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出版者:中央广播电视大学出版社

作者:李庆忠

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2004-6

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030083364

丛书系列:

图书标签:

• 复变函数
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• 高等数学
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书籍简介：《微分几何导论》 书名： 微分几何导论 内容简介： 《微分几何导论》是一部深入浅出、内容详实的数学专著，旨在为读者构建起理解现代几何学的坚实基础。本书的编写遵循“由浅入深，循序渐进”的原则，力求在严谨的数学逻辑与清晰的几何直觉之间找到完美的平衡点。本书的深度和广度都经过精心设计，不仅适合作为高等院校数学系本科高年级或研究生阶段的教材，也适合对纯粹数学和应用几何学有浓厚兴趣的自学者和研究人员。 本书的第一部分聚焦于曲线与曲面的基础理论，这是微分几何的起点和直观入口。我们首先从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中曲线的参数化入手，详细阐述了曲线的内蕴几何量——弧长、挠率和曲率。在这里，我们引入了经典的弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式，并用详尽的例子说明了它们在描述空间曲线运动轨迹中的关键作用。 随后，我们将目光投向平面曲线和三维空间曲面。曲面的概念是理解更抽象几何结构的基石。我们采用了规则曲面（Regular Surfaces）的经典描述方法，引入了曲面的第一基本形式和第二基本形式。第一基本形式（Metric Tensor）是定义曲面上内蕴几何（如长度、角度和面积）的核心工具，它使得我们能够在曲面上进行“测地”测量，而无需依赖于周围嵌入空间的信息。第二基本形式则揭示了曲面如何嵌入到三维空间中，特别是通过研究主曲率、高斯曲率和平均曲率，我们深入剖析了曲面的局部弯曲性质。高斯绝妙定理（Gauss' Theorema Egregium）在本书中得到了重点阐述，它精辟地指出了高斯曲率作为曲面的一个内蕴不变量的深刻意义——即曲面可以在不拉伸或剪切的情况下保持其曲率的特性。 第二部分是本书的核心，致力于流形（Manifolds）的现代理论。流形是微分几何中描述拓扑空间和局部欧几里得结构相结合的中心概念。我们从拓扑空间的预备知识开始，逐步引入拓扑流形、光滑流形的概念。流形的定义保证了我们可以在局部使用微积分工具，而无需全局坐标系的限制。 在光滑流形的基础上，本书系统地介绍了切空间（Tangent Spaces）和向量场（Vector Fields）。切空间是流形上每一点的“局部线性近似”，它是微分运算发生的场所。向量场则代表了流形上的一个可微方向分配，是研究动力学系统和微分方程的基础。我们详细讨论了微分形式（Differential Forms）和外导数（Exterior Derivatives）。外微分代数提供了一种与坐标系无关的方式来处理微分、积分和微分方程，极大地简化了许多复杂的计算。我们强调了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）与拓扑结构之间的深刻联系，这是连接分析与拓扑的关键桥梁。 本书的第三部分则探讨了联络（Connections）和测地线（Geodesics）。在没有度量结构时，我们无法谈论“直线”或“弯曲”。引入联络（特别是仿射联络和黎曼联络）是微分几何中“连接”不同切空间的桥梁。我们详细推导了协变导数（Covariant Derivative），它是在弯曲空间中进行导数运算的唯一自然方式。 在黎曼几何的框架下，我们定义了测地线——即局部上“最短”的路径或“最直”的路径。测地线方程的推导贯穿了本书，展示了如何利用黎曼度量张量和克里斯托费尔符号来计算这些重要曲线。我们还深入研究了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），它衡量了流形偏离平坦空间（欧几里得空间）的程度。曲率张量是流形内在几何的终极描述符，其所有性质（如里奇张量、数量曲率）都在书中得到了细致的剖析。 本书的特点与优势： 1. 清晰的数学语言与丰富的几何直觉结合： 本书避免了纯粹形式化的堆砌，而是通过大量直观的几何图像和具体的例子来辅助读者理解抽象概念，尤其是在引入流形和张量时，这一点尤为突出。 2. 强调内蕴性： 贯穿全书的主线是区分一个几何结构是内蕴的（不依赖于外部嵌入空间）还是外蕴的（依赖于嵌入空间）。这对于理解爱因斯坦的广义相对论等现代物理理论至关重要。 3. 广泛的覆盖面： 内容覆盖了从经典微分几何（曲率、测地线）到现代黎曼几何（流形、张量分析、黎曼曲率）的核心知识体系，为读者继续深入研究如规范场论、拓扑学或广义相对论等领域打下了坚实的基础。 4. 详尽的例题与习题： 每章末尾均配有大量精心设计的习题，难度适中，涵盖了从基础计算到概念性证明的各个层面，有助于读者巩固所学知识并培养独立分析问题的能力。 《微分几何导论》不仅是一本教材，更是一张导向几何学宏伟殿堂的地图，它将带领读者领略空间结构之美，体验数学思维的严谨与优雅。

