数学思想的渗透与训练 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京广播学院出版社

作者:翟刚

出品人:

页数:419

译者:

出版时间:1997-09

价格:15.00元

装帧:平装

isbn号码:9787810046718

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数学思想
• 思维训练
• 解题策略
• 数学方法
• 初高中数学
• 竞赛数学
• 数学启蒙
• 问题解决
• 数学学习
• 能力培养

好的，这里为您提供一本关于《几何学的精妙结构与非欧体系的探索》的图书简介。 --- 《几何学的精妙结构与非欧体系的探索》 —— 维度、拓扑与时空交织的视觉盛宴 内容提要 本书旨在带领读者穿越传统欧几里得几何的藩篱，深入探索现代几何学的宏伟殿堂。我们不再将空间视为一个静态、平坦的背景，而是将其视为一个充满张力、可以弯曲、扭曲和重塑的动态实体。从古希腊的平面想象到黎曼流形的抽象构造，本书详细阐释了非欧几何的诞生及其在物理学、拓扑学乃至艺术领域中的深刻影响。通过对关键定理的精妙证明、对经典悖论的重新审视，以及对高维空间概念的直观构建，读者将得以领略几何学作为一门既严谨又富有创造力的学科的真正魅力。 第一章：欧几里得遗产的黄昏与黎曼曙光的初现 本章从欧几里得几何的五条公设出发，聚焦于第五公设（平行公设）的百年争议。我们将回顾普莱费尔、罗巴切夫斯基、高斯等先驱者如何顶着巨大的哲学压力，试图证明或证伪第五公设，并最终走向一个颠覆性的结论：存在着与欧氏几何逻辑自洽却性质迥异的几何系统。 关键议题： 第五公设的逻辑地位，以及如何通过限制或改变其形式来构建新的空间模型。 核心内容： 双曲几何（罗巴切夫斯基）和椭圆几何（黎曼早期思想）的基本概念引入，如“无穷远点”和“球面三角学”的类比。 第二章：双曲空间的奇幻世界——鞍形曲率的深度解析 双曲几何，以负曲率著称，是理解弯曲空间最直观的起点之一。本章将系统地介绍庞加莱圆盘模型、双曲上半平面模型等，展示如何在二维平面上完美映射出具有恒定负曲率的空间。 模型可视化： 深入分析这些模型如何保持局部结构（如角度和测地线）的正确性，同时又展现出全局上的扭曲。我们将详细探讨“理想点”的概念，以及在双曲空间中，三角形内角和恒小于180度的必然性。 测地线与距离： 阐述测地线（最短路径）在弯曲空间中的定义，并计算双曲空间中两条测地线相交的复杂性。 第三章：椭圆几何与球面世界的优雅——正曲率的回归 与双曲空间形成鲜明对比的是椭圆几何，它代表着正曲率的典范。本章以地球表面（球面）为例，探讨这种几何结构的独特性。 基本性质： 球面上的“直线”（大圆）如何表现出相交性，以及在球面上，三角形内角和恒大于180度。 拓扑影响： 比较欧氏、双曲和椭圆几何在拓扑性质上的根本差异，特别是它们对空间边界和连通性的影响。 第四章：黎曼几何的奠基：从曲线到流形 高斯对曲面的内在几何研究，特别是“绝妙定理”（Theorema Egregium），标志着现代微分几何的开端。本章将重点介绍如何仅依靠曲面自身的信息来度量曲率，而无需参考嵌入空间。 曲率的内在化： 详细解析高斯曲率，以及它如何成为描述空间局部弯曲程度的内在不变量。 流形的抽象： 介绍“流形”（Manifold）的概念，将局部欧氏空间的直观性推广到任意维度，为理解更高维空间和广义相对论打下坚实基础。 第五章：拓扑学：几何学中的“橡皮泥思维” 几何学不仅关注测量，更关注形状的连续不变性。拓扑学，作为研究空间连续形变的学科，与经典几何形成了有趣的互补。 不变量的探索： 介绍拓扑不变量，如连通分支、亏格（Genus）和欧拉示性数。我们将用直观的例子说明如何通过拉伸、扭曲来判断两个物体是否拓扑等价（例如，甜甜圈与咖啡杯的等价性）。 关键案例： 莫比乌斯带的构造、克莱因瓶的不可定向性，以及它们对传统三维空间理解的挑战。 第六章：四维与更高维度的几何想象 人类的直观经验局限于三维，但几何学早已拥抱了$n$维空间。本章旨在提供工具和思维模型，帮助读者理解和想象高维几何结构。 超立方体与截面： 以二维图形在三维中的投影为例，推导出四维超立方体（Tesseract）的结构和“影子”。 张量与曲率的推广： 简要介绍黎曼曲率张量，解释如何在任意维度上定义和计算空间弯曲的程度，这是爱因斯坦引力理论的数学核心。 第七章：几何在现代科学中的渗透 本书的最后部分将探讨几何学如何走出纯数学领域，成为描述自然现象的强大语言。 广义相对论的几何观： 阐述爱因斯坦如何用黎曼几何描述引力——物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。我们将讨论黑洞周围的几何畸变。 数据拓扑（Topological Data Analysis, TDA）： 介绍现代统计学和机器学习中，如何利用拓扑工具来发现高维数据集合中的“形状”和“洞”，揭示隐藏的结构关系。 本书特色 概念的深度与广度并重： 不仅涵盖基础的非欧几何，更延伸至微分几何和拓扑学的核心思想。 强调内在性： 致力于教导读者如何从空间自身的属性出发，而非依赖于外部嵌入空间的视角来理解几何。 直观化的论证： 运用丰富的图示、模型构建和类比推理，力求将最抽象的概念转化为可感知的图像。 历史脉络清晰： 梳理了从古希腊到20世纪现代数学的演进路径，突显科学思想的迭代与突破。 适用读者： 具有一定高等数学基础的理工科学生、物理学爱好者、对数学哲学和空间本质感兴趣的读者。本书是几何学爱好者从平面思维跃升至多维、非欧思维的理想阶梯。

