其逐个分析元素，不如考虑如何通过整体的性质来确定结果。在代数问题中，有时将一个复杂的表达式看作一个整体，并对其进行恰当的变形，往往能找到解题的关键。 第二部分：逻辑的利刃——构造与转化 严谨的逻辑是数学的基石。本部分将侧重于培养读者构建严密证明的能力，以及在不同数学领域之间进行灵活转化的技巧。 章节四：构造的力量——从无到有的智慧 在数学研究中，构造一个不存在但符合条件的数学对象，往往是解决问题的关键。本章将介绍各种构造性的方法，包括构造辅助线、构造辅助函数、构造新的几何图形、构造反例等。我们会强调构造背后的逻辑，即“为什么需要构造”、“如何构造”以及“构造后如何利用”。通过实例，我们将展示构造如何将一个看似无解的问题，转化为一个可以被轻易解决的标准问题。 章节五：转化的艺术——“换”与“变”的智慧 数学问题的解决往往需要将问题从一个熟悉的领域转化到另一个领域，或者将问题从一种形式转化到另一种形式。本章将深入探讨各种数学转化技巧，包括代数转化（如通分、约分、配方、因式分解）、几何转化（如坐标系的应用、向量方法的引入）、逻辑转化（如反证法、构造法）等。我们将通过一系列精心设计的题目，展示如何通过恰当的转化，将复杂的问题变得简单，将抽象的问题变得直观。 章节六：反证法的魅力——另辟蹊径的证明之道 反证法是一种强大且极具创造性的证明方法。本章将详细介绍反证法的原理，并通过大量的实例，展示其在不同领域的应用，包括证明不存在性、证明唯一性、证明某个命题的正确性。我们会强调反证法的关键在于“假设错误”并从中导出逻辑矛盾，以及如何有效地构造“反面情况”。 第三部分：数学的灵魂——思想与视角 超越具体的解题技巧，数学竞赛更注重培养读者深刻的数学思想和独到的解题视角。本部分将探讨那些贯穿于数学各个分支的灵魂性概念。 章节七：极端情况的启示——从特例中窥探本质 考虑极端情况（如最大值、最小值、边界情况、退化情况）往往能够揭示问题的本质，并为找到普遍性解法提供线索。本章将讲解如何识别和利用极端情况，以及如何从这些特例中推演出一般性的结论。我们会通过大量的几何和代数问题，展示极端情况的强大威力。 章节八：归纳与演绎——思维的两种驱动力 数学研究离不开归纳和演绎两种思维方式。本章将探讨如何有效地运用数学归纳法来证明与自然数相关的命题，并将其与演绎推理结合，形成完整的证明逻辑。我们会区分“不完全归纳法”和“数学归纳法”的本质区别，并强调数学归纳法在算法设计和复杂证明中的重要作用。 章节九：数形结合的和谐——几何与代数的对话 数形结合是数学中一种极其重要的思维方式，它能够将抽象的代数概念用直观的几何图形来表示，或者将几何问题的求解转化为代数运算。本章将深入探讨数形结合的各种应用，包括解析几何、向量几何、函数图像的分析等。我们会展示如何通过几何直觉来指导代数运算，以及如何用代数方法来精确地描述几何图形的性质。 章节十：模型构建与问题解决——数学的实用性 数学的最终目的是解决现实问题。本章将探讨如何将现实问题抽象成数学模型，并利用数学工具来分析和解决这些模型。我们会介绍各种经典的数学模型，如增长模型、优化模型、概率模型等，并展示如何将这些模型应用于实际场景。 本书的特色： 强调过程而非结果： 我们关注的是解题的思路、方法的选择、逻辑的推理，而非仅仅提供最终的答案。 精选例题，循序渐进： 每一个概念的引入都伴随着精心挑选的例题，难度由浅入深，确保读者能够理解和掌握。 思维训练，而非技巧堆砌： 本书旨在培养读者的数学思维能力，教会读者如何思考，而非简单地灌输解题技巧。 启发性与探索性： 我们鼓励读者主动思考，通过自己的探索去发现数学的乐趣和奥秘。 语言通俗，深入浅出： 避免使用过于晦涩的术语，力求用清晰易懂的语言解释复杂的概念。 《数学解题策略与思想：探索思维的边界》是一本为所有热爱数学、渴望提升解题能力、探索数学思想深度的读者量身打造的书籍。无论您是初学者，还是已经具备一定基础的学生，都能从中获得宝贵的启发和深刻的收获。它将帮助您建立起一套稳固的数学思维框架，让您在未来的学习和探索中，能够更加自信、更加从容地面对各种挑战。

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坦白说，我最初对这类“奥赛”读物是抱有一丝怀疑的，总觉得它们要么过于偏重技巧的堆砌，要么就是晦涩难懂，最终沦为少数“学霸”的专属玩具。然而，这套书彻底颠覆了我的看法。它的叙述方式非常平易近人，即便是一些我之前觉得非常抽象的概念，比如群论的初步概念，作者也用了非常贴近生活的类比来解释，就像在和一位经验丰富的老师面对面交流。我最欣赏的一点是，它并没有一味地追求难度，而是注重培养读者的数学直觉和探索精神。书中穿插的许多“小插曲”和“历史典故”，不仅让阅读过程轻松有趣，更让我看到了数学家们是如何在迷雾中摸索前进的，充满了人性的光辉和不屈不挠的求知欲。这本书让我意识到，数学的魅力不在于计算的速度，而在于逻辑的优雅和对未知的敬畏。它成功地激发了我对更深层次数学问题的兴趣，让我愿意花时间去构建自己的逻辑链条，而不是仅仅接受既定的结论。

