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出版者:江苏教育出版社

作者:单墫

出品人:

页数:451

译者:

出版时间:1996.09

价格:13.40

装帧:20cm

isbn号码:9787534328107

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几何不等式的宇宙：从古希腊的智慧到现代的璀璨 探寻数学深处的和谐与均衡 几何不等式，一个听起来或许有些抽象的词汇，却承载着数学中最古老、最深刻的智慧之一。它并非某个学科的孤立分支，而是如同宇宙的底层逻辑，渗透在自然万物的形态、结构与运动之中。本书《几何不等式的宇宙》旨在带领读者踏上一段令人着迷的旅程，从几何学最基础的概念出发，层层剥开不等式那层层叠叠的神秘面纱，揭示其在不同领域所展现出的惊人力量与优雅之美。 这本书并非一本枯燥的数学定理汇编，而是一部关于“如何思考”的指南。它将引导我们理解，为什么在相似的形状中，总存在着某种“更优”或“更劣”的可能性？为什么在构建图形时，某些组合天然地比其他组合更稳定、更高效？这些看似简单的疑问，正是几何不等式所要探索的核心。我们将从那些闪耀着智慧光芒的古代文明开始，追溯那些伟大的数学家们是如何凭借非凡的洞察力，构建出这些 fundamental 的数学真理。 启蒙的火种：古希腊的几何智慧 我们的旅程首先抵达的是古希腊，那个孕育了欧几里得、阿基米德等巨匠的辉煌时代。在那里，几何学不仅是一种精确的测量工具，更是理解宇宙秩序的语言。本书将详细阐述几个最经典、也最能体现几何不等式精神的古老命题。 首先，我们将深入探讨“最短距离”的普适性。从两条直线之间最短的垂直距离，到曲线上两点之间的最短弧长，再到平面内一点到圆的最近距离，我们都会发现，最简洁、最直接的路径往往伴随着某种“最少”的特性。这种“最少”的特性，正是不等式在几何中最早的体现——例如，两点之间直线段的长度小于任何其他连接这两点的曲线段的长度。我们将用直观的图示和清晰的逻辑，展示这一基本原理如何在看似简单的概念中埋下不等式的种子。 接着，我们会聚焦于“等周问题”，这是一个充满诗意的几何难题。对于一个给定的周长，哪个封闭曲线能围成最大的面积？答案令人惊叹：圆。这个结论，虽然看起来简单，却蕴含着深刻的不等式关系。我们将通过几何的直观方法，如使用切线和分割来逼近，逐步展示为何圆在围合面积方面具有无与伦比的优越性。这不仅仅是一个关于形状的结论，更是对效率和最优解的早期探索。本书将详细解析相关的几何构造和推理过程，帮助读者理解“圆”为何是自然界中如此普遍出现的优美形态。 再者，我们不能不提“三角形不等式”，这个被誉为“三角形的灵魂”的定理。它告诉我们，三角形任意两边之和大于第三边。这看似平常，实则蕴含着深刻的空间限制和构成原理。我们将通过多种方式来证明和理解它，从简单的度量，到通过图形的折叠与展开。我们会看到，三角形不等式不仅是构成三角形的必要条件，更是理解更高维度几何结构的基础。本书将探讨其在物理学、工程学甚至生物学中的潜在联系，虽然这些联系可能并非直接的几何不等式，但其背后所蕴含的“约束”与“可能性”的逻辑是相通的。 超越平面：从二维到三维，从静态到动态 随着数学的发展，几何不等式的触角也延伸到了更广阔的领域。本书将带领读者穿越由平面几何构成的古老王国，进入三维空间的奇妙世界，并进一步探索那些与动态过程息息相关的几何不等式。 在三维空间中，我们将探索“球体”的至高地位。类似于平面中的圆，球体在三维空间中拥有围合最大体积的优势（对于给定的表面积）以及最短表面积的优势（对于给定的体积）。我们将介绍一些关于球体的基本不等式，例如，球体的表面积与其半径的平方成正比，其体积与其半径的立方成正比。