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这部书的装帧设计确实很有心思，封面那种带着点复古的油墨质感，让人联想到老式的教科书，但内页的排版却异常现代，大量使用清晰的图表和留白，阅读起来丝毫没有传统数学读物那种压迫感。我尤其欣赏它在引入概念时的那种“润物细无声”的处理方式。它不是那种上来就给你一堆冷冰冰的定义和定理，而是通过一系列精心编排的、看似与核心知识点关联不大的小故事或者生活化的场景来铺垫，比如讲解概率论时，它会先花大篇幅去剖析几个经典的赌博悖论，然后再自然地引出期望值和方差的概念。这种叙事性的引入，极大地降低了初学者的心理门槛，让人感觉数学并不是高不可攀的象牙塔里的学问，而是根植于我们日常思考逻辑之中。我花了整整一个周末，就在享受这种慢慢揭开谜底的过程，感觉自己不是在“学习”，而是在进行一场智力上的探险。

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这本书的真正价值，我认为体现在它对“思维定势”的瓦解上。很多数学教材教你的是“如何解题”，而这本书的重点显然是“如何思考”。我发现它在处理一些经典难题时，提供了解法A、解法B，甚至是解法C、D，并且对每种方法的适用边界和潜在陷阱进行了详尽的分析。比如，在处理一个复杂的优化问题时，第一种方法是传统的微积分法，步骤繁琐易错；第二种方法则巧妙地运用了几何直观，一下子将高维空间的问题降维处理；而第三种方法更是令人拍案叫绝，它用到了数论中的某个看似不相干的原理。作者仿佛是一个经验老道的引路人，他不仅告诉你答案的路径，更重要的是，他展示了通往答案的无数种可能性，以及每条路背后的哲学基础。这种多角度的审视，彻底改变了我过去“一套方法走天下”的僵化思维模式，让我开始真正学会从不同的维度去审视同一个数学结构。

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从语言风格上来说，作者的文笔流畅且富有节奏感，完全没有传统技术类书籍那种干燥、刻板的腔调。他善于使用富有画面感的描述来解释抽象概念，使得即便是最晦涩的群论或者集合论，在他的笔下也仿佛有了生动的轮廓。比如，在解释“模同构”时，他将其比喻为“在两个不同规格的乐器上演奏同一首曲子，虽然音色不同，但旋律的结构是完全一致的”。这种类比既准确又形象，让我这种对抽象代数感到头疼的人，也能迅速在脑海中建立起一个可感知的模型。这种高超的表达能力，使得这本书不仅是一本工具书，更像是一部引人入胜的科普读物，让人忍不住想一口气读完，并且在读完后还意犹未尽，总想找人讨论一下自己刚刚领悟到的那些“闪光点”。

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我对这本书的习题设计情有独钟，它们完全颠覆了我对“课后练习”的固有印象。这里的题目大多不是那种标准化的、旨在检验知识点掌握程度的重复性练习。相反，它们更像是精心设计的“思维谜团”。有些题目甚至需要读者跳出书本，去查阅一些相关领域的背景知识才能找到切入点。我记得有一个关于拓扑学的题，它要求我们想象在一个二维平面上如何区分两种不同类型的纽结，它的提示非常模糊，我花了快半天时间才意识到，解决的关键在于理解“同胚”的物理意义，而不是单纯的代数运算。这种高阶的、需要主动探索和整合知识的习题体系，极大地锻炼了我的信息检索能力和知识整合能力，远比死记硬背公式有效得多。

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作为一名已经工作多年的工程师，我手中的很多工具书都随着技术的迭代而迅速过时了，但这本书的某些章节却展现出惊人的“永恒感”。我指的是它对数学基本结构和逻辑推理的强调，而不是对特定算法或公式的罗列。例如，关于归纳法和反证法的论述部分，作者没有停留在教科书式的定义层面，而是结合了哲学史上的几次重大辩论案例，深入探讨了“证明”在不同历史时期所扮演的角色和其内在的局限性。这种深厚的历史人文底蕴，使得阅读过程充满了智识上的愉悦。我感觉自己不光是在训练解题能力，更是在进行一场关于数学真理本质的哲学思辨。这种能够跨越学科界限，将数学提升到一种更广阔的思维框架层面的著作，是极为罕见的。

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