应用数学基础（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:213

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出版时间:2004-1

价格:21.00元

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isbn号码:9787111146001

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概率论与数理统计：原理、方法与应用 图书简介 本书聚焦于概率论与数理统计的核心理论、基本方法及其在实际问题中的广泛应用。作为一门重要的现代数学分支，概率论与数理统计为量化不确定性、分析随机现象、做出科学决策提供了严谨的数学框架。本书旨在系统、深入地介绍这一学科的经典内容，并结合实际案例，展示其强大的工具价值。 第一部分：概率论基础——量化不确定性 本部分奠定了理解随机现象的基础，从最基本的概念出发，逐步构建起概率的数学结构。 第一章：随机事件与概率的基本概念 本章首先引入了随机试验、样本空间和随机事件等基本概念，这是概率论的基石。我们将详细阐述事件间的代数运算（并、交、差、补）及其在集合论中的表示。随后，重点介绍概率的定义，包括古典概型、几何概型，以及更具普适性的公理化定义。我们深入探讨概率的性质，如可加性、单调性、逆概率，并引入条件概率的概念，这是分析事件之间相互影响的关键工具。特别是，将详尽讲解事件的独立性及其在复杂事件链分析中的重要性。 第二章：随机变量及其分布 随机变量是将随机试验结果映射为实数的关键工具。本章首先区分离散型随机变量和连续型随机变量。 对于离散型随机变量，我们将系统介绍其概率分布函数（PMF），并通过大量的例子说明二项分布、泊松分布等典型分布的特征、参数意义及其应用场景，如质量控制、排队论初步等。 对于连续型随机变量，重点讲解概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）。我们将深入剖析均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）等核心连续分布的数学性质，特别是正态分布在自然科学和社会科学中的“普适性”及其在统计推断中的核心地位。 本章末尾，我们将介绍多随机变量的情况，包括联合分布、边际分布、以及最重要的概念——随机变量的独立性。条件分布和随机变量函数的分布也将被详细阐述，为后续的期望和矩的计算做好铺垫。 第三章：随机变量的数字特征 数字特征是对随机变量进行定量描述的数学工具。本章集中讨论期望、方差、矩等核心概念。 期望（均值）被视为随机变量的“中心”位置，我们将详细讨论其线性性质，以及对常见离散和连续分布的期望计算方法。方差则衡量了随机变量的离散程度，本章将深入探讨方差的计算公式、性质及其与标准差的关系。我们还将介绍矩（如三阶矩、四阶矩）的概念，并引入偏度和峰度来刻画分布的形状。 此外，本章将花费大量篇幅介绍协方差和相关系数，用以衡量两个随机变量之间线性关系的强度和方向。最后，我们将讨论期望和方差的性质在随机变量函数运算中的应用。 第四章：中心极限定理与大数定律 这是连接概率论与数理统计的桥梁。本章将严格证明并深入阐述大数定律（包括弱大数定律和强大数定律），解释其在说明样本均值收敛于总体均值中的理论意义。 核心内容是中心极限定理（CLT）。我们将详细论述该定理的强大威力——无论原始总体分布如何，独立同分布的随机变量之和（或均值）的标准化形式都渐近服从标准正态分布。这一理论保证了统计推断在实践中的有效性，是后续所有推断统计学方法的基础。 第二部分：数理统计——从数据中获取信息 本部分侧重于如何利用样本数据对未知总体参数进行估计和检验。 第五章：统计推断的基础 本章首先引入数理统计学的基本任务，并详细区分参数估计和假设检验两大核心任务。 我们将介绍随机抽样的原理和常用方法，以及统计量的概念。作为最基本的统计量，样本均值和样本方差的分布性质（如样本均值服从正态分布，样本方差与卡方分布的关系）将得到详细的推导和阐述。 第六章：参数的点估计 本章聚焦于使用单个数值来估计总体参数。我们将详细介绍几种主要的点估计方法： 1. 矩估计法 (Method of Moments, MM)：通过令样本矩等于总体矩来求解未知参数，着重分析其操作步骤和局限性。 2. 最大似然估计法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)：这是最常用且性质优良的估计方法。本书将详细讲解似然函数的构建、对数似然函数的求导、以及如何求解似然方程。我们将分析MLE估计量的渐近性质，如一致性、渐近正态性和渐近有效性。 此外，本章还将讨论估计量的优良性标准，包括无偏性、有效性（方差最小化）和一致性。 第七章：参数的区间估计（置信区间） 区间估计提供了参数取值的可能范围，比点估计更具信息量。本章将基于已知的总体分布和估计量（如样本均值、样本方差）的抽样分布，系统推导各种参数的置信区间。 我们将重点讲解基于正态分布的统计量（如$t$分布、$chi^2$分布、F分布）的应用，包括： 单个总体均值的置信区间（已知或未知方差情况）。 单个总体方差的置信区间。 双总体均值差和方差比的置信区间。 本章将清晰阐述置信水平的含义及其与区间宽度的关系。 第八章：假设检验的基本原理与应用 假设检验是数理统计的核心应用。本章首先界定原假设 ($H_0$) 和备择假设 ($H_1$) 的构建原则，并详细解释检验统计量、显著性水平 ($alpha$)、拒绝域和P值等基本概念。 我们将深入探讨假设检验的两种错误：第一类错误（拒绝真 $H_0$）和第二类错误（接受假 $H_0$）。 本章将系统性地介绍基于$t$检验、$Z$检验、$chi^2$检验的常用检验流程，包括： 1. 单个和双总体均值的显著性检验。 2. 总体方差的显著性检验。 3. 比例的显著性检验。 第九章：线性回归模型基础 本章将概率论与数理统计的工具应用于回归分析的起点——简单线性回归。我们将在线性模型 $Y = alpha + eta x + epsilon$ 的框架下，讨论误差项 $epsilon$ 的分布假设（通常是独立同分布的正态分布）。重点讲解如何使用最小二乘法 (OLS) 来估计回归系数 $alpha$ 和 $eta$，并分析这些估计量的统计性质。最后，本章介绍如何对回归系数进行区间估计和假设检验，以及如何评估模型的拟合优度（如决定系数 $R^2$）。 本书内容全面、逻辑严密，力求在理论推导的严谨性和实际应用的直观性之间取得最佳平衡，是理工科、经济管理类及相关专业学生掌握现代统计学思维的理想教材。

