函数元不等式理论及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学出版社

作者:李世杰//李盛

出品人:

页数:210

译者:

出版时间:2011-10

价格:27.00元

装帧:

isbn号码:9787308091510

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《数学分析中的几何方法》 本书旨在探索数学分析领域中，如何巧妙运用几何直观和几何语言来理解和解决分析学中的核心问题。全书分为四个部分，层层递进，由浅入深地展现了几何方法在微积分、多元函数分析、微分几何等分支中的强大威力。 第一部分：一元函数分析的几何视角 本部分着重于从几何角度审视导数和积分的概念。我们首先回顾经典的一元函数图像及其性质，并引入“切线几何”的思想，解析导数作为瞬时变化率的几何意义，即切线的斜率。通过对函数增量和斜率的直观理解，自然引出极限的概念，并强调几何上的连续性与代数定义的等价性。 在微分学的应用方面，本书将重点介绍利用曲线的斜率、凹凸性等几何特征来分析函数的单调性、极值、拐点等。我们将讨论利用几何方法寻找函数的极值点，例如通过分析切线斜率的变化或曲率的符号。曲线的渐近线分析也将通过几何图形的特征进行深入讲解。 积分学方面，本书将从面积的几何意义出发，将定积分的概念转化为求解曲线下方区域面积的问题。我们将详细阐述黎曼和的几何直观，以及它如何逼近曲线下的面积。进而，我们还将探讨利用几何方法理解不定积分作为“面积函数”的性质，以及微积分基本定理的几何解释。除了面积，本书还将触及利用几何方法计算曲线长度、旋转体的体积等经典应用。 第二部分：多元函数分析中的几何化表达 进入多元函数的世界，本书将进一步拓展几何方法的应用范围。我们从空间几何的概念出发，将点、线、面等基本几何对象引入到函数的定义域和值域中。对于二元函数，我们将重点讲解其三维曲面图像的绘制和解读，以及如何通过曲面的形状来理解函数的性质，例如局部极值、鞍点等。我们将详细解析偏导数的几何意义，将其解释为曲面在特定方向上的切线斜率。 梯度向量将是本部分的核心几何概念之一。本书将详细阐述梯度向量的方向和大小所蕴含的几何信息，即函数增长最快的方向和增长速率。我们将通过梯度场的可视化来理解函数的局部行为，并将其应用于优化问题，例如利用梯度下降法寻找函数的极小值点。 方向导数也将从几何角度进行深入分析，将其理解为函数在曲面上沿着特定方向变化的速率。通过对方向导数的几何解释，我们可以更直观地理解函数在不同方向上的变化情况。 链式法则的推导和应用也将融入几何思想，将其解释为函数复合映射在几何上的变换。通过分析复合函数中各变量的局部线性近似，我们可以理解链式法则的几何意义。 第三部分：微分几何初步与曲线曲面理论 本部分将进一步深入微分几何的领域，将研究的重点放在曲线和曲面的内在几何性质上。我们将引入曲线的挠率和曲率等几何不变量，并分析它们如何决定曲线在空间中的弯曲程度和扭转程度。我们还将探讨曲线的法向量、副法向量等概念，并利用它们来构建曲线的密切坐标系。 对于曲面，本书将引入曲面的第一基本形式和第二基本形式，并阐述它们在度量曲面上的距离、角度以及曲面上曲线长度等方面的作用。我们将详细分析曲面的高斯曲率和平均曲率，以及它们如何刻画曲面的内在弯曲性质。例如，我们将通过高斯曲率来区分平面、球面、马鞍面等不同类型的曲面。 法向量场和切平面是理解曲面局部性质的关键。本书将详细分析曲面上法向量场的行为，并解释切平面如何描述曲面在某一点的局部“平坦”近似。我们将利用这些概念来研究曲面的测地线，即曲面上连接两点的最短路径，并分析测地线的几何性质。 第四部分：几何方法在分析学中的进阶应用 在前面的基础上，本书的第四部分将展示几何方法在更高级的分析学问题中的应用。我们将探讨利用积分几何的思想来解决一些度量和计数问题，例如Crofton公式在度量曲线长度上的应用。 此外，本书还将简要介绍微分流形的概念，并阐述几何方法在理解流形上的微积分和拓扑性质方面的作用。例如，我们将讨论向量场的积分和流，以及它们在动力系统和流体动力学等领域的几何解释。 最后，本书将展望几何方法在现代数学研究中的发展趋势，以及它与其他数学分支（如拓扑学、代数几何）的交叉融合。通过阅读本书，读者将能够建立起一种以几何直观为基础的数学分析思维方式，从而更深刻地理解和掌握数学分析的核心概念和方法。 本书面向具有一定微积分基础的读者，旨在为他们提供一种全新的视角来学习和研究数学分析，并培养其运用几何直觉解决数学问题的能力。

