An Introduction to Algebraic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Kenji Ueno

出品人:

页数:246

译者:

出版时间:1997-6-17

价格:USD 88.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821811443

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数几何
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《代数几何导论》：深入探索抽象代数与几何的交汇点 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，以理解代数几何这一迷人而深刻的数学分支。代数几何，作为一门连接抽象代数（特别是交换环论）与几何直觉的学科，其核心思想是将几何对象——例如曲线、曲面，乃至更高维度的对象——用代数方程来刻画，反之亦然。本书将引导读者从代数结构出发，逐步构建起对几何对象的精确理解。 本书的叙事结构围绕着从具体实例到抽象概念的渐进展开。我们始于对仿射空间和多项式环的深入探讨。读者将首先接触到最基本的概念：多项式集合及其零点集（代数集）。我们详细分析了这些集合所具有的拓扑和代数性质，特别是希尔伯特零点定理的地位，它是连接代数与几何的桥梁，表明在代数闭域上，代数集完全由其消失理想决定。 在理解了基础代数集之后，本书将转向更精细的结构——代数簇。我们引入了理想簇的概念，并对齐次坐标进行了详尽的讨论，这使得我们将射影几何的概念融入框架之中。射影空间 $mathbb{P}^n$ 及其上的代数集——射影簇——是理解几何现象的必需工具，因为它能“修复”仿射空间中的不完备性，例如，使平行线在无穷远处相交。 核心内容集中于环与几何对象的对应关系。我们详尽阐述了如何从一个代数集 $V$ 构造出其坐标环 $k[V]$，并揭示了坐标环的代数性质如何精确地反映了 $V$ 的几何特征。例如，环的维数对应于簇的维数，环的正则性对应于簇的光滑性。为了处理更一般的几何对象，我们引入了概形（Scheme） 的概念——尽管本书的焦点主要在于经典代数几何，但对概形的必要背景介绍是不可或缺的，因为它体现了该领域现代化的方向。本书将侧重于域上的代数簇，但在讨论基础结构时，会保持足够的抽象性，以适应更广泛的读者群。 正则性和奇点是本书的关键主题之一。在几何学中，光滑性或正则性是一个至关重要的概念。我们通过局部环的视角来研究簇上的点。对于一个点 $P$ 上的局部环 $mathcal{O}_{V,P}$，其极大理想的结构直接编码了该点附近的几何行为。我们定义了切空间，并使用雅可比矩阵来提供一个代数上可计算的正则性判据。通过研究局部环的Krull 维度、正则局部环的性质，以及规范（Normal） 概念，读者将能够识别和分析代数簇上的奇点。 为了更有效地处理维数和函数的性质，本书对理想论进行了深入的梳理。我们探讨了主理想簇、整环的性质，以及因式分解域的概念。理解代数函数的域对于分析几何对象的内在结构至关重要。我们详细分析了代数曲线的参数化问题，并引入了代数曲面的理论，虽然篇幅有限，但我们确保为读者提供了深入研究高维代数几何所必需的工具箱。 模空间理论的初步概念也被适当地引入，以展示代数几何在现代数学中的应用潜力。我们简要讨论了如何使用代数工具来参数化具有某些特定性质的几何对象族，尽管深入的模理论留待后续的专业著作。 本书特别强调代数几何中的几何直觉。我们不满足于纯粹的代数推导，而是持续地将抽象结果与具体的几何图形联系起来。例如，在讨论相交理论时，我们将代数中的相交数与射影空间中曲线的几何交点数量联系起来，展示了贝祖定理（Bézout's Theorem）的威力。 在技术层面，本书假设读者已具备扎实的抽象代数基础，特别是对环论、域论和模论有基本的了解。然而，本书在需要时会提供必要的代数工具回顾，例如诺特环的性质和升链条件的重要性。 总而言之，《代数几何导论》旨在培养读者从代数语言中“看到”几何图像的能力。它是一本严谨而富有启发性的教材，为渴望跨越代数与几何鸿沟的本科高年级学生、研究生以及研究人员提供了必要的理论框架和实践工具，以应对当代数学中日益复杂的代数几何问题。本书的最终目标是使读者不仅能够应用这些工具，还能理解其背后的深刻联系和美学价值。