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我一直认为，一本好的数学书，应该能够点燃读者的好奇心，激发他们主动去探索的欲望。而这本《复变函数》，恰恰做到了这一点。从一开始，它就没有将复变函数仅仅当作一套枯燥的公式和定理来呈现，而是将其置于一个更广阔的数学和物理背景下进行讲解。比如，在引入复数时，它就巧妙地联系了复数在物理学中的应用，如交流电路和量子力学，这让我在学习抽象概念的同时，也能感受到数学的强大生命力。书中的每一章都像是一个独立的故事，讲述着复变函数世界的某个精彩篇章。我特别喜欢它关于复数函数积分的讲解，作者不仅详细阐述了柯西积分定理，还深入探讨了它在求解实积分时的应用，这让我第一次认识到，原来复变函数不仅仅是研究复数本身，更是一种强大的工具，能够帮助我们解决很多实数领域难以解决的问题。书中的一些图示，也设计得非常巧妙，比如在解释复数函数映射时，那些不同颜色和形状的曲线，在映射前后发生的变化，直观地展现了函数的性质。我还记得，在讲到复数函数级数展开时，作者用了大量的篇幅去解释泰勒级数和洛朗级数，并且详细地分析了它们收敛域的几何意义。这个过程让我深刻理解了函数展开的精妙之处，也为我后续学习更高级的数学理论打下了坚实的基础。书中的习题，也设计得非常有特色，它们不仅仅是简单的计算题，更是一些具有挑战性的问题，需要读者运用所学的知识去分析和解决。完成这些习题的过程，就像是在和数学进行一场精彩的对话，每一次的思考和尝试，都让我对数学有了更深的理解。

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这本书给我的感觉，就像是在探索一个全新的维度。我一直对那些超越三维空间的概念感到好奇，而复变函数恰好打开了我认识这个维度的大门。书的开篇，对于复数的引入，我花了很长时间去体会，从代数定义到几何表示，作者循序渐进，让我一步步地理解了复数这个看似“虚幻”但又无比强大的数学工具。尤其喜欢书中对复数乘法几何意义的解释，旋转和平移的结合，让我瞬间掌握了复数乘法的核心。然后，书就自然而然地将我们带入了复数函数的奇妙世界。我印象最深的是关于复数函数积分的讲解，柯西积分定理的直观几何解释，以及它如何推广到一般的可积函数，让我对积分的理解上升到了一个新的高度。书中的插图，真的做得非常精美，那些在复平面上舞动的曲线和曲面，将抽象的函数性质直观地展现出来。例如，在介绍解析函数时，书中用大量的图来展示不同复数函数的映射过程，这让我能够“看到”函数的变化，而不是仅仅停留在公式的层面。我尤其喜欢书中关于保角映射的讨论，它在物理学和工程学中的应用，让我看到了数学的实用价值。作者在讲解每一个定理时，都会深入浅出地分析其证明思路和几何意义，这让我不仅仅是记住结论，更能理解其背后的逻辑。书后的习题，也是我学习过程中不可或缺的一部分，它们的设计非常精巧，有的需要严密的逻辑推理，有的需要巧妙的数学技巧，每一次完成一道题，都让我感觉自己又掌握了一个新的数学工具。这本书，不仅仅是一本教材，更像是一次深入的数学之旅，让我对复变函数这个领域有了全新的认识。