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我记得有一次，我被一道关于函数方程的题目卡住了好几天，翻遍了各种参考资料都不得要领。后来抱着试试看的心态翻阅了这套书中的相关章节，作者处理这类问题的手法简直是石破天惊！他们没有直接给出那个复杂的代换技巧，而是先引导读者去尝试几种不同的边界条件和特例分析，通过观察这些特例所揭示出的规律，自然而然地导向了最终那个看似突兀的技巧。这种“引导式教学”的思路，极大地增强了我的主动思考能力。它教会我的不是一个解题公式，而是一套系统性的“破题方法论”——如何从已知的信息中榨取出尽可能多的信息，如何通过观察微小的变化来推测整体的性质。这种对思维过程的精雕细琢，让这本书的价值远远超出了普通教辅的范畴，更像是一本关于如何进行严谨科学思考的入门指南。

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这套书简直是为我这种对数字和逻辑有着天然亲近感的人量身定做的！我记得我第一次翻开它的时候，就被那些巧妙的几何图形吸引住了。那些看似复杂的定理，在作者的笔下就像剥洋葱一样，一层层地展示出它们清晰、优美的内在结构。尤其是一些关于数论的章节，简直像侦探小说一样引人入胜。作者非常擅长用最简洁的语言阐述最深刻的数学思想，比如如何通过巧妙的构造来证明一个看似无解的问题。我特别喜欢书中对一些经典竞赛题目的分析，不仅仅是给出了答案，更是深入剖析了出题者的思维路径，让我明白了“为什么这么想”比“答案是什么”重要得多。读完之后，我感觉自己对数学的理解不再是停留在教科书上那些生硬的公式堆砌，而是变成了一种活生生的、充满创造力的思维体操。那种豁然开朗的感觉，比解出一道难题本身带来的成就感还要持久和满足。对于那些想要挑战自我、真正领略数学之美的爱好者来说，这本书绝对是不可多得的珍品，它成功地架起了中学数学知识与高阶思维之间的桥梁。

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对于我们这些已经离开校园多年，但又渴望保持思维活跃度的成年人来说，寻找合适的读物并不容易。很多成人读物要么太注重商业应用，要么就沉湎于怀旧。而这套书，它提供了一种完美的“精神健身”方式。阅读它的过程，就像是进行一场高强度的智力马拉松。它要求你必须全神贯注，不能有一丝一毫的懈怠，否则逻辑链条就会断裂。我发现，坚持读完其中一部分内容后，日常工作中的复杂问题处理能力似乎都有所提升，因为我已经习惯了用那种层层递进、互相印证的数学逻辑去审视事物。这种跨学科的思维迁移能力，是我从这本书中获得的意外之喜。它让我重新拾起了对纯粹知识的敬畏，证明了真正的智慧是跨越年龄和专业的，只要你愿意投入心力去探索。

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这本书的排版和设计，简直是艺术品级别的！我是一个非常注重阅读体验的人，市面上很多技术性书籍要么是密密麻麻的文字，要么是布局混乱的图表，让人看一眼就想打退堂鼓。但在这套书中，每一页的留白都恰到好处，公式的编排如同精心设计的乐谱，清晰而富有节奏感。那些几何证明的配图，线条干净利落，色彩运用得当，很多时候，看图就能理解大部分的证明思路。这对于理解空间想象力要求较高的内容至关重要。我个人认为，良好的视觉体验是保持阅读动力的关键之一，这本书在这方面做得非常出色。它让我愿意把这本书放在手边，随时拿起来翻阅，而不是束之高阁。这种对细节的打磨，体现了出版方对严肃知识传播的尊重和用心，让学习数学的过程变成了一种视觉上的享受，而非负担。

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暂时挂起，精力有限

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知识谁都能有一些，有很全的人少，在这些有较全知识的人中，能有条理输出的又少之又少，继续往下挖，能有条理输出且写成好书的人就简直是人中龙凤了，这本书的作者可以获此荣誉。我看了前8章已觉神奇，第9章开始吃力，后面的三章就只能挑着看了，因为难度系数大，较薄的一本小册子，却编出了这么一种意境，还是不错的，打分四星半。

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可能是唯一（唯二？）完整读完的竞赛书。 初三的2周额寒假用了大概一周（或者三四五天？）啃下来的，当时机械每天学习14个小时。可能再也不会有当时的状态了。 清冷的南大教室，连吃饭都可惜太浪费时间，从早坐到晚，到了晚上灯光昏黄看书上的字都会有别样的感受。 以及一起入门的xt，买来这本书的lq哥哥。

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可能是唯一（唯二？）完整读完的竞赛书。 初三的2周额寒假用了大概一周（或者三四五天？）啃下来的，当时机械每天学习14个小时。可能再也不会有当时的状态了。 清冷的南大教室，连吃饭都可惜太浪费时间，从早坐到晚，到了晚上灯光昏黄看书上的字都会有别样的感受。 以及一起入门的xt，买来这本书的lq哥哥。