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出版者:科学出版社发行部

作者:刘培德

出品人:

页数:176

译者:

出版时间:2007-6

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030171429

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《数学分析精要：从极限到度量空间》 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的数学分析学习体验。它并非一本包罗万象的百科全书，而是精选了数学分析中最核心、最具代表性的概念与技巧，力求在有限的篇幅内，展现数学分析的精髓与魅力。本书的编排思路强调概念的内在联系和逻辑递进，从基础的极限概念出发，逐步构建起微积分的宏伟体系，并进一步拓展至更抽象的度量空间理论。 第一部分：基础概念与极限的深化 我们从实数系的构造和基本性质开始，为后续的学习奠定坚实的基础。此处将详细阐述完备性公理，并由此引申出数列收敛的充要条件，如柯西列的定义及其重要性。我们将不止步于直观理解，而是深入探讨极限的ε-δ定义，并提供大量不同类型的极限计算实例，包括但不限于多项式、有理函数、超越函数的极限，以及利用夹逼定理、洛必达法则等技巧求解复杂极限。 函数的连续性将是本部分的另一重点。我们将从拓扑的角度出发，重新审视连续性的定义，探讨开集、闭集的性质及其与连续函数的联系。在此基础上，我们将详细讨论介值定理、极值定理等经典定理，并结合图形和实际问题，帮助读者深刻理解连续性的几何意义和分析意义。 第二部分：微分的理论与应用 导数作为刻画函数局部变化率的关键工具，我们将对其进行全面的梳理。从导数的定义出发，我们将系统讲解求导法则，包括四则运算、链式法则、反函数求导法则等。本书将着重于导数在函数研究中的应用，如单调性、极值、凹凸性的判断，以及绘制函数图像的完整步骤。我们将深入分析极值问题的不同类型，包括局部极值和全局极值，并给出解决这些问题的系统方法。 高阶导数也将占据一席之地。我们将探讨二阶导数在判断凹凸性和拐点时的作用，并引入泰勒展开的概念。泰勒公式不仅是近似计算的重要工具，更是理解函数局部行为的有力武器。本书将详尽阐述泰勒公式的各种形式（如带拉格朗日余项、带皮亚诺余项），并给出若干经典函数的泰勒展开式，以及它们在近似计算、级数收敛性判定等方面的应用。 第三部分：积分的理论与技巧 积分是微积分的另一半，本书将从黎曼积分的概念出发，深入浅出地讲解其理论基础。我们将详细阐述可积性的充要条件，并重点分析那些在实际应用中至关重要的函数类，如连续函数和单调函数。积分的基本性质，如线性性质、区间可加性等，将得到细致的阐述。 微积分基本定理是连接微分与积分的桥梁，我们将对此定理给予高度的重视。本书将从不同角度证明微积分基本定理，并深入剖析其理论意义和实际应用。我们将通过大量实例，演示如何利用微积分基本定理计算定积分，包括不定积分的计算技巧，如换元积分法、分部积分法等。 除黎曼积分外，本书还将初步介绍勒贝格积分的思想。虽然不深入探讨其严谨的测度论基础，但我们将勾勒出勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性，特别是它在处理更广泛的函数类和在现代分析中的关键作用。我们将简要介绍可测函数和积分的概念，并说明它如何克服黎曼积分的局限性。 第四部分：序列与级数的分析 本部分将聚焦于无穷序列和无穷级数的收敛性问题。我们将从序列的定义出发，深入探讨数列收敛的充要条件，并介绍一些常用的判敛法则，如比值判别法、根值判别法、交错级数判别法等。我们将强调这些判别法的适用范围和局限性。 对于函数项级数，我们将区分点态收敛和一致收敛。本书将详细阐述一致收敛的定义及其重要性，并证明在一致收敛条件下，函数项级数的和函数仍然具有许多良好的性质，如连续性。这将为后续理解幂级数和傅里叶级数奠定基础。 幂级数作为一类特殊的函数项级数，我们将对其收敛半径、收敛域进行详细分析，并探讨幂级数的各种性质，如可以逐项求导和积分。我们将通过幂级数展开来表示一些重要的函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。 第五部分：度量空间的初步探索 为了将分析的工具推广到更一般的情形，本书将引入度量空间的概念。我们将从欧几里得空间出发，逐步抽象出度量空间的定义，并讨论距离的各种性质。度量空间的开集、闭集、完备性、紧致性等拓扑概念将被引入，并与实数分析中的相应概念进行类比和对照。 我们将探讨度量空间中的序列收敛、函数连续性等概念。通过度量空间的视角，读者可以更深刻地理解数学分析的核心思想，并为进一步学习泛函分析、微分几何等高级数学分支打下坚实的基础。例如，我们将简要提及巴拿赫不动点定理在度量空间中的应用，展示其在解决方程和优化问题中的强大威力。 学习目标与特色： 本书的编写目标是帮助读者建立起扎实的数学分析基础，培养严谨的数学思维和解决问题的能力。其特色在于： 逻辑严谨，概念清晰： 严格按照数学逻辑顺序展开，每个概念的引入都有其必然性，并力求清晰的定义和解释。 注重理解，而非死记硬背： 通过大量的图示、类比和直观解释，帮助读者理解抽象的数学概念。 精选内容，突出重点： 聚焦于数学分析中最核心、最常用的概念和技巧，避免不必要的冗余。 理论与应用相结合： 每一章节都配有丰富的例题和习题，涵盖了理论证明、计算技巧和实际应用。 循序渐进，难度适中： 从基础概念出发，逐步深入，适合不同层次的学习者。 本书适合于高等院校数学、物理、工程、计算机科学等相关专业的本科生，以及对数学分析有浓厚兴趣的自学者。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解微积分的本质，并为后续更高级的数学学习做好充分准备。