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这本《复变函数》带给我的，是一种前所未有的数学体验。我一直觉得，数学学习的最高境界，是能够“看到”数学，也就是说，能够将抽象的符号和公式，转化为具象的几何图形或者物理过程。这本书在这方面做得尤为出色。开篇的复数几何表示，我就花了不少时间去体会，从笛卡尔坐标到极坐标，再到复平面上的点和向量，每一种表示方式都让我对复数的理解更加深入。作者在引入复数乘法和除法时，也反复强调了它们在几何上的意义，比如旋转和缩放，这让我一下子就抓住了复数运算的精髓。当我看到书中关于复数函数映射的讲解时，更是惊为天人。那些将直线、圆映射成其他曲线、曲面的过程，简直就像是在欣赏一幅幅流动的数学画卷。特别是对于一些特殊的映射，比如莫比乌斯变换，书中用了大量的篇幅去介绍它的性质和应用，我第一次认识到，原来空间是可以这样被扭曲和折叠的，而这些看似微小的变化，却能解决很多实际问题。我记得其中有一个例子，是关于如何利用莫比乌斯变换将一个复杂的区域映射成一个简单的区域，从而简化计算，这个例子让我对数学的工具性有了全新的认识。书中的概念推导过程，逻辑严谨，步步为营，让我感觉自己仿佛置身于数学家的思考过程中，一步步地构建起理论的大厦。即使是一些非常复杂的定理，比如留数定理，作者也用通俗易懂的语言进行了解释，并配以直观的图形，使得原本高深的理论变得触手可及。而书后的习题，更是将理论知识的运用发挥到了极致，它们不仅考察了计算能力，更注重对数学思想的理解和运用。我花费了大量的时间去思考和解决这些习题，每一次的成功都带给我巨大的满足感，感觉自己的数学能力得到了质的飞跃。

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这本书的装帧设计我不得不提一句，非常有质感，拿在手里沉甸甸的，纸张的触感也很好，印刷清晰，排版合理，即使长时间阅读眼睛也不会觉得疲劳。我一直认为，一本好书，除了内容本身，其载体同样重要，这本书在这方面做得非常出色。我个人一直对数学中的“抽象”和“美”有着强烈的追求，而复变函数恰好是这两者的完美结合。这本书在这一点上做得非常到位，它没有回避复数以及复变函数本身的抽象性，而是通过层层递进的讲解，将这些抽象的概念变得生动起来。比如，当它介绍解析函数的时候，作者并没有直接给出定义，而是先从复数函数的可微性谈起，然后自然而然地引出了柯西-黎曼方程，并强调了它作为函数可导的充要条件的重要性。这个过程让我觉得，知识的构建是有逻辑可循的，而不是凭空产生的。书中的内容组织也很有条理，章节之间的过渡非常自然，不会让人感到突兀。我印象特别深刻的是，在讲到保角映射的时候，作者用了很多生动的例子来解释这个概念，比如它在物理学中的应用，在流体力学和电磁场理论中，保角映射能够帮助我们简化复杂的边界条件，从而更容易地求解问题。这种将抽象理论与实际应用相结合的方式，极大地激发了我学习的兴趣，也让我对数学的实用性有了更深的认识。而且，书中的一些证明，作者写得非常详细，并且给出了多种证明思路，这对于理解定理的内涵和外延非常有帮助。我曾经花了好几天的时间去钻研一个关于调和函数的定理，通过对照书中不同的证明方法，我不仅理解了这个定理，还对调和函数本身有了更深刻的体会。这本书的习题集也是一大亮点，它不仅仅是知识点的简单复习，很多题目都设计得非常有启发性，能够引导读者去思考，去探索。完成这些习题的过程，就像是在解一道道数学谜题，每解开一道，都感觉自己的思维又上了一个台阶。