本书将通过类比和几何直观，展示如何在三维空间中理解和应用这些不等式，例如，在考虑容器的容积效率时，球形容器的优势。 随后，我们将转向“向量与不等式”的结合。向量，作为描述方向和大小的数学工具，为几何不等式提供了更强大的表达能力。我们将介绍诸如柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的几何意义。这个看似纯粹的代数不等式，在几何上具有极其重要的含义，它揭示了两个向量点积的绝对值与其各自模长乘积之间的关系，这与在物理学中计算功、在统计学中计算相关性等都息息相关。本书将提供直观的几何解释，例如，两个向量夹角的余弦值不可能大于1，这直接导出柯西-施瓦茨不等式。 再者，我们会触及“凸集与凸函数”的几何含义。凸集，几何上是指连接集中任意两点的线段都完全包含在集内的集合。凸函数，则可以用一条连接函数图上任意两点的线段总在图的上方来直观理解。本书将探讨凸集和凸函数在几何不等式中的核心作用，例如，詹森不等式（Jensen's Inequality），它描述了凸函数取平均值的性质。我们将展示这些概念如何贯穿于最优化问题、概率论以及计算机科学等多个领域，其几何直观是理解这些抽象概念的关键。 现代的辉煌：几何不等式在科学与工程中的应用 几何不等式并非仅仅是数学家们的思想游戏，它早已渗透到现代科学技术的核心，成为理解和解决实际问题的有力工具。本书的后半部分将着重展示几何不等式在不同领域的璀璨应用。 在物理学领域，我们将看到几何不等式如何帮助我们理解能量的守恒与耗散。例如，在分析一个系统的稳定性时，往往需要研究其能量函数是否满足某种不等式。热力学第二定律，在某种意义上，也是一个关于熵（一个衡量无序度的量）的“不可减”不等式。本书将选取一些简明的物理模型，展示几何不等式在其中扮演的关键角色，例如，对物理系统演化过程的约束。 在工程学领域，几何不等式更是无处不在。从材料强度的分析，到结构稳定性的设计，再到信号处理的优化，都离不开对几何形状和尺寸之间关系的精确把握。例如，在桥梁设计中，必须保证材料承受的应力不会超过其屈服强度，这是一个典型的“不超过”的不等式。本书将探讨如何将几何不等式应用于实际工程问题，例如，如何在保证结构强度的前提下，最小化材料的使用量。 在计算机科学中，几何不等式也是理解算法效率、数据结构优化以及图像处理的关键。例如，在计算几何学中，判断一个点是否在某个区域内，或者两个图形是否相交，都涉及到大量的几何不等式判断。本书将介绍一些计算几何中的经典问题，并展示几何不等式是如何被用来设计高效的算法。 最后，本书还会触及博弈论和经济学中对纳什均衡的几何解释。在某些情况下，纳什均衡的存在性可以通过分析某个“收益函数”或“策略空间”的几何性质来证明，这其中也隐含着深刻的几何不等式思想。 数学之美：几何不等式的优雅与和谐 《几何不等式的宇宙》并非仅仅是一本关于“术”的书，更是一部关于“道”的探索。它旨在让读者感受到数学的内在美，那种隐藏在严谨逻辑之下的和谐与均衡。几何不等式所揭示的，是世界万物之间普遍存在的“限度”与“关系”，是形态与功能之间的微妙平衡。 通过对几何不等式深入浅出的讲解，读者将不仅仅是记住几个定理，更能培养一种几何直觉，一种用图形和空间来思考问题的能力。这种能力，将有助于我们更深刻地理解周围的世界，无论是在欣赏自然风景时，还是在解决实际难题时。 本书的语言力求通俗易懂，配合精美的插图和直观的例子，将复杂的数学概念变得生动有趣。我们希望，即使是没有深厚数学背景的读者，也能在这段旅程中，感受到几何不等式那穿越时空、历久弥新的魅力，并从中获得启迪。 “几何不等式的宇宙”是一个永恒的探索领域，它在不断地拓展，在不断地展现新的奇迹。希望本书能成为您开启这段奇妙旅程的钥匙，引导您发现数学深处的和谐与均衡，并为您的人生旅途带来更多智慧与启发。