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从整体的知识体系构建来看，这部作品展现了作者深厚的学术积累和极强的组织能力。它不像某些教材那样，将不同领域的概念生硬地拼凑在一起。相反，书中的各个部分，无论是关于古典代数几何的背景铺垫，还是过渡到更现代的概貌理论，都衔接得如同天衣无缝。这使得读者在阅读时，能够清晰地看到整个学科的发展脉络和内在逻辑的统一性。然而，不得不提的是，书中对抽象代数背景知识的假设较高，如果读者的基础稍有薄弱，那么在阅读涉及范畴论或更深入的同调代数概念时，会感到力不从心。对于自学者而言，准备一本结构清晰的抽象代数教材作为辅助是至关重要的。这本书的伟大之处在于它提供了高屋建瓴的视角，但代价是要求读者已经具备了相当的“飞行经验”。它不会为了迎合读者而降低标准，这种对学术纯粹性的坚守，令人敬佩。

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这部作品的语言风格如同徜徉在纯粹的数学世界中，字里行间都渗透着一种严谨而优美的逻辑之美。作者似乎有着将最抽象的概念用最简洁的笔触勾勒出来的魔力。初读之下，某些章节的深度和广度着实令人感到震撼，仿佛站在一座宏伟的知识殿堂的中央，需要时间去适应周围的壮丽景象。它不是那种为初学者准备的“入门指南”，更像是为那些已经对代数和几何的基本原理有了一定掌握的探索者准备的地图。书中的论证步骤清晰得如同数学证明本身，每一步的推导都无可挑剔，但这种极致的清晰度也意味着读者需要投入相当的精力去消化每一个细节。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进但又毫不妥协的方式，它迫使读者不断挑战自己的理解边界。阅读过程中，我常常需要停下来，翻阅参考书目中提及的先决知识，以确保我没有遗漏任何一个支撑整个理论大厦的基石。这本书无疑是数学专业人士书架上不可或缺的一份珍藏，其价值在于它提供的深度和洞察力，而非仅仅是信息的堆砌。

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我发现这本书在处理某些复杂构造时，展现出一种令人耳目一新的角度。许多其他教材中被视为“理所当然”的结论，在这里都被进行了细致入微的探究和证明。例如，在关于特定簇结构的讨论部分，作者引入了一些非常巧妙的代数工具，这些工具极大地简化了原本看来异常繁琐的计算。这本书的叙事节奏非常独特，它不是线性推进的，而是倾向于在关键概念处进行螺旋式的深化。你会发现，一个在第一章看似简单的定义，在后续的章节中会以全新的、更复杂的面貌重新出现，并成为解决更高级问题的基础。这种设计非常考验读者的记忆力和联系能力。我个人认为，这本书更适合作为研究的参考工具，而不是初次学习的教材。当你在进行自己的研究，需要快速回顾或深入探究某个特定理论的原始出处和最严谨的表述时，它会立刻显露出其无可替代的价值。

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这本书在数学史的融入上处理得非常克制和得体。作者并没有过多地穿插冗长的历史叙事，而是将重要的历史思想融入到定义和定理的阐述之中，使得读者能够理解这些概念是如何在历史长河中逐步演化和完善的。特别是在论证一些经典结果的现代诠释时，作者展现了其对领域演进的深刻洞察。不过，对于那些依赖大量直观图形和例子来建立几何直觉的读者，这本书可能会显得有些“过于代数化”。虽然图示存在，但它们通常是作为辅助说明，而非核心论证的载体。换言之，它更偏向于使用符号和逻辑结构来构建整个理论世界，而不是依赖于视觉化的启发。因此，阅读体验更偏向于智力上的“构建”而非感官上的“欣赏”。对于寻求严密数学基础和逻辑完备性的读者来说，这是无可挑剔的选择，但那些需要更多视觉引导的读者可能需要寻找额外的图解资源来辅助理解。

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这本书的排版和装帧质量令人赞叹，每一页都散发出一种古典的学术气息。纸张的选择非常考究，墨迹清晰，即便是长时间的阅读也不会引起视觉疲劳。然而，这种对形式的极致追求，似乎也反映在了内容的难度上。它更像是一部精雕细琢的艺术品，而非一本轻易翻阅的通俗读物。我发现，尝试理解其中一些核心定理的证明过程，简直就是一场智力上的马拉松。它要求读者不仅要掌握基本的代数工具，还要对几何的直觉有深刻的领悟。坦率地说，对于非数学专业的读者来说，这本书的门槛极高，某些章节的内容似乎更偏向于研究生的前沿课题。不过，对于那些渴望真正掌握这门学科的深层结构的人来说，这种挑战正是其魅力所在。它不提供捷径，而是引导你通过最正统、最坚实的小径攀登知识的高峰。每一次攻克一个难点，都会带来巨大的满足感，这正是优质教材的标志。

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