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这本书，说实话，我拿到的时候，抱着极大的期待，毕竟“复变函数”这个名字本身就自带一种神秘又深邃的光环，让人联想到那些在二维平面上舞蹈的复数，以及它们所孕育出的无穷奥秘。我本身是对数学，尤其是那些超越实数范畴的理论，有着一股莫名的迷恋。翻开书的第一页，扑面而来的便是一种严谨的气息，那些清晰的定义，规范的符号，一下子就把我带入了一个抽象的世界。我特别喜欢它在引入基本概念时所做的铺垫，比如复数的几何表示，以及它如何与向量、坐标系巧妙地结合，这为我理解后续更复杂的概念打下了坚实的基础。而且，作者在讲解过程中，并没有一味地堆砌公式，而是花了相当大的篇幅去阐述这些公式背后的几何意义和物理含义。我记得有一段讲到复数函数的导数，作者通过类比实函数导数的“变化率”和“切线斜率”，巧妙地引出了柯西-黎曼方程，这个过程让我豁然开朗，感觉不再是单纯地记忆一套规则，而是真正理解了它的精髓所在。书中的插图也做得十分精美，各种曲线、曲面在复平面上的映射，直观地展现了函数的性质，这对于我这样视觉型学习者来说，简直是福音。更不用说那些精心设计的例题，它们覆盖了从入门到进阶的各个层次，有基础的计算题，也有需要深入思考的应用题，完成它们的过程，既是对知识的巩固，也是一种智力上的挑战，每次解出一道难题，都有一种成就感油然而生。我尤其欣赏作者在处理一些经典定理时，比如柯西积分定理和留数定理，不仅仅是给出了定理的陈述和证明，还详细地解释了它们在解决实际问题中的重要性，比如在计算复杂积分时，留数定理简直就是神来之笔，大大简化了计算过程。总而言之，这本书在我眼中，不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引导我一步步探索复变函数的奇妙世界。

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坦白说，我拿到这本书的时候，内心是有些忐忑的，毕竟“复变函数”这四个字，听起来就充满了挑战。然而，翻开书页的那一刻，我的担忧便烟消云散了。作者以一种极其细腻和循序渐进的方式，将我们引入复数的世界。从复数的代数定义，到它在平面上的几何表示，再到复数乘法和除法的几何意义，每一步都踏实而稳健，让我感觉自己仿佛被一位经验丰富的向导带领着，在陌生的数学领域中穿行。我尤其赞赏作者在讲解复数函数积分时所下的功夫。柯西积分定理的提出，不仅仅是给出了一个公式，更是通过几何直观，让我们理解了为什么封闭曲线上的积分会等于零。这种“由表及里”的讲解方式，让我对数学定理的理解不再停留在表面，而是能够深入到其本质。书中的插图，也是这本书的一大亮点。那些在复平面上变化的曲线、曲面，直观地展现了函数的性质，让我能够“看见”数学，而不是仅仅停留在符号的层面。我记得，在介绍解析函数时，书中用大量的图来展示不同函数对几何图形的映射，这让我对函数的理解变得生动而形象。而且，作者在讲解过程中，并没有回避数学的严谨性，每一个概念的定义，每一个定理的证明，都写得清晰而透彻。例如，对柯西-黎曼方程的推导，作者一步步地剖析，让我明白了它为何是函数可导的充要条件。书后的习题，更是精心设计，它们不仅考察了对知识点的掌握程度，更考验了我们的数学思维能力。完成这些习题的过程，就像是在解一道道精巧的数学谜题，每一次的突破都让我充满了成就感。

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这本书，对我而言，不仅仅是一本教材，更像是一次思维的洗礼。我一直觉得，数学的魅力在于其逻辑性和普适性，而这本书恰恰展现了这一点。从复数的定义开始，作者就引导我们进入了一个全新的数学维度。复数在几何上的直观表示，让我对数有了更深的理解，不再仅仅是冰冷的数字，而是有了生命和形态。我特别喜欢书中关于复数函数积分的讲解，作者不仅详细阐述了柯西积分定理，还深入探讨了它在求解实积分时的应用，这让我第一次认识到，原来复变函数不仅仅是研究复数本身，更是一种强大的工具，能够帮助我们解决很多实数领域难以解决的问题。书中的图示，也设计得非常巧妙，比如在解释复数函数映射时，那些不同颜色和形状的曲线，在映射前后发生的变化，直观地展现了函数的性质。我还记得，在讲到复数函数级数展开时，作者用了大量的篇幅去解释泰勒级数和洛朗级数，并且详细地分析了它们收敛域的几何意义。这个过程让我深刻理解了函数展开的精妙之处，也为我后续学习更高级的数学理论打下了坚实的基础。书中的习题，也设计得非常有特色，它们不仅仅是简单的计算题，更是一些具有挑战性的问题，需要读者运用所学的知识去分析和解决。完成这些习题的过程，就像是在和数学进行一场精彩的对话，每一次的思考和尝试，都让我对数学有了更深的理解。