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这本书的装帧设计真是充满了古典韵味，硬壳烫金的书名在深邃的墨绿色封面上低调地闪烁着光芒，让人一上手就感受到它承载的厚重历史感。我原本是抱着探寻中国古代数学思想的初衷去翻阅的，没想到它在排版上居然如此考究。每一页的留白处理得恰到好处，文字间距的把握也体现了极高的专业水准，读起来有一种沉浸式的体验，仿佛置身于那个年代的文人书斋之中。特别是书中对一些关键定理的图示，采用了仿古的木刻版画风格，线条流畅又不失力量感，即便是不熟悉几何理论的人，也能从这些精美的插图中感受到数学美的张力。装帧的细微处，比如扉页上题写的几句引言，都是用了一种非常典雅的小楷字体印刷，这不仅仅是排版上的美学追求，更是一种对传统文化精神的致敬。这本书的物理形态本身就是一件值得收藏的艺术品，它将严肃的学术内容与精湛的工艺完美结合，让人在阅读之前就已经被它的气度所折服。这种对书籍细节的极致追求，在当今快节奏的出版界中，实属难得，让人由衷地赞叹。

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我最关注的部分是作者如何处理跨文化交流的议题，这本书在这方面展现出了极其细腻和审慎的态度。作者清晰地勾勒出了中国本土几何学思想的独立性和自洽性，避免了将一切成就都归功于外部影响的简单化倾向。同时，他又非常诚实地指出了在特定历史时期，随着丝绸之路的畅通，西方（特别是古希腊）数学体系是如何以一种潜移默化的方式进入到中国知识界的视野，以及本土学者对此进行的吸收、消化和再创造。这种处理方式的精妙之处在于，它既肯定了本土智慧的价值，又承认了知识交流的客观规律，没有采取任何排外的姿态，也没有过度夸大外来文化的作用。书中对“翻译”过程中的概念对等性讨论尤其精彩，展示了不同文明在表达同一数学思想时所体现出的文化差异性，这为理解古代中国的知识构建提供了一个更立体、更全面的视角。

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这本书的语言风格变化多端，着实让人耳目一新，完全没有传统学术专著那种刻板和枯燥。在论述一些基础概念的引入时，作者的笔触显得尤为亲切和具有引导性，像是经验丰富的老师在循循善诱，用现代的语言去解释古代的思维定式，使得晦涩的逻辑推导变得平易近人。然而，当讨论到涉及特定历史文献的考证和辨伪时，语气立刻转为严谨细致的学术腔调，引用的注释和旁白如同一张密不透风的证据网，让人对结论深信不疑。更值得称道的是，偶尔穿插其中的一些文学化的描述，比如对古代测量工具“绳墨”或“曲尺”的拟人化描绘，总能在不经意间触动读者的情感，增添了一丝诗意。这种在“学术的严谨”和“文学的感染力”之间自由切换的能力，使得阅读过程充满了惊喜，确保了即便是面对大量专业术语时，读者的注意力也始终能被牢牢抓住，绝不会感到疲倦。

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这本书的索引和附录部分，体现了作者对读者服务的极致用心，这往往是判断一部学术著作是否真正成熟的重要标志。我发现，它的检索系统设计得非常人性化，不仅仅是简单的页码索引，它将一些关键的数学符号、人名以及特定的历史地理名词都单独列出，并标注了它们在文本中出现的上下文语境。更令人惊喜的是附录中收录的一系列珍贵的原始文献影印件，虽然只是片段，但对于希望深入研究第一手资料的读者来说，提供了极大的便利。这些附录的装订和清晰度都无可挑剔，仿佛是把一个小型资料库直接装进了书的末尾。这种细致入微的资料组织方式，极大地提升了这本书作为工具书的价值，使得它不仅是一本供人阅读的读物，更是一部可以长期在案头参考、随时查阅的严谨性参考工具。

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我花了整整一个周末的时间来品味这本书的叙事脉络，不得不说，作者在构建宏大历史框架方面的功力令人叹服。他并没有将几何概念孤立地摆在那里，而是巧妙地将其置于中国古代社会、哲学乃至制度变迁的大背景下去考察。我特别欣赏作者处理时间线的方式，他并没有采取机械的年代罗列，而是通过几个关键的历史节点，比如某个朝代的官方修史习惯对数学记载的影响，或是某个地方志中对天文观测工具描述的演变，来串联起几何知识的发展轨迹。这种“以点带面”的手法，使得复杂的历史演进过程变得生动且富有逻辑性。每一次从一个章节跳转到下一个章节，都能感受到作者精心设计的转折点，像是一部精心编排的交响乐，高潮迭起，张弛有度。这种叙事策略，极大地降低了普通读者接触深奥历史文献的门槛，让阅读体验变得流畅且富有启发性，我甚至能想象出那些古代匠人和学者是如何在特定的历史语境下，摸索出那些精妙的几何原理的。

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