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这本书的论述方式有一种强烈的“构建感”。它不是简单地堆砌结果，而是从最基本的公理或直觉出发，一步步搭建起整个理论大厦的各个组成部分。我记得在阅读关于**集合论和公理化理论**的那几章时，深感作者的匠心独运。他对于每一个定义和引理的选择，似乎都经过了深思熟虑，确保它们既是必要的，又是最简洁的表达方式。不同于许多为了追求广度而牺牲深度的教材，这本书选择了在有限的领域内做到极致的深度挖掘。我最欣赏的是它在处理**不动点定理的推广和应用**时所展现出的那种冷静而有力的数学美感，每一个论证都像是精心雕琢的艺术品。这本书需要耐心，需要时间，但它回报给读者的，是对数学本质的更深刻的理解和一种对逻辑严谨性的更高要求，这对于任何严肃的科研工作者来说，都是一笔巨大的财富。

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如果让我用一个词来形容这本书的风格，那一定是“深邃而内敛”。它不像一些流行读物那样追求华丽的辞藻，而是用最凝练的语言，将最复杂的数学结构刻画出来。我特别喜欢它在讨论**概率论在连续系统中的应用**时所采用的论证方式。它没有回避数学上的晦涩难当，反而直面挑战，将概率测度论与随机过程的动态特性紧密结合起来。这本书的排版和图表设计也值得称赞，尽管内容艰深，但清晰的逻辑结构和适度的空白，为长时间的深度阅读提供了必要的视觉缓冲。阅读过程中，我常常需要停下来，在草稿纸上重新画出作者描述的抽象结构，才能真正将其内化。这本书的价值不在于它能教会你多少现成的工具，而在于它能训练你的数学直觉，让你在面对全新的、未曾谋面过的数学问题时，能够迅速定位问题的核心所在，那种**结构化思维的训练**是无价的。

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坦白说，这本书的阅读体验是极具挑战性的，它绝不是那种可以轻松翻阅的“咖啡桌读物”。我第一次拿到它的时候，光是目录就让我感到一丝敬畏。它的深度令人印象深刻，尤其是在处理**非线性偏微分方程的正则性理论**时，作者展现出了对现有研究前沿的深刻洞察力。我感觉自己像是在攀登一座技术难度极高的山峰，每向上一个台阶，视野就开阔一分，但随之而来的迷雾也更浓。我花了大量时间在图书馆里，对照着其他几本经典著作来理解某些关键引理的证明细节。这本书的精妙之处在于它对细节的把握——那些看似不经意的注脚或参考文献，往往指向了更深层的研究方向。对于希望在纯数学领域有所建树的学者而言，这本书提供的视角是独一无二的，它促使你思考理论的边界在哪里，以及如何用更优雅的方式来表达复杂的数学关系。那种对**算子理论**的细致剖析，简直是教科书级别的典范。

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这本书简直是数学爱好者的福音，尤其是那些对分析和拓扑结构有深入探究兴趣的人。我花了很长时间才慢慢消化完其中的一些核心概念，那种豁然开朗的感觉真是无与伦比。作者似乎有一种魔力，能将那些抽象到令人头疼的理论，通过精妙的论证和恰到好处的例子，变得清晰可见。我特别欣赏它在对**流形上的几何分析**部分的阐述，那种严谨又不失优雅的笔触，让我仿佛置身于一个高维度的空间中，亲手触摸那些光滑的曲面。它不仅仅是罗列公式，更是构建了一个完整的思维框架，引导读者去思考“为什么”而不是仅仅接受“是什么”。对于研究生阶段的研究生来说，这本书无疑是挑战与机遇并存的，它要求读者不仅要掌握现有的知识，更要具备批判性思考和自我构建知识体系的能力。我记得有几章关于**泛函的变分原理**的论述，那种步步为营的推导过程，简直是一场智力的盛宴，每一个步骤都经得起最苛刻的推敲。

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这本书的编写者显然是一位在相关领域耕耘了数十年的大家。它的知识体系非常庞大，几乎涵盖了从基础拓扑到高级微分几何的一系列相互关联的主题。我个人认为，这本书最成功的地方在于它建立了一种**跨学科的连接点**。例如，它将**动力系统的稳定性分析**与某些**图论中的优化问题**巧妙地联系起来，这种跨界的视角极大地拓宽了我的思路。我注意到，书中对某些经典定理的重述，都带有强烈的个人印记，这使得原本可能显得枯燥的证明过程，充满了数学家探索真理的激情。当然，对于初学者来说，这本书的门槛是相当高的，可能需要先具备扎实的实分析和代数基础才能有效阅读。但对于有志于深入研究的人来说，它就像一座藏宝阁，里面充满了等待被发掘的深刻见解，尤其是在**黎曼几何的某些特定结构**的讨论上，几乎达到了无可挑剔的程度。

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感觉还不错，比起前一本《函数不等式》，内容更丰富

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