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出版者:科学出版社

作者:张学莲

出品人:

页数:162

译者:

出版时间:1991-4

价格:20.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030021601

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 黎曼面
• 微分几何5
• Scarlett_Lan
• 2009
• 黎曼曲面
• 复分析
• 代数几何
• 微分几何
• 拓扑学
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 黎曼几何
• 函数论

《黎曼曲面》 一、 探寻复数世界的几何画卷：黎曼曲面概览 《黎曼曲面》并非一本讲述某一本具体著作的书籍，而是一部深入探索“黎曼曲面”这一数学概念本身的书。黎曼曲面，作为复分析和代数几何中的一个核心对象，为我们理解高维复数空间提供了一个至关重要的视角。它就像是一张精妙的几何画卷，将抽象的复数理论用直观的几何语言展现出来。这本书将带领读者从基础出发，逐步揭开黎曼曲面的神秘面纱，领略其丰富而深刻的数学内涵。 在数学的世界里，我们常常用直线来表示实数，用平面来表示复数。然而，当涉及到更复杂的函数，例如平方根函数 $sqrt{z}$ 或对数函数 $log z$ 时，我们发现单一的复平面已经不足以完整地描述它们的行为。这些函数在某些点（例如 $z=0$ 对于 $log z$）会产生“多值性”的困扰。黎曼曲面正是为了解决这一问题而诞生的。它巧妙地“粘合”了多个复平面（或其局部区域），形成了一个单连通的、光滑的曲面，使得这些多值函数能够在这个新的空间中变成单值函数。 想象一下，你有一个可以旋转的圆盘，但它被一层层地叠加起来，每一层都代表着函数的一个“分支”。黎曼曲面就是将这些分支以一种有逻辑、无缝隙的方式连接起来。这种连接方式并非随意的，而是由函数本身的性质所决定，形成了一张由“片”和“剪开线”组成的精美地图。这本书将详细介绍如何构建这些黎曼曲面，以及不同类型的函数如何对应着不同拓扑结构的黎曼曲面。 二、 基础概念的奠基：从复数到拓扑 要理解黎曼曲面，首先需要坚实的数学基础。《黎曼曲面》将从复数的基础理论开始，回顾复数的基本运算、复平面上的几何表示，以及解析函数的概念。解析函数是黎曼曲面存在的根基，它们的性质直接决定了黎曼曲面的构造。 随后，本书将转向拓扑学，这是理解黎曼曲面几何形状的关键。拓扑学研究的是不因连续变形而改变的性质，比如连通性、孔洞的数量等。读者将学习到同胚、同伦等基本拓扑概念，并了解它们如何用于刻画黎曼曲面的本质特征。例如，一个球面和一个甜甜圈在拓扑上是不同的，因为它们具有不同数量的“孔”。黎曼曲面的分类，很大程度上就是基于它们的拓扑结构。 为了更直观地理解，本书会引入一些重要的拓扑空间，如球面、环面（甜甜圈），以及更一般的亏格（genus）的概念。亏格是衡量一个紧致、无边界曲面“洞”的数量的拓扑不变量。一个亏格为0的曲面就像一个球面，而亏格为1的曲面则类似于一个甜甜圈。理解亏格对于理解黎曼曲面的分类至关重要，因为不同亏格的黎曼曲面具有截然不同的几何和代数性质。 三、 黎曼曲面的构造与分类：从具体到抽象 本书的中心部分将详细介绍黎曼曲面的构造方法。最经典的方法之一是通过“剪开”和“粘合”复平面。例如，对于函数 $w = sqrt{z}$，我们需要在复平面上引入一个“剪开线”（通常是正实轴），然后将两个“副本”的复平面沿着这条线粘合起来，形成一个单叶的双曲面。