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出版者:Friedrick Vieweg & Son

作者:J.P.Serre

出品人:

页数:218

译者:Martin L. Brown

出版时间:1997

价格:GBP 50.24

装帧:Hardcover

isbn号码:9783528289683

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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穿越时空的数学之径：探索椭圆曲线的深邃奥秘 本书将引领读者踏上一段激动人心的数学探索之旅，深入剖析数学领域中最迷人、最深刻的理论之一——莫德尔-韦伊定理（Mordell-Weil Theorem）。这一定理不仅是数论皇冠上的璀璨明珠，更是现代代数几何和数论研究的基石，其影响深远，触及了数学的多个前沿分支。 我们将从一个清晰、易于理解的视角出发，逐步揭示椭圆曲线的优雅结构。椭圆曲线，顾名思义，其定义来源于对某些特定方程形式的几何研究，这些方程通常可以写成 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的形式（或其更一般的形式）。它们在几何上表现为平滑的、连通的曲线，但其真正的魔力在于其上定义的代数结构——一个阿贝尔群。这意味着我们可以以一种自然而严谨的方式在椭圆曲线上进行“加法”运算，而这个运算遵循特定的代数定律。 莫德尔-韦伊定理的核心思想，如同其名字所揭示的那样，是对这些由有理数（或其他域）上的点构成的椭圆曲线群的结构进行深刻的描述。简单来说，它断言了在有理数域上定义的非奇异椭圆曲线上的有理点构成的群，是一个有限生成阿贝尔群。这意味着，我们可以找到一个有限的“生成元”集合，通过这些生成元的组合，可以得到椭圆曲线上所有的有理点。这个定理的重要性不言而喻：它将一个无限的、似乎杂乱无章的点集，转化为了一个由有限元素生成的、结构清晰的代数对象。 为了充分理解这一深刻的定理，本书将展开一系列细致的数学考察。我们将从基础的数论概念开始，回顾群论、域论等必要的代数工具，为后续的讨论打下坚实的基础。接着，我们将深入研究椭圆曲线的定义、性质以及其上的群律。这部分将涉及代数几何中的关键概念，例如齐次坐标、约化基点、割线法和切线法等，这些方法是我们理解椭圆曲线上点加法运算的几何直观基础。 随后，我们将聚焦于莫德尔-韦伊定理的证明。我们将详细阐述证明中所使用的核心技术和思想，包括对数下降法（descent method）的巧妙运用。这种方法通过反复地从一个大的群（或集合）构造出一个更小的、但仍然具有相似性质的群（或集合），最终达到一个易于处理的终点。我们将探讨这一方法的精妙之处，以及它如何能够有效地证明有理点群的有限生成性。 本书的叙述还将触及与莫德尔-韦伊定理紧密相关的其他重要概念。我们将探讨“扭转子群”（torsion subgroup），它是由群中阶数有限的点构成的子群，其结构对理解整个群的性质至关重要。此外，我们还将触及“秩”（rank）的概念，这是衡量椭圆曲线有理点群“大小”的一个关键指标，也是一个至今仍在积极研究的数学难题。 为了使学习过程更加生动和深入，本书将包含大量的例子，从简单的例子开始，逐步过渡到更复杂的病例。这些例子将帮助读者在实践中巩固理论知识，感受抽象概念的魅力。同时，我们将适当地引用历史文献和重要数学家的贡献，让读者了解这一理论的发展脉络和其背后蕴含的智慧。 本书的读者群体广泛，适合所有对代数数论、代数几何以及深刻数学定理感兴趣的数学专业学生、研究人员以及独立学习者。无论您是初次接触椭圆曲线，还是已有一定基础，本书都将为您提供一条清晰、严谨且富有启发性的学习路径。通过对莫德尔-韦伊定理的深入探索，您将不仅掌握一个重要的数学工具，更能领略到数学结构之美和逻辑推理的强大力量。本书将成为您通往更广阔数学世界的有力向导。

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在我学习数学的过程中，我遇到的许多书籍要么过于抽象，要么过于浅显。《Lectures on the Mordell-Weil theorem》这本书则恰好找到了一个绝佳的平衡点。作者在呈现Mordell-Weil定理时，展现出了非凡的洞察力，将复杂的概念分解为易于理解的组成部分，并逐步构建出严谨的证明。我尤其欣赏书中对一些辅助工具的详细讲解，例如代数结构和模形式的性质，这些内容对于理解定理至关重要。作者的语言风格简洁明了，同时又不失数学的严谨性，这使得我在阅读过程中能够充分沉浸在数学的乐趣中。我曾多次反复阅读其中的某些章节，每一次都能获得新的领悟。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启发。它让我能够更深入地理解椭圆曲线的数学结构，也让我对数论领域的一些深刻问题有了更清晰的认识。我确信，这本书将为我的学术研究提供宝贵的财富。

