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出版者:科学出版社

作者:张显文

出品人:

页数:228

译者:

出版时间:2010-10

价格:27.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030290311

丛书系列:华中科技大学数学创新教材

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探索数学的深邃之美：一部关于数的魔术与空间变换的引人入胜的旅程 引言 在浩瀚的数学宇宙中，总有一些领域以其独特的优雅和深刻的洞察力，吸引着无数求知者踏上探索的征程。本书，并非旨在详述“应用复分析”这一特定学科的每一个细节，而是意图引领读者领略一个更为广阔、更为基础的数学思想景观。我们将一同跋涉于数字的奇妙世界，观察它们如何在新的维度中舒展身姿，以及这些看似抽象的变换如何映射现实世界的种种现象。本书的内核，在于揭示一种超越我们日常直觉的逻辑体系，一种能够精准描述自然界许多奥秘的语言。 第一章：超越实数的边界——复数的诞生与几何解读 想象一下，我们一直以来所熟悉的数轴，承载着实数的全部辉煌。然而，当我们将目光投向一个更宽广的视野时，会发现某些看似无解的问题，例如方程 $x^2 + 1 = 0$，在实数领域里显得束手无策。这时，一个大胆的设想应运而生：引入一个新的数，我们称之为“虚数单位”，记作 $i$，并定义其性质为 $i^2 = -1$。这一看似微小的飞跃，却如同打开了一扇通往全新数学世界的大门。 本书将首先温和地介绍复数的概念。我们将不再局限于一条直线，而是将数扩展到一个二维平面上——这个被称作“复平面”的画布。在这个平面上，每一个点都代表着一个复数，它的横坐标是实部，纵坐标是虚部。这种几何上的直观性，是理解复数世界的第一把钥匙。我们还将深入探讨复数的代数运算，如同我们在实数世界中所熟悉的加、减、乘、除，在复数的世界里同样适用，只是需要遵循新的规则。通过大量的实例，读者将逐渐熟悉复数运算的技巧，并体会到它们在几何上的对应关系：复数的加法对应于向量的平行四边形法则，复数的乘法则蕴含着旋转与伸缩的几何意义。 第二章：函数的舞蹈——复变函数的奇妙世界 当我们将函数的概念从实数域推广到复数域时，一个更为丰富多彩的数学对象便呈现在我们面前——复变函数。如果说实变函数是描绘一条曲线，那么复变函数则可以看作是在二维空间中的一场精妙的“舞蹈”，它将复平面上的点进行映射，产生新的点，从而改变空间本身的结构。 本书将重点阐释复变函数的连续性、可导性以及解析性。可导性是复变函数区别于实变函数的一个关键特性，它要求函数在某一点的“变化率”在各个方向上都必须保持一致，这并非易事。而“解析性”则是一个更为强大的概念，它意味着函数在某区域内可以被其泰勒级数展开所表示，并且处处可导。解析函数拥有诸多令人惊叹的性质，例如它们可以被唯一地确定，并且在复平面上具有很强的“全局性”。我们将通过直观的图形和严谨的论证，揭示解析函数为何如此特殊，以及它们在数学分析中的核心地位。 第三章：积分的艺术——路径积分与留数定理的威力 在实数分析中，积分是计算面积、曲线长度等的重要工具。而在复数域，积分的概念变得更加精妙和强大。复变函数上的积分，我们称之为“路径积分”，它不再局限于一个区间，而是沿着复平面上的任意一条光滑曲线进行。这种路径积分的灵活性，为我们提供了解决问题的全新视角。 本书将详细介绍路径积分的计算方法，特别是柯西-古尔萨定理和柯西积分定理。这些定理阐述了在特定条件下，路径积分的值可能与路径无关，或者其值可以被轻易计算。更令人着迷的是“留数定理”，它是一种计算复杂路径积分的强大工具。留数定理将函数在孤立奇点（即函数无法解析的点）附近的行为与整个积分的值联系起来，使得原本棘手的积分计算变得迎刃而解。我们将通过一系列经典问题的求解，展示留数定理的强大应用，领略它在解决诸如实积分计算、级数求和等问题时的神奇效果。 第四章：序列与级数——无限的叠加与收敛的奥秘 在数学中，我们经常需要处理无穷多个数的序列和。复数序列和级数的概念，同样在复数域中得到了自然而然的推广。然而，当我们将这些概念应用于复数时，新的挑战和机会便随之而来。 本书将探讨复数序列的收敛性，即当项数趋于无穷时，序列是否会逼近某个特定的复数值。我们将引入复数级数的概念，并研究其收敛判别法，例如比值判别法、根值判别法等，它们帮助我们判断一个无穷级数是否能够得到一个有限的和。更重要的是，我们将深入研究“幂级数”，特别是以复数为变量的幂级数。幂级数如同一个强大的“万能公式”，可以将许多函数展开成无穷项多项式的形式，这不仅是理解函数性质的重要手段，也是构建复杂函数和解决微分方程的关键。我们将看到，正是通过幂级数，我们得以深入理解许多重要函数的本质。 第五章：映射的魔力——共形映射在几何与物理中的应用 复变函数最令人着迷的特性之一，便是它能够进行“共形映射”。共形映射是一种特殊的函数映射，它能够在保持角度不变的前提下，将一个区域变形到另一个区域。想象一下，将一张平整的地图弯曲成球面，或者将一个二维的曲面展平，共形映射正是实现这种几何变换的数学工具。 本书将详细介绍共形映射的理论及其在几何和物理学中的广泛应用。我们将看到，许多看似复杂的几何问题，可以通过共形映射转化为更简单的形式来求解。例如，在流体力学中，通过共形映射可以研究不可压缩流体的流动；在电磁场理论中，共形映射可以帮助分析电场和磁场的分布。我们将通过具体的例子，例如莫比乌斯变换，来展示共形映射如何改变复平面上的几何形状，以及这种变换如何为解决实际问题提供直观而有效的途径。 结语：一扇通往更深层数学理解的大门 本书的写作初衷，并非提供一份详尽的应用复分析的“操作手册”，而是希望以一种循序渐进、引人入胜的方式，带领读者领略复数世界所蕴含的数学之美。我们所探讨的每一个概念，无论是复数的几何表示，复变函数的解析性，路径积分的威力，还是共形映射的奇妙，都不过是这座宏伟数学殿堂的一角。 通过本书，我们期望读者能够： 建立坚实的复数运算基础：熟练掌握复数的代数运算，并理解其几何意义。 领略复变函数的独特魅力：理解解析函数的定义及其重要性质，感受其在数学分析中的核心地位。 掌握路径积分与留数定理的应用：学会运用这些强大的工具解决复杂的积分计算问题。 理解序列与级数的收敛性：认识幂级数在函数展开中的关键作用。 体会共形映射的几何与物理意义：认识到复变函数在几何变形和物理建模中的独特价值。 本书的内容，旨在构建读者对于数学，特别是分析学领域，更深层次的理解。它不是终点，而是一个起点，一扇通往更广阔数学领域的大门。我们相信，一旦踏入这个由复数构成的奇妙世界，读者将从中获得数学的深刻洞察，并可能因此激发对更深层次数学研究的兴趣。希望本书能够成为您在数学探索旅程中的一位忠实伙伴，帮助您发现数学的智慧与美妙。