这本书将深入剖析这种构造过程，并介绍其他更通用的构造方法，例如基于代数曲线的构造。 代数曲线是黎曼曲面的一个重要来源。一条代数曲线（形如 $P(x, y) = 0$ 的方程）的“函数域”可以自然地诱导出一个黎曼曲面。这条曲线上的“点”对应着黎曼曲面上的“点”，而曲线上的“有理函数”（可以表示为两个多项式的商）则对应着黎曼曲面上的“全纯函数”。这种代数几何的视角为研究黎曼曲面提供了强大的工具。 在掌握了构造方法后，本书将进入黎曼曲面的分类阶段。一个关键的定理是，所有单连通的黎曼曲面都同胚于球面。然而，对于非单连通的黎曼曲面，分类则更加丰富。对于紧致的黎曼曲面，它们的拓扑类型完全由其亏格决定。亏格为0的黎曼曲面同胚于球面，亏格为1的黎曼曲面同胚于环面，亏格为2的曲面则具有两个“洞”，以此类推。本书将详细证明这些分类结果，并探讨它们的几何意义。 四、 黎曼曲面上的分析与几何：函数论的舞台 黎曼曲面不仅仅是一个几何对象，它更是复分析和微分几何的绝佳舞台。本书将探讨在黎曼曲面上进行的各种分析操作。例如，我们可以在黎曼曲面上定义“全纯函数”和“亚纯函数”。全纯函数是黎曼曲面上最重要的函数类，它们在复数世界中扮演着类似多项式的角色，具有许多优良的性质。 一个重要的概念是“除子”（divisor）。除子可以看作是黎曼曲面上函数零点和极点的“组合”，它们编码了函数的代数信息。本书将深入研究除子的性质，特别是“线性等价”的概念，并介绍著名的“黎曼-罗赫定理”（Riemann-Roch theorem）。这个定理是黎曼曲面论中的基石之一，它联系了除子的代数性质（其次数和零点/极点信息）以及曲面上某个线性空间的维度，是理解黎曼曲面上函数分布规律的强大工具。 除了代数性质，黎曼曲面也拥有丰富的几何结构。我们可以给黎曼曲面赋予“度量”，使其成为一个具有距离和曲率的几何空间。本书将介绍黎曼曲面上的“微分形式”和“张量”的概念，以及如何定义曲率。特别地，对于亏格大于1的黎曼曲面，它们可以被赋予一个“度量”，使得曲率处处为负。这与我们熟悉的欧几里得几何（平坦）和球面几何（正曲率）形成鲜明对比，揭示了非欧几何的深刻性。 五、 应用与展望：黎曼曲面在数学与物理中的魅力 黎曼曲面的研究不仅仅是纯粹的数学探索，它在许多数学分支和物理领域都有着广泛而重要的应用。《黎曼曲面》将展示这些应用，让读者体会到这一抽象概念的实际意义。 在代数几何中，黎曼曲面是研究代数曲线和代数曲面的基础。代数几何的核心问题之一就是研究代数簇上的函数，而黎曼曲面提供了理解这些函数的几何框架。 在复动力学中，黎曼曲面用于研究迭代函数的行为，特别是分形和混沌现象的产生。许多重要的复动力学系统，如Mandelbrot集合的边界，都与黎曼曲面的性质密切相关。 在数论领域，黎曼曲面与数论中的许多深刻问题，例如椭圆曲线和数论函数，有着密切的联系。 在数学物理中，黎曼曲面的应用尤为突出。例如，在弦理论中，弦的振动模式可以用在黎曼曲面上定义的函数来描述。共形场论（CFT）的核心对象之一就是黎曼曲面，它描述了二维临界现象的普适性。二维量子引力模型也与黎曼曲面的结构紧密相连。 本书的最后部分将对黎曼曲面的前沿研究进行展望，介绍一些仍在积极探索的领域，例如高维黎曼流形、模空间等。通过阅读《黎曼曲面》，读者将不仅掌握一套理解复数世界奥秘的数学工具，更能领略到数学自身所蕴含的逻辑之美和探索精神。这本书是一次穿越数学迷宫的精彩旅程，一次对抽象世界深层结构的哲学思考，更是一扇通往更广阔数学与物理图景的窗口。

