第 1 章 函數、圖像和直綫 1
1.1 函數 1
1.1.1 區間錶示法 3
1.1.2 求定義域 3
1.1.3 利用圖像求值域 4
1.1.4 垂綫檢驗 5
1.2 反函數 6
1.2.1 水平綫檢驗 7
1.2.2 求逆 8
1.2.3 限製定義域 8
1.2.4 反函數的反函數 9
1.3 函數的復閤 10
1.4 奇函數和偶函數 12
1.5 綫性函數的圖像 14
1.6 常見函數及其圖像 16
第 2 章 三角學迴顧 21
2.1 基本知識 21
2.2 三角函數定義域的擴展 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2] 以外的三角 函數 27
2.3 三角函數的圖像 29
2.4 三角恒等式 32
第 3 章 極限導論 34
3.1 極限：基本思想 34
3.2 左極限與右極限 36
3.3 何時不存在極限 37
3.4 在 1 和 .1 處的極限 38
3.5 關於漸近綫的兩個常見 錯誤認知 41
3.6 三明治定理 43
3.7 極限的基本類型小結 45
第 4 章 如何求解涉及多項式的極限 問題 47
4.1 包含當 x ! a 時的有理函數的極限 47
4.2 當 x ! a 時的涉及平方根的極限 50
4.3 當 x ! 1 時涉及的有理函數的極限 51
4.4 當 x ! 1 時的多項式型函數的極限 56
4.5 當 x ! .1 時的有理函數的極限 59
4.6 包含絕對值的極限 61
第 5 章 連續性和可導性 63
5.1 連續性 63
5.1.1 在一點處連續 63
5.1.2 在一個區間上連續 64
5.1.3 連續函數的例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一個更難的 IVT 例子 69
5.1.6 連續函數的最大值和最小值 70
5.2 可導性 71
5.2.1 平均速率 71
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬時速度 73
5.2.4 速度的圖像解釋 74
5.2.5 切綫 75
5.2.6 導函數 76
5.2.7 作為極限比的導數.78
5.2.8 綫性函數的導數 80
5.2.9 二階導數和更高階導數 80
5.2.10 導數何時不存在 81
5.2.11 可導性和連續性 82
第 6 章 如何求解微分問題 84
6.1 使用定義求導 84
6.2 求導 (好方法) 87
6.2.1 函數的常數倍 88
6.2.2 函數和與函數差 88
6.2.3 通過乘積法則求積 函數的導數 88
6.2.4 通過商法則求商 函數的導數 90
6.2.5 通過鏈式求導法則求 復閤函數的導數 91
6.2.6 一個令人討厭的例子 94
6.2.7 乘積法則和鏈式求導法則的理由 96
6.3 求切綫方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 導數僞裝的極限 102
6.6 分段函數的導數 104
6.7 直接畫齣導函數的圖像 107
第 7 章 三角函數的極限和導數 111
7.1 涉及三角函數的極限 111
7.1.1 小數情況 111
7.1.2 問題的求解 || 小數的情況. 113
7.1.3 大數的情況 117
7.1.4 其他的" 情況 120
7.1.5 一個重要極限的證明 121
7.2 涉及三角函數的導數 124
7.2.1 求三角函數導數 的例子 127
7.2.2 簡諧運動 128
7.2.3 一個好奇的函數 129
第 8 章 隱函數求導和相關變化率 132
8.1 隱函數求導 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隱函數求二階導 137
8.2 相關變化率 138
8.2.1 一個簡單的例子 140
8.2.2 一個稍難的例子 141
8.2.3 一個更難的例子 142
8.2.4 一個非常難的例子 144
第 9 章 指數函數和對數函數 148
9.1 基礎知識 148
9.1.1 指數函數的迴顧 148
9.1.2 對數函數的迴顧 149
9.1.3 對數函數、指數函數及 反函數. .150
9.1.4 對數法則 151
9.2 e 的定義 153
9.2.1 一個有關復利的例子 153
9.2.2 我們的問題的答案 154
9.2.3 關於 e 和對數函數的更多內容 156
9.3 對數函數和指數函數求導 158
9.4 如何求解涉及指數函數和對數 函數的極限 161
9.4.1 涉及 e 的定義的極限 161
9.4.2 指數函數在 0 附近的行為 162
9.4.3 對數函數在 1 附近的行為 164
9.4.4 指數函數在 1 或 .1 附近的行為 165
9.4.5 對數函數在 1 附近的行為 167
9.4.6 對數函數在 0 附近的行為 169
9.5 對數函數求導 170
9.6 指數的增長和衰退.174
9.6.1 指數增長 175
9.6.2 指數衰退 176
9.7 雙麯函數. .178
第 10 章 反函數和反三角函數 182
10.1 導數和反函數 182
10.1.1 使用導數證明反函數 存在 182
10.1.2 導數和反函數：可能 齣現的問題 183
10.1.3 求反函數的導數 184
10.1.4 一個重要的例子 186
10.2 反三角函數 188
10.2.1 反正弦函數 188
10.2.2 反餘弦函數 191
10.2.3 反正切函數 193
10.2.4 反正割函數 195
10.2.5 反餘割函數及反餘 切函數 196
10.2.6 計算反三角函數 197
10.3 反雙麯函數 199
第 11 章 導數和圖像 203
11.1 函數的極值問題 203
11.1.1 全局極值和局部極值 203