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这本书，让我重新认识了数学的魅力。我一直认为，数学是一门抽象的科学，但这本书却通过生动形象的语言和精美的图示，将复变函数这个原本抽象的领域，变得触手可及。从复数的几何表示，到复数函数的映射，每一个概念的引入都恰到好处，让我能够一步步地理解这个全新的数学世界。我特别喜欢书中关于复数函数积分的讲解，作者不仅详细阐述了柯西积分定理，还深入探讨了它在求解实积分时的应用，这让我第一次认识到，原来复变函数不仅仅是研究复数本身，更是一种强大的工具，能够帮助我们解决很多实数领域难以解决的问题。书中的图示，也设计得非常巧妙，比如在解释复数函数映射时，那些不同颜色和形状的曲线，在映射前后发生的变化，直观地展现了函数的性质。我还记得，在讲到复数函数级数展开时，作者用了大量的篇幅去解释泰勒级数和洛朗级数，并且详细地分析了它们收敛域的几何意义。这个过程让我深刻理解了函数展开的精妙之处，也为我后续学习更高级的数学理论打下了坚实的基础。书中的习题，也设计得非常有特色，它们不仅仅是简单的计算题，更是一些具有挑战性的问题，需要读者运用所学的知识去分析和解决。完成这些习题的过程，就像是在和数学进行一场精彩的对话，每一次的思考和尝试，都让我对数学有了更深的理解。

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这本书的魅力，在于它将抽象的数学概念，通过清晰的逻辑和生动的图示，变得触手可及。我一直对数学有一种莫名的敬畏感，总觉得那些高等数学的理论离我非常遥远，但这本书改变了我的看法。从复数开始，作者就用一种非常友好的方式引导我们进入这个奇妙的世界。复数的几何意义，如复平面上的点、向量、直线、圆，都通过精美的图示得到了完美的展现，让我一下子就理解了复数的几何内涵。我特别喜欢书中关于复数函数映射的讲解，那些原本在复平面上毫无关联的图形，在函数的映射下，竟然能演变成如此有趣的形态，这让我深刻体会到了数学的美感。例如，书中对莫比乌斯变换的详细介绍，以及它在将一个区域映射到另一个区域时的奇妙效果，让我惊叹于数学的创造力。作者在讲解过程中，也非常注重数学的严谨性，每一个定义、每一个定理，都经过了详尽的推导和解释。例如，在介绍解析函数时，柯西-黎曼方程的推导过程，清晰而富有逻辑，让我明白了可导性的本质。书中的习题，也设计得非常有深度，它们不仅仅是对知识点的简单考察，更是对数学思维的锻炼。我花了大量的时间去思考和解决这些习题，每一次的成功都带给我巨大的成就感，让我觉得自己离数学家又近了一步。这本书，让我对复变函数这个曾经让我望而生畏的领域，产生了浓厚的兴趣，也让我看到了数学的无穷魅力。

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我必须说，这本书给我带来的惊喜，远超出了我的预期。原本以为“复变函数”会是一门极其枯燥乏味的课程，但这本书却将它演绎得如此精彩。从复数的引入开始，作者就用一种非常直观的方式，将我们带入了复数的世界。复数的几何表示，如同为我们打开了一扇新的窗户，让我们看到了数在空间中的舞蹈。我尤其欣赏作者在讲解复数函数积分时的细致之处，柯西积分定理的几何意义，以及它如何能够解决复杂的积分问题，让我对数学的严谨性和实用性有了更深的认识。书中的图示，更是这本书的一大亮点。那些在复平面上变化的曲线、曲面，直观地展现了函数的性质，让我能够“看见”数学，而不是仅仅停留在符号的层面。例如，在介绍解析函数时，书中用大量的图来展示不同函数对几何图形的映射，这让我对函数的理解变得生动而形象。而且，作者在讲解过程中，并没有回避数学的严谨性，每一个概念的定义，每一个定理的证明，都写得清晰而透彻。例如，对柯西-黎曼方程的推导，作者一步步地剖析，让我明白了它为何是函数可导的充要条件。书后的习题，更是精心设计，它们不仅考察了对知识点的掌握程度，更考验了我们的数学思维能力。完成这些习题的过程，就像是在解一道道精巧的数学谜题，每一次的突破都让我充满了成就感。

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