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我一直对那些能够揭示数学内在美和深刻结构的著作情有独钟。《Lectures on the Mordell-Weil theorem》这本书正是这样一本引人入胜的读物。作者以其独特的视角，将Mordell-Weil定理置于一个更为宏大的数论框架中进行考察，使得读者不仅能够理解定理本身，更能体会到它在整个数学领域中的重要性。书中对一些基础概念的引入，例如有限域、代数簇和阿贝尔群的性质，都经过了精心的设计，为读者铺设了一条清晰的学习路径。我尤其欣赏书中关于同构和不变量的讨论，这些概念对于理解抽象代数结构至关重要。作者的论证过程严谨而富有逻辑，每一个步骤都经过了深思熟虑，让人不得不佩服其数学功底。我曾多次反复研读其中的几个章节，每一次都能发现新的理解层次。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是培养读者的一种数学思维方式，一种对抽象概念的深刻领悟。它让我对椭圆曲线的研究有了更深入的认识，也让我对数论的魅力有了更深刻的体会。

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作为一名对数论领域充满热情的研究者，我一直都在寻找能够提供深刻见解和严谨论证的著作。《Lectures on the Mordell-Weil theorem》这本书绝对是我近来发现的瑰宝。它不仅仅是关于一个特定定理的讲解，更像是一扇通往椭圆曲线研究深层世界的窗口。作者在构建整个知识体系时，展现了高超的技巧，将看似零散的概念巧妙地联系在一起，形成一个有机整体。我尤其对书中关于秩的定义和计算方法的讲解印象深刻，这部分内容对于理解Mordell-Weil定理的核心至关重要。作者并没有回避其中的技术性细节，而是以一种清晰、系统的方式呈现出来，让读者能够一步步掌握。我花了很长时间去消化其中的证明，每一次重读都能发现新的理解层次。这本书不仅仅是理论的堆砌，更是思想的启发。它让我能够从不同的角度去审视椭圆曲线的结构，也让我对数论中一些古老问题的解决方式有了更深的认识。我确信，这本书将成为我未来研究的宝贵参考。

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在我看来，一本真正优秀的数学专著，其魅力不仅仅在于它所包含的定理和证明，更在于它能够激发出读者对数学的深层探索欲望。《Lectures on the Mordell-Weil theorem》无疑属于这一类。这本书的叙述方式非常独特，它仿佛一位经验丰富的向导，引领着你在抽象代数的广袤森林中前行。作者并没有直接将最复杂的证明摆在读者面前，而是循序渐进地构建起所需的工具箱，从群的结构到模形式的性质，再到代数簇的概念，每一步都显得那么自然而必要。我特别喜欢书中那些精心设计的例子，它们不仅仅是为了说明某个抽象概念，更是为了让读者亲身体验定理的威力。通过这些具体的例子，我可以更直观地理解Mordell-Weil定理如何能够揭示椭圆曲线上有理点集合的深刻结构。书中的论证严谨而不失灵动，作者似乎总能在最关键的时刻，提供一个巧妙的视角，帮助我们突破思维的瓶颈。我花费了大量时间来反复研读其中的几个章节，每一次阅读都让我对椭圆曲线上的点群有了更深刻的认识，也对那些伟大的数学家们如何一步步构建起这个理论感到由衷的敬佩。这本书不仅仅是一份学术资料，更是一次精神的旅程。

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对我而言，一本优秀的数学专著，不仅仅在于它所陈述的定理和证明，更在于它能够激发读者对数学世界的无限好奇。《Lectures on the Mordell-Weil theorem》这本书正是这样一部杰作。作者在构建理论框架时，展现出了非凡的洞察力，将Mordell-Weil定理置于一个更为广阔的数论图景中进行考察，使得读者能够从更宏观的角度理解其意义。我尤其喜欢书中对一些关键辅助工具的细致讲解，例如群论和代数几何的基本概念，这些内容为理解定理提供了坚实的基础。作者的论证过程严谨而富有条理，每一个步骤都经过了深思熟虑，让我在阅读过程中能够领略到数学的逻辑之美。我曾花费大量时间去消化其中的证明，每一次重读都能发现新的理解层次。这本书不仅仅是知识的载体，更是一种思维方式的引导，它让我能够更深刻地理解椭圆曲线的结构，并对数论领域产生更浓厚的兴趣。

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在我个人的学习经历中，有许多数学书籍只是匆匆翻过，但《Lectures on the Mordell-Weil theorem》这本书却让我愿意花费数倍的时间去细细品味。作者在组织材料时，展现出了非凡的洞察力。它不仅仅是围绕着Mordell-Weil定理本身展开，而是将定理置于更广阔的数论背景下进行考察。我发现，书中对一些相关概念的引入，例如丢番图方程、代数群以及类域论的一些初步思想，都恰到好处，并且为理解Mordell-Weil定理提供了坚实的基础。作者的语言风格简洁明了，但又不失数学的精确性，这使得我在阅读过程中，能够专注于数学内容的本身，而不会被晦涩的语言所困扰。我尤其欣赏书中对一些历史背景的介绍，这让我能够更好地理解这个定理的诞生过程以及它所经历的演变。通过对这些早期思想的了解，我能够更深刻地体会到Mordell-Weil定理的革命性意义。每一次完成一个章节的阅读，我都会感到一种智力上的满足，仿佛又掌握了一件强大的数学工具，能够去解决更复杂的问题。这本书不仅仅是一次学习，更是一次对数学家们智慧的致敬。

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