具体描述
好的，这是一份针对一本名为《大学数学（上册）》的图书所撰写的、内容详尽的、不包含该书任何具体内容的图书简介。 --- 《现代工程计算与应用基础：微积分、线性代数及概率统计精要》 内容提要 本书旨在为理工科、经济管理类以及信息技术领域的本科生提供一套全面、深入且高度实用的数学基础知识体系。不同于传统数学教材的侧重理论推导，本书将数学理论与现代工程实践、数据科学分析的需求紧密结合，致力于构建一个既扎实又富有应用性的数学思维框架。全书涵盖了微积分（单变量与多变量）、线性代数的核心概念、以及基础概率论与数理统计的重要工具。 第一部分：分析的基石——微积分原理与应用 本部分聚焦于极限、连续性、微分和积分的概念及其在分析问题中的应用。我们从实数系的完备性出发，严谨地建立极限的定义，并在此基础上深入探讨函数的连续性、一致连续性，并引入拓扑学的基本思想来理解函数的局部性质。 1.1 极限与连续性： 详细阐述了 $epsilon-delta$ 语言在极限定义中的精确应用，并讨论了极限的运算法则、数列的收敛性判定（如单调有界定理）。在连续性方面，本书超越了简单的定义，深入分析了闭区间上的性质（如最值定理、介值定理），并引入了函数空间中范数的初步概念，为后续的泛函分析打下基础。 1.2 微分学： 导数的定义、运算法则与几何意义被系统地梳理。重点章节集中在微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的深刻理解及其在不等式证明和函数逼近中的运用。我们将高等导数的计算、隐函数和参数方程求导进行细致讲解。更进一步，我们引入了泰勒公式的严格推导，并讨论了高阶导数在函数极值判定、曲率分析以及级数展开中的关键作用，特别是对傅里叶级数展开的初步介绍。 1.3 积分学： 本部分详细构建了黎曼积分的理论基础，包括积分的定义、基本性质、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的证明及其在计算定积分中的应用。在不定积分部分，系统地介绍了变量代换法和分部积分法，并对有理函数、三角函数有理式等常见积分形式给出了详尽的求解策略。本书对广义积分（无穷区间和无界函数积分）的处理尤为细致，探讨了收敛性的判别标准，以及广义积分在物理学和概率论中的实际意义。 1.4 多元微积分导论： 针对空间几何和复杂系统建模的需求，本部分引入了多变量函数，探讨了偏导数、梯度、方向导数等核心概念。对多变量函数的极值问题，特别是拉格朗日乘数法，提供了详尽的案例分析。方向导数和梯度的几何解释，以及它们在优化算法（如梯度下降法的基础逻辑）中的地位被突出强调。 第二部分：结构与变换——线性代数原理 线性代数是理解现代科学和工程问题结构化表示的语言。本部分着重于向量空间、矩阵运算的几何解释以及线性方程组的求解。 2.1 矩阵与线性方程组： 详细介绍矩阵的代数运算、行列式的性质和计算。核心内容集中在高斯消元法、LU分解、以及矩阵的秩的确定，确保读者能够高效地解决大规模线性方程组。 2.2 向量空间与线性变换： 引入抽象的向量空间概念，讨论子空间、基、维度的定义。重点解析线性变换的核（Kernel）和像（Image）的概念及其与矩阵的联系。本部分强调理解矩阵不仅仅是数字的排列，而是对空间的线性映射。 2.3 特征值与特征向量： 这是理解系统稳定性和动态行为的关键。我们系统地推导了特征方程的解法，并详细阐述了相似变换的意义，特别是对角化（Diagonalization）的条件和必要性。对于非对角化的情况，约旦标准型的基本思想也被引入，为更深入的微分方程分析做准备。 2.4 正交性与最小二乘法： 探讨内积空间、正交基的概念，并详细介绍施密特（Gram-Schmidt）正交化过程。最小二乘法作为处理超定系统和数据拟合的基石，被置于重要地位，并与矩阵的奇异值分解（SVD）的初步概念联系起来。 第三部分：不确定性与推断——基础概率论与数理统计 在数据驱动的时代，对随机现象的量化描述至关重要。本部分构建了概率论的公理化体系，并导出了数理统计的推断工具。 3.1 概率论基础： 从样本空间、事件的基本运算入手，系统阐述概率的公理体系。条件概率、独立性、贝叶斯公式的逻辑框架被详细解析。本书特别强调了随机变量的定义及其分布函数（CDF）的性质。 3.2 常用概率分布： 深入分析离散型和连续型随机变量的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。对二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的特征（期望、方差）及其在实际场景中的应用给出详尽说明。切比雪夫不等式和中心极限定理的证明和应用被着重强调，这是连接个体随机性与宏观统计规律的桥梁。 3.3 统计推断入门： 本部分过渡到描述性统计，讨论了样本均值、方差的性质。重点讲解了参数估计的两种主要方法：矩估计法（Method of Moments）和最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的构造过程和优缺点对比。区间估计（置信区间）的原理和计算方法被清晰阐述。 本书特色与目标读者 本书的编写严格遵循数学的严谨性，但视角始终面向应用。每个主要概念后都附有“工程实践探讨”或“计算模型示例”，展示如何使用现代软件工具（如Python科学计算库）来验证理论结果或解决实际问题。 目标读者： 适用于所有需要扎实数学基础以支撑后续专业课程学习的理工科一年级和二年级学生，特别是计算机科学、电子工程、应用物理、金融工程以及数据分析专业的学生。通过本书的学习，读者将不仅掌握计算工具，更能培养利用数学语言分析复杂系统的能力。
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