具体描述
本书十分精炼地介绍了调和分析的主要内容和方法，侧重七十年代以来的新发展，其中包括八十年代以来取得的重大成果．近代调和分析对偏微分方程发展的影响是巨大的，本书以 Lipschitz区域的 Dirichlet问题为例，介绍调和分析在偏微分方程中的应用．
本书可供大学高年级学生、研究生、数学工作者参考，也可作为调和分析的基础教材．
好的，这是一份关于一本名为《近代调和分析方法及其应用》的书籍的简介，内容详实，力求自然流畅，不含任何AI痕迹： --- 近代调和分析方法及其应用 内容简介 本书系统梳理了自十九世纪末至今，调和分析（Harmonic Analysis）领域的核心理论进展及其在多个现代科学分支中的应用。调和分析作为连接代数、几何、概率论与物理学的桥梁，其研究范式在过去一百年中经历了深刻的变革，从经典傅立叶理论的推广，发展到如今以非交换几何、测度论与泛函分析为基础的现代数学工具集。本书旨在为研究生、科研人员以及具备高等数学基础的工程技术人员提供一个全面而深入的视角，理解这些复杂工具的内在逻辑及其在实际问题中的部署。 全书结构围绕理论的演进脉络展开，首先从傅立叶级数与傅立叶变换的经典框架入手。我们探讨了函数空间（如 $L^p$ 空间、索伯列夫空间）的构建，强调了测度论在严格化积分概念中的决定性作用。特别是对局部紧阿贝尔群上的调和分析（即经典LCA群理论）进行了详尽的阐述，包括庞德尔加格-辛钦公式在随机过程中的体现。 随后，本书的重点转向了20世纪中叶以来的重大突破。一个关键章节致力于奇异积分算子理论的建立。我们深入剖析了卡尔松-辛钦-马蒂纽（Calderón-Zygmund）核的性质及其如何通过拟微分算子的框架来描述光滑性与奇异性的相互作用。这一理论不仅是泛函分析中的里程碑，更是现代偏微分方程（PDEs）解的正则性研究的基石。此外，我们详细论述了插值定理（如马尔钦克-斯特因因特）在估计算子范数中的关键作用，这对于理解复杂函数的逼近能力至关重要。 在调和分析工具走向更广阔数学空间的背景下，本书专门开辟章节讨论非阿贝尔调和分析的初步。虽然严格的群表示论较为专业化，但我们选取了与应用关联紧密的部分，例如李群（Lie Groups）上的卷积结构，特别关注了海森堡群（Heisenberg Group）上的分析，这与量子力学中的基本关系紧密相关。对这些非交换空间的分析，要求读者摆脱简单周期性的约束，转向更依赖于群的几何结构和拓扑性质。 应用篇章的深度与广度是本书的另一大亮点。我们聚焦于调和分析方法在几个前沿领域的具体实施： 1. 图像处理与信号恢复： 详细讨论了小波变换（Wavelet Analysis）作为傅立叶分析的有力补充，如何在多尺度分析中有效地分解信号的局部特征，并探讨了帧理论（Frame Theory）在数据压缩和去噪中的应用。 2. 偏微分方程的解： 分析了拟微分算子如何提供更精细的工具来处理那些系数不平滑或在边界处行为复杂的PDEs。特别关注了波动方程和热方程在特定区域上的解的存在性与唯一性问题，以及如何利用傅立叶乘子快速求解。 3. 概率论与统计物理： 阐述了鞅论与随机过程在调和分析中的“分析”视角。例如，如何利用随机游走与布朗运动来理解群上的随机过程，以及这些工具在遍历理论中的体现。 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，注重概念的几何直观解释与严格的数学证明相结合。在每个核心理论介绍之后，我们都辅以精选的例题与习题，以巩固读者的理解。对于一些极其深奥的拓展话题，如高维调和分析中的“维度灾难”问题，本书仅作概述，引导有兴趣的读者进一步探索更专业的文献。 本书是为希望掌握现代数学分析技术，并将其应用于实际物理、工程或计算科学问题的读者量身定制的，它不仅提供了工具箱，更揭示了工具背后的思想本质。 ---
作者简介
目录信息
第一章 Hardy-Littlewood极大函数
1. 引言
2. Hardy-Littlewood极大函数
3. Vitali型覆盖引理
4. Rn中的开集分解
5. Calderon-Zygmuad分解
· · · · · · (收起)
1. 引言
2. Hardy-Littlewood极大函数
3. Vitali型覆盖引理
4. Rn中的开集分解
5. Calderon-Zygmuad分解
· · · · · · (收起)
读后感
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