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作为一本工具书来看待，这本书的索引和术语对照系统设计得极为高效。在查阅特定的定理或性质时，无论是通过目录还是通过书末的术语表，定位速度都非常快。尤其值得称赞的是，书中大量使用的数学符号和函数表示法，全程保持了高度的一致性，这在许多同类教材中是很难做到的，往往一个概念在不同章节的符号表达就会出现混乱。此外，书中还附带了一些经典的、有历史意义的习题集，这些习题不仅仅是计算和验证，很多都需要读者综合运用多个定理进行深入思考，甚至有些题目本身就蕴含着重要的数学见解。对于希望通过自我练习来巩固知识点的自学者而言，这无疑是一笔宝贵的财富。

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我最欣赏的是作者在讲解核心概念时所展现出的那种近乎“雕琢”的严谨性。它并非简单地罗列定义和定理，而是深入挖掘了这些数学工具产生的历史背景和内在逻辑。比如在引入测度理论时，作者没有急于展示那些复杂的极限和$sigma$-代数运算，而是先花了大篇幅去解释为什么传统的黎曼积分在处理不规则集合时会遭遇瓶颈，这种“提出问题—分析问题—解决问题”的叙事结构，使得抽象的数学概念变得触手可及，极大地增强了读者的代入感。每一个证明步骤都经过了细致的拆解和阐述，即便是对于初学者来说，只要肯下功夫，也能顺着逻辑的链条一步步推导出结论，而不是被一连串的符号吓退。这种教书育人的态度，实在令人敬佩。

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这本书的难度曲线控制得非常巧妙，它像是一位耐心的导师，懂得循序渐进的艺术。初期的章节铺垫了坚实的基础，侧重于拓扑空间的基本概念和序列的收敛性，语言平实易懂，为后续的复杂内容打下了坚实的地基。然而，一旦进入到核心的勒贝格积分部分，难度便陡然上升，但这种提升并非毫无预兆。作者会适时地引入一些精心构造的反例或者稍微偏离主线的拓展思考题，提前让读者接触到高阶思维模式的转换。我发现，那些看似“额外”的内容，实则是理解后续积分理论深层内涵的关键钥匙。这种平衡把握得恰到好处，既保证了学术的深度，又避免了对读者产生过度的挫败感，体现了作者对学习者心理的深刻洞察。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面采用了一种低饱和度的蓝色调，搭配着简洁的白色衬线字体，给人一种沉静而专业的学术氛围。内页的纸张质感也相当出色，触感温润，印刷清晰锐利，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。排版布局合理，章节之间的过渡自然流畅，图表的绘制精美且具有很高的信息密度，完全符合一本高等数学教材应有的标准。书脊的装订牢固，看起来很耐用，即便是经常翻阅或需要长时间放置在书架上，也不必担心散页的问题。整体来看，从拿起书本的那一刻起，就能感受到作者和出版方在细节上的用心，这种对物理形态的重视，极大地提升了阅读的体验，让人在面对复杂的理论知识时，也能保持一份愉悦的心情，期待接下来的学习旅程能更加顺畅。

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这本书的语言风格是高度凝练而精准的，没有丝毫多余的修饰词，每一个句子都像经过了精确计算的数学表达式，直指核心要义。它要求读者必须保持高度的专注力，因为错过任何一个限定条件或一个小小的逻辑跳跃，都可能导致对整个定理的误解。这本教材的价值，很大程度上在于它训练了读者“精确思考”的能力，这远超出了掌握积分理论本身。读完一个章节，你会感觉大脑经过了一次彻底的“逻辑重塑”，思维的边界似乎被拓宽了。虽然阅读过程需要付出极大的心智努力，但最终所获得的清晰、无懈可击的数学推理能力，绝对是值得这份投入的。它不仅仅是一本教材，更像是一套严苛的思维训练手册。

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看的我小小的脑袋，大大的问号，这书也太不严谨的

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实变的补充教材，基本上每本实变函数定理还不就是那些定理，就是看不同老师用不同方法讲出来。而我们就选择最能接受的方式来学习。实变的证明都大同小异，有时候觉得挺没意思的。

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真的很差劲的书，很多定理的证明不详细，还有很多不严谨的地方，甚至是理论错误。不管是北大周民强的还是复旦夏道行的都比这本书好10倍。真的是垃圾中的垃圾

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编著者刘培德就是给我们上课的老师。实变大无边。