Knot Theory and Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:

出品人:

页数:163

译者:

出版时间:1985-10

价格:USD 34.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387156804

丛书系列:

图书标签:

• 纽结理论
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《几何的优雅：从结到形》 简介 本书是一次引人入胜的数学探索之旅，它将带您深入了解几何学世界中两种迷人而深刻的概念：结的理论与流形的几何。我们并非意图提供一套详尽的、具有开创性的技术手册，而是致力于勾勒出这两个领域的核心思想、历史脉络以及它们之间微妙的联系，旨在激发读者对数学之美的深刻理解与欣赏。 第一部分：结的缠绕艺术 在本书的第一部分，我们将从最直观也最复杂的几何对象之一——“结”——开始。您可能会认为结不过是绳索打成的死结，但数学家们却赋予了它严谨的定义和丰富的内涵。在这里，结被视为嵌入三维欧氏空间中的一条光滑闭合曲线，它不能自行相交。我们抛开现实中绳索的粗细和材质，只关注其拓扑性质：即那些在连续变形下保持不变的特性。 我们将从最基本的概念入手，例如什么是“平凡结”（即一个简单的圆圈，可以通过变形恢复原状）以及如何区分不同的非平凡结。您将了解到，看似简单的结，其分类却蕴含着巨大的数学挑战。我们会介绍一些早期研究者如何尝试识别和区分结，例如通过分析其“交叉数”（cross number）——即在特定投影下最少的交叉点数量。然而，交叉数并非一个完美的判断标准，它并不能完全区分所有不同的结。 本书将着重介绍“结不变量”（knot invariants）这一核心概念。结不变量是那些在两个结可以通过“纽结”（ambient isotopy）——即在三维空间中连续、不自交地变形到彼此——时保持不变的量。它们是我们识别和区分不同结的最有力工具。我们将逐一介绍一些经典的结不变量： 亚历山大多项式（Alexander polynomial）：这是一种早期且重要的结不变量，它能够捕捉结的一些基本拓扑特征。我们将展示它是如何通过分析结的覆盖空间（covering spaces）或通过求解一个特定的矩阵方程得到的。虽然它不能区分所有结，但它是理解后续更复杂不变量的基石。 琼斯多项式（Jones polynomial）：这是20世纪80年代的一项突破性发现，极大地推动了结理论的发展。琼斯多项式比亚历山大理论更加强大，能够区分更多种类的结。我们将探讨它的构造方法，例如基于特定的单项式（monoids）或量子群（quantum groups）的表示理论，这些看似高深的概念，我们将以一种易于理解的方式呈现，侧重于它们如何提供区分结的独特视角。 其他新兴不变量：我们还将简要提及一些近现代发展出的更强大的结不变量，例如基于卡格（Khovanov homology）的卡格同调（Khovanov homology）理论，以及它与琼斯多项式之间的深刻联系。这些理论往往更加抽象，但它们揭示了结理论与代数几何、表示论等领域更深层的数学结构。 在介绍这些不变量的同时，我们也将穿插一些历史故事和直观的例子。例如，我们将讨论高斯（Gauss）和开尔文勋爵（Lord Kelvin）关于原子是涡旋的早期构想，以及数学家们如何从这些物理学家的猜想中获得灵感，开始系统地研究结的数学性质。我们将通过大量的图示，帮助您可视化不同结的结构以及它们不变量的计算过程。 第二部分：流形的优雅形态 在本书的第二部分，我们将视角从一维的曲线（结）扩展到更高维度的几何对象——“流形”（manifolds）。流形可以被形象地理解为局部上与欧氏空间相似的空间。最熟悉的例子是二维流形，例如球面（局部上看就像一个平面）、圆环面（一个甜甜圈的表面）。