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这本书的语言风格带有某种独特的魅力，它不像某些学术著作那样刻板严肃，反而流露出一种老派学者的沉稳与睿智，偶尔还能捕捉到一丝不易察觉的幽默感。这种人情味的表达方式，极大地缓解了阅读复杂数学材料时产生的心理压力。阅读过程中，我时常想象作者在伏案疾书时的情景，仿佛能感受到他对每一个定义、每一个定理的反复推敲和斟酌。这种对文字精准度和表达温度的平衡拿捏，使得学习过程本身成为一种享受。它成功地将“硬核”的数学理论包装成了一种易于接受且引人入胜的知识载体，成功地将我从一个被动的知识接收者，转化成了一个主动的探索者。

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这本书的装帧和排版实在是一绝，拿到手里就有一种爱不释手的感觉。封面设计简约而不失深度，那种深邃的蓝色调仿佛能将人吸入到无穷的数学世界中去，让人对内容充满了期待。内页纸张的质感也非常好，印刷清晰锐利，即便是那些复杂的数学符号和图表也能看得一清二楚，长时间阅读下来眼睛也不会感到特别疲劳。侧边留白恰到好处，方便读者随时做笔记和标记重点。尤其值得称赞的是，作者在章节划分和内容组织上看得出下了大功夫，逻辑层次分明，从基础概念的引入到高级定理的推导，过渡得非常自然流畅，不像有些教科书那样生硬地堆砌公式。这种细致入微的体贴，对于我们这些需要反复研读的读者来说，简直是福音。每一次翻开它，都像是在进行一场精心策划的阅读旅程，而不是面对枯燥的文字堆砌。

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这本书的学术深度无疑是顶尖水准，但更让我欣赏的是其内容的广博与前沿性。它不仅仅局限于教材层面的基础知识覆盖，更深入探讨了许多现代数学研究中的热点领域和未解之谜的最新进展。对于我这种希望将所学知识与实际科研方向接轨的人来说，这种兼顾深度与广度的内容布局显得尤为宝贵。书中对一些高级概念的阐释，丝毫没有为了炫技而堆砌晦涩难懂的术语，而是力求在保证严谨性的前提下，用最精确、最简洁的语言来表达思想的精髓。阅读这些章节时，我能感受到作者深厚的学术功底和对学科脉络的精准把握，这是一本真正有灵魂的学术著作。

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我必须提及这本书在配套资源方面的设计，虽然我手头拿的是纸质版，但通过书中的引用和附录提示，可以清晰地感受到它背后蕴含的丰富数字资源链接。这体现了作者对于当代学习方式的深刻洞察。书中的习题设置堪称教科书级别的典范——难度梯度设计得极其科学合理，从基础巩固到挑战思维的开放式问题，无所不包。更重要的是，这些习题并非孤立的计算练习，很多都与现实世界的模型或理论应用紧密相关，使得枯燥的练习过程充满了探索的乐趣。我发现自己不再是机械地套用公式，而是开始尝试自己设计验证过程，这才是学习的真正目的所在。

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坦白说，我对数学理论的接受度一向比较谨慎，很多高深莫测的著作往往在开头几页就能把我劝退。然而，这本书的叙事风格极其平易近人，它仿佛是一位经验老道的导师，耐心地牵引着读者一步步深入。作者巧妙地运用了大量的实例和直观的几何解释来辅助抽象的代数推导，这极大地降低了理解门槛。我特别喜欢它对一些经典问题的深度剖析，那些曾经困扰我很久的疑点，在书中被抽丝剥茧地阐述清楚，令人茅塞顿开。阅读过程中，我常常会停下来，对照着书中的图示反复琢磨，那种“原来如此”的豁然开朗，是阅读其他同类书籍中难以体会的酣畅淋漓。它不只是罗列知识点，更是在构建一套完整的思维框架，让人学会如何“思考”数学问题。

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