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**评价一：深度与广度兼具的数学启蒙之作** 这本书的章节编排简直是一场精心设计的思维迷宫，引导读者在初识应用数学的广阔天地时，不会感到迷失方向。作者的叙述风格如同经验丰富的向导，不仅清晰地勾勒出各个核心概念的轮廓，更重要的是，他总能巧妙地在理论的严谨性和实际应用的直观性之间找到完美的平衡点。例如，在处理初值问题和边值问题时，书中详尽地剖析了拉普拉斯变换和傅里叶分析的几何意义，而非仅仅停留在繁琐的代数运算上。每引入一个新的数学工具，作者都会立即将其置于一个具体的工程或物理场景中进行检验，使得枯燥的公式瞬间活了起来，充满了生命力。我尤其欣赏的是它在概念引入时的循序渐进，从最基础的集合论和拓扑概念，逐步搭建起微积分和线性代数之间的桥梁，确保即便是数学基础相对薄弱的读者，也能稳扎稳打地跟上节奏。这种构建知识体系的扎实方式，为后续学习更高级的偏微分方程或数值分析打下了极其坚实的基础，避免了“只见树木不见森林”的尴尬境地。读完这本书，我感觉自己不是在机械地记忆知识点，而是在构建一个立体的、相互关联的数学思维网络。