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这本书的封面设计真是太引人注目了，那种深邃的蓝色调，配上一些若隐若现的金色线条，仿佛在诉说着一个关于未知宇宙和复杂结构的故事。我是在书店里偶然翻到的，光是翻阅目录就能感觉到作者在试图构建一个宏大而精密的知识体系。虽然我不是数学专业的，但那种扑面而来的学术气息还是让我对内容充满了好奇。我记得翻到其中一章讲到拓扑学和几何学的交叉点时，作者的论述深入浅出，即便是初学者也能感受到那种逻辑的严谨和美感。当然，我得承认，有些更深层次的证明和推导对我来说还是有些晦涩，需要反复阅读才能捕捉到作者的精髓。不过，整体而言，这本书为我打开了一扇通往更高维度数学世界的大门，让我对“空间”和“形变”有了全新的理解。它不仅仅是一本教材，更像是一部哲学著作，引导读者去思考数学的本质和边界。

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坦白说，我一开始是对这本书的“名气”感到好奇，毕竟这个领域有很多经典著作，但这本书似乎总能带来一些不一样的视角。它最大的特点在于，它没有把读者当成一个只需要记忆公式的机器。相反，作者似乎一直在和你进行一场智力上的对话。他提出的问题往往非常具有启发性，让你在读完一个段落后，会不由自主地停下来，问自己：“等等，如果我稍微改变一下条件，结果会怎样？” 书中的插图设计也值得称赞，它们不是那种呆板的几何图形，而是充满了动态感，帮助我们直观地理解那些多维的结构是如何相互作用的。我用了比预期长得多的时间来啃完它，主要是因为我不想错过作者在字里行间埋下的那些“彩蛋”——那些关于尚未解决问题的讨论，那些对未来研究方向的展望，这些部分比那些成熟的理论更让我兴奋，充满了探索的激情。

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这本书的文字风格非常冷静且克制，如同一个技艺精湛的工匠在打磨一件复杂的艺术品。每一个句子都经过了精确的斟酌，没有丝毫多余的词藻，但力量却极其强大。对于我这种偏好清晰、逻辑严密的叙述的人来说，这简直是一种享受。它最大的价值在于，它成功地将某些极其艰深的数学工具，以一种结构化的方式呈现在读者面前，让那些原本看似散乱的知识点，有了一个统一的框架可以依附。我发现，自从阅读了这本书，我在处理其他相关领域的复杂数据时，思路也变得更开阔了，因为它提供了一种看待结构和关联的底层思维模式。虽然我不确定普通大众能从中获取多少乐趣，但对于任何一个致力于深入研究抽象科学的人来说，这绝对是一部里程碑式的作品，它清晰地勾勒出了一个理论体系的骨架。

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这本书的阅读体验，与其说是学习，不如说是一种对逻辑极限的探索。我发现作者在处理那些边界情况时，展现出了惊人的细致。他似乎不放过任何一个可能引起歧义的定义，并且会用极其严苛的标准去审视每一个假设的合理性。我记得有一处关于连通性的讨论，作者用了将近两页的篇幅来澄清一个看似微不足道的前提，但正是这种对细节的执着，铸就了整个理论的坚不可摧。我发现自己越来越依赖这本书来检验我自己的理解是否足够“纯粹”。它迫使我不断地后退，重新审视我习以为常的数学直觉。与其说它教给了我新的知识，不如说它修正了我旧有的错误认知。这本书无疑是领域内的重量级著作，它要求读者付出极大的专注力，但给予的回报是知识体系的彻底巩固和思维方式的深刻重塑。

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读完这本书的感受，简直就像经历了一场精妙的思维迷宫探险。它不像我之前读过的那些教科书那样枯燥乏味，而是充满了某种艺术家的灵性。作者在阐述复杂概念时，总是能找到最贴切的比喻，比如用折纸的方式来解释某些映射关系，一下子就让那些抽象的符号活了起来。我尤其欣赏作者对历史背景的梳理，他不仅仅是给出结论，而是细致地描绘了这些理论是如何一步步演化而来，有哪些关键的转折点，哪些数学家的洞察力彻底改变了格局。这使得阅读过程充满了叙事感，我感觉自己仿佛跟随着那些伟大的先驱者一起在知识的前沿摸索。虽然有些章节的密度实在太大了，我不得不停下来，泡杯茶，思考很久才能继续，但这种“慢读”的过程反而让我吸收得更扎实。这本书绝对值得所有对纯粹理性之美感兴趣的人收藏。

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全部是定理的编排。。。。不值得阅读，仅仅适合复习和当做资料。直接转向《代数曲线》本书命题是现代的，但是其证明还是函数论那套东西

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全部是定理的编排。。。。不值得阅读，仅仅适合复习和当做资料。直接转向《代数曲线》本书命题是现代的，但是其证明还是函数论那套东西

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