但流形的概念远不止于此，它可以是三维、四维，甚至任意维度的空间。 我们将首先澄清流形的基本定义：一个拓扑空间，其中每个点都有一个邻域同胚于欧氏空间 Rn。我们也将区分“嵌入流形”（embedded manifolds）和“浸入流形”（immersed manifolds）。本书将主要关注嵌入流形，特别是那些在三维欧氏空间中的嵌入。 局部与整体的张力：流形的核心思想在于“局部相似性”与“整体拓扑”之间的张力。一个流形的所有局部看起来都很平坦，但当我们将这些局部“粘合”起来，整体的形状却可能非常复杂和丰富。例如，一个球体和一张纸都可以在局部被看作平面，但它们的整体形状和性质却截然不同。 分类的挑战：就像结的分类一样，流形的分类也是数学中的核心难题。我们将介绍不同维度流形的分类进展。 二维流形：您将了解到，所有连通的、紧致的二维流形都可以通过其“亏格”（genus）——即“洞”的数量——来完全分类。例如，亏格为0的二维流形是球面，亏格为1的是环面，亏格为2的是两个“洞”的环面，以此类推。 三维流形：三维流形的分类要困难得多，被誉为20世纪末数学中最艰巨的挑战之一。我们将介绍“庞加莱猜想”（Poincaré conjecture）及其最终的解决（由佩雷尔曼完成），这个猜想是关于三维球面的一个重要问题，也是三维流形分类研究的标志性成果。我们将简要解释庞加莱猜想的核心思想，即任何一个单连通（所有闭合曲线都可以收缩成一个点）的三维闭合流形都是三维球面。 更高维度流形：对于四维及以上维度的流形，分类问题变得更加复杂，至今仍有许多未解决的难题。我们将简要提及一些相关的概念，例如“微分同胚”（diffeomorphism）和“同伦”（homotopy），它们是衡量流形等价性的更精细的工具。 流形的几何结构：流形不仅具有拓扑性质，还可以赋予不同的几何结构，例如黎曼度量（Riemannian metric）。这将使我们能够谈论距离、曲率等几何概念。我们将探讨曲率如何影响流形的整体形状，例如正曲率的流形（如球面）倾向于“收缩”，而负曲率的流形（如双曲空间）则倾向于“扩张”。 第三部分：结与流形的交汇 在本书的最后部分，我们将探索结的理论与流形的几何之间令人着迷的联系。这种联系并非偶然，而是源于深刻的数学结构。 纽结作为流形的边界：一种重要的联系在于，许多研究流形的方法可以应用到结的理论中，反之亦然。例如，我们可以将一个结视为三维空间中一个“环状”结构的边界。更进一步，我们可以考虑“链环”（links）——即一组互不相交的结——它们可以被看作是更高维度流形（例如四维流形）的边界。 切空间与法空间：在流形上，每个点都有一个“切空间”（tangent space），这就像在那个点上所有可能的“方向”的集合。对于嵌入在三维空间中的流形，我们还可以谈论“法空间”（normal space）。这些概念在分析曲率和局部性质时至关重要。 3-流形中的结：当我们将结嵌入到一个三维流形中时，情况变得更加复杂有趣。流形的全局结构会影响结的性质。例如，一个结在一个球面上的行为可能与它在一个环面上的行为截然不同。我们将介绍一些研究“流形中的结”的方法，例如通过分析流形的“基本群”（fundamental group），它可以捕捉流形中所有闭合曲线的组合结构。 结的嵌入与流形的嵌入：结理论可以看作是研究一维流形（即一维纽结）在三维空间中的嵌入，而流形理论则研究更高维流形在更高维空间中的嵌入。两者都涉及到嵌入的拓扑和几何问题，以及寻找能够区分不同嵌入的“不变量”。 结语 《几何的优雅：从结到形》旨在提供一个对结理论和流形几何的初步且富有启发性的认识。我们希望通过清晰的语言、精美的图示和引人入胜的故事，让您领略数学家们如何以抽象的思维，探寻宇宙中形状与结构的本质。本书并非为了训练专业的拓扑学家，而是为了唤醒所有对数学之美、对空间奥秘充满好奇的读者。学习结与流形，就是在学习一种观察世界、理解宇宙的全新语言，一种充满逻辑严谨与艺术灵感的语言。