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**评价三：严谨性与可读性并存的典范之作** 市面上很多强调“应用”的数学书籍，往往在严谨性上有所妥协，而纯理论的书籍又过于晦涩难懂。然而，这部作品在这一点上做到了令人称奇的平衡。它在证明的完备性上毫不含糊，保证了数学的内在逻辑自洽，但同时，作者的文字表达却异常清晰、富有条理。尤其是在涉及极限和连续性的讨论时，作者使用了大量的图示和直观类比来辅助抽象的定义，使得那些容易引起混淆的“ε-δ”语言变得可以触摸、可以理解。我特别喜欢它在每章末尾设置的“历史与展望”小节，这些片段不仅丰富了知识背景，更重要的是，它们将原本孤立的数学定理与人类认知发展的大脉络联系起来，赋予了这些冰冷公式以温度和历史感。这种处理方式极大地激发了我的学习兴趣，让我觉得我所学的不仅仅是几个工具，而是人类智慧在应对自然挑战过程中的结晶。书中的排版设计也十分考究，重点突出，层次分明，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。

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**评价二：对思维方式转变的深刻影响** 这本书的价值远超一本普通的教材，它更像是一本关于“如何像应用数学家一样思考”的实践手册。它彻底颠覆了我过去那种将数学视为解题技巧堆砌的刻板印象。在阅读线性代数部分时，我不再仅仅关注矩阵的乘法和特征值的计算，而是开始思考向量空间的抽象结构如何映射现实世界中的多变量系统。作者在讲解优化理论时，那种对模型建立过程的细致剖析——如何将一个模糊的实际问题抽象成一个可量化的目标函数和约束条件——对我启发极大。书中对模型假设的讨论尤为精彩，它不回避现实世界中的不确定性和简化带来的潜在误差，反而鼓励读者去批判性地审视数学模型的适用范围和局限性。这种强烈的“问题导向”和“模型思维”的培养，使得我对待日常遇到的复杂问题时，首先想到的是如何将其结构化、数学化，而不是急于套用现成的公式。这种思维层面的提升，才是此书最宝贵的财富，它让我对“应用”二字有了更深一层的理解。

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**评价五：反馈机制与自我评估的强大支撑** 这本书的练习题设计堪称一绝，它们不仅仅是检验计算能力的工具，更是促进深度理解和自我诊断的有效手段。题目设置的难度梯度变化自然流畅，从基础的公式运用，到中等强度的建模应用，再到少数几道具有挑战性的综合分析题，层层递进，引导学生不断挑战自己的认知边界。更值得称赞的是，很多习题都带有细致的背景描述，让我明白这个计算结果在现实中意味着什么，这极大地增强了解题的动机。此外，作者在关键概念的讲解后，会穿插一些“思考题”，这些题目往往没有标准答案，而是引导学生去探索不同方法之间的优劣或某一方法的适用边界。这迫使我必须跳出书本的框架，进行独立的论证和比较，从而有效地将“被动学习”转化为了“主动探索”。通过反复消化和尝试解决这些具有启发性的问题，我对自己对核心概念的掌握程度有了非常清晰和诚实的评估。

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**评价四：对计算科学和数值方法的精妙铺垫** 这本书作为应用数学的“上册”，其高明之处在于它为后续的数值计算和算法实现构建了一个近乎完美的理论脚手架。例如，在对微分方程的初步介绍中，作者并没有直接跳到复杂的数值方法，而是通过有限差分法的基本思想，巧妙地展示了离散化过程的必要性和潜在误差来源。这种对“连续到离散”这一核心转变的深刻阐述，使得后续学习任何数值方法时，读者都能迅速抓住其本质，而不是被算法细节所困扰。书中对矩阵的条件数和稳定性概念的引入，体现了作者深远的教学意图——强调计算的可靠性远比得到一个近似解本身更重要。这些概念在后续的数值分析中是至关重要的，而本书在此处提前布局，确保了知识的有效衔接和知识体系的完整性。对于有志于从事工程仿真或数据科学的读者来说，这种对数值稳定性和收敛性的早期强调，是比单纯掌握积分公式更有价值的收获。

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