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这本书的封面设计非常引人注目，深邃的蓝色背景上，复杂的纽结图案以一种近乎迷幻的方式交织在一起，让人立刻联想到高等数学中那些迷人的抽象概念。我是在一个学术论坛上偶然看到这本书的推荐，当时大家都在讨论拓扑学中关于三维流形分类的最新进展，而这本书的名字《Knot Theory and Manifolds》正好戳中了我的兴趣点。我一直对几何和空间结构有着莫名的痴迷，那种试图用精确的数学语言去描述和区分不同“形状”的努力，在我看来简直是艺术与逻辑的完美结合。所以，我毫不犹豫地入手了。这本书的装帧质量极佳，纸张厚实，印刷清晰，这对于需要反复查阅公式和图示的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。初翻目录时，我看到涵盖了琼斯多项式、高斯积分、以及黎曼曲面的章节，这表明作者的视野非常开阔，试图在纽结理论的经典领域与更广阔的流形拓扑学之间架起一座坚实的桥梁。我期待着它能为我揭示那些隐藏在复杂图示背后的深刻几何直觉，而不是仅仅停留在繁琐的计算层面。

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作为一名业余的数学爱好者，我常常觉得许多专业书籍在入门时显得过于生硬和高冷，仿佛是为已经站在山顶的同行准备的“速查手册”。然而，我拿到《Knot Theory and Manifolds》后，这种担忧很快就被打消了。作者在开篇对纽结理论历史的梳理，娓娓道来，仿佛是在向一位久未谋面的老友讲述一段精彩的冒险故事。他没有急于抛出艰深的定义，而是先用直观的例子，比如用一根绳子来演示什么是不可约纽结，什么是平凡纽结，这种润物细无声的引导方式，极大地降低了初学者的心理门槛。更让我欣赏的是，书中对于一些关键定理的证明，作者采用了多角度的阐述。比如，在介绍Alexander多项式时，他不仅给出了代数推导，还辅以了流形上覆盖空间的直观解释，这种层次感的设计，让读者在理解“是什么”的同时，也能探究到“为什么是这样”的深层原因。这种教学上的匠心，对于希望真正掌握而非仅仅记住公式的人来说，是无价的财富。

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如果说这本书有什么“缺点”，那可能就是它对读者的要求相当高，它绝非一本可以轻松翻阅的“消遣读物”。它要求你对基本的抽象代数和拓扑学概念有一定的预备知识，否则你可能会在某些涉及到同调群或基本群的章节中感到吃力。然而，正是这种对读者基础的坚持，使得全书的论证链条异常严密，逻辑上几乎找不到任何可以被攻击的薄弱环节。我注意到，作者在论证过程中，对某些关键引理的引用都标注得十分详尽，这对于希望深入追溯源头、进行更广泛阅读的读者来说，提供了极大的便利。与市面上许多“大而空”的综合性教材不同，这本书的聚焦感极强，它紧紧围绕着纽结与流形的内在联系，没有被不必要的旁枝末节所稀释。可以说，这是一本写给那些真正有志于在这一领域深耕的学者和高阶学生准备的工具书。

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我个人非常欣赏这本书在呈现现代数学研究风貌方面的努力。它没有停留在对经典定理的复述上，而是将纽结理论置于更宏大的背景下，例如与低维流形拓扑学、甚至量子场论的某些交叉点上。书中对于Khovanov同调的介绍，虽然篇幅不长，但角度新颖，清晰地展示了如何通过构造新的不变量来解决经典的区分问题。这让我看到了数学研究的活力——总有新的工具和视角被引入，以期解决那些看似已臻完善的问题。对于那些希望了解“数学是如何进步的”的读者来说，这本书提供了一个绝佳的案例研究。它就像一扇窗，让我们得以一窥现代几何拓扑学家是如何思维和工作的，那种严谨中带着灵光一闪的创造力，令人无比着迷。总而言之，这是一部值得反复研读的经典之作，它将拓扑学的深奥之美展现得淋漓尽致。

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这本书的深度是毋庸置疑的，但这种深度并非是那种让人望而却步的晦涩难懂。它更像是一次精心设计的攀登之旅，每通过一个技术性的难关，眼前都会豁然开朗，展现出新的壮丽景色。我花了大量时间在关于“3-流形中的纽结”这一部分，作者将纽结理论与三维球面上的球面几何巧妙地结合起来，探讨了如何利用纽结不变量来区分拓扑上等价但几何结构迥异的流形。我尤其喜欢他对Seifert曲面和Genus的讨论，那种将一个二维曲面嵌入到三维空间中，并通过曲面的拓扑特性来“标记”纽结特性的思考方式，极富美感。书中穿插的许多未解之谜和前沿猜想，也极大地激发了我的探索欲，它不仅仅是在传授既有知识，更像是在邀请读者共同参与到数学的创造性工作中去。读完一个章节，我常常需要停下来，泡杯咖啡，在草稿纸上重新画图、推演，才能真正消化掉其中蕴含的复杂信息。

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