11.1.2 極值定理 204
11.1.3 怎樣求全局最大值和全局最小值 205
11.2 羅爾定理 208
11.3 中值定理 210
11.4 二次導數及圖像 213
11.5 對於導數為零點的分類 215
11.5.1 一次導數的應用 216
11.5.2 二階導數的應用 217
第 12 章 如何繪製函數圖像 220
12.1 怎樣建立符號錶格 220
12.1.1 製作一次導數的符號錶格 222
12.1.2 製作二次導數的錶格 223
12.2 繪製函數圖像的完全方法 225
12.3 例題 226
12.3.1 一個不使用導數的例子 226
12.3.2 使用完全方法繪製函數圖像: 例 1 229
12.3.3 例 2 230
12.3.4 例 3 233
12.3.5 例 4 236
第 13 章 最優化和綫性化 240
13.1 最優化問題 240
13.1.1 一個簡單的最優化例子 240
13.1.2 最優化問題：通常的 方法 241
13.1.3 一個最優化的例子 242
13.1.4 另一個最優化的例子 244
13.1.5 在最優化問題中使用隱函數的求導方法 247
13.1.6 一個較難的最優化例題 247
13.2 綫性化 250
13.2.1 綫性化的歸納 251
13.2.2 微分 253
13.2.3 綫性化的總結和 例子 255
13.2.4 在我們估算過程中的 誤差 256
13.3 牛頓方法 258
第 14 章 洛必達法則及極限問題綜述 264
14.1 洛必達法則 264
14.1.1 類型 A：0/0 264
14.1.2 類型 A : §1= §1 267
14.1.3 類型 B1(1.1) 268
14.1.4 類型 B2(0 ￡§1) 270
14.1.5 類型 C(1§1; 00 或 10) 271
14.1.6 洛必達法則類型的總結 273
14.2 關於極限的總結 274
第 15 章 積分 277
15.1 求和符號 277
15.1.1 一個有用的求和 280
15.1.2 伸縮求和法 281
15.2 位移和麵積 284
15.2.1 三個簡單的例子 284
15.2.2 一段更常規的旅行 286
15.2.3 有正負的麵積 288
15.2.4 連續的速度 289
15.2.5 兩個特彆的估算 292
第 16 章 定積分 295
16.1 基本思想 295
16.2 定積分的定義 299
16.3 定積分的特性 303
16.4 求麵積 307
16.4.1 求非代數和麵積 308
16.4.2 求解兩條麯綫之間的麵積 310
16.4.3 求麯綫與 y 軸所圍成的麵積 312
16.5 估算積分 315
16.6 積分的平均值和中值定理 318
16.7 不可積的函數 321
第 17 章 微積分基本定理 323
17.1 以其他函數為積分的函數 323
17.2 微積分的第一基本定理 326
17.3 微積分的第二基本定理 330
17.4 不定積分 331
17.5 怎樣解決問題：微積分第一基本定理 333
17.5.1 變形 1：變量是積分下限 334
17.5.2 變形 2：積分上限是一個函數 334
17.5.3 變形 3：積分上下限都為函數 336
17.5.4 變形 4：極限僞裝成導數 337
17.6 怎樣解決問題：微積分第二基本定理 337
17.6.1 計算不定積分 338
17.6.2 計算定積分 340
17.6.3 非代數和麵積和絕對值 343
17.7 技術上的觀點 346
17.8 微積分第一基本定理的證明 347
第 18 章 積分的方法：第一部分 349
18.1 替代法 349
18.1.1 換元法和定積分 352
18.1.2 怎樣決定替代公式 355
18.1.3 換元法的理論解釋 357
18.2 分部積分法 358
18.3 部分分式 363
18.3.1 部分分式的代數 運算 363
18.3.2 對每一部分積分 367
18.3.3 方法和一個完整的例子 369
第 19 章 積分的方法：第二部分 374
19.1 應用三角函數公式的積分 374
19.2 關於三角函數的冪的積分 377
19.2.1 sin 或 cos 的冪 377
19.2.2 tan 的冪 379
19.2.3 sec 的冪 380
19.2.4 cot 的冪 382
19.2.5 csc 的冪 383
19.2.6 遞歸公式.383
19.3 關於三角換元法的積分 385
19.3.1 類型 1：pa2 . x2 385
19.3.2 類型 2：px2 + a2 387
19.3.3 類型 3：px2 . a2 388
19.3.4 配方和三角換元法 389
19.3.5 關於三角換元法的總結 390
19.3.6 平方根的方法和三角換元法 390
19.4 積分技巧綜述 392
第 20 章 反常積分：基本概念 394
20.1 收斂和發散 394
20.1.1 關於反常積分的一些例子 396
20.1.2 其他的破裂點 398
20.2 關於無窮區間的積分 399
20.3 比較判彆法 (理論) 401
20.4 極限比較判彆法 (理論) 403
20.4.1 函數互為漸近綫 403
20.4.2 關於判彆法的陳述 405
20.5 P 判彆法 (理論) 406
20.6 絕對收斂判彆法 408
第 21 章 反常積分：如何解題 411
21.1 如何開始 411
21.1.1 拆分積分 411
21.1.2 如何處理負函數值 412
21.2 積分判彆法總結 414
21.3 1 和 .1 附近的常見函數 415
21.3.1 1 和 .1 附近的多項式和多項式型函數 416
21.3.2 1 和 .1 附近的三角函數 418
21.3.3 1 和 .1 附近的 指數 420
21.3.4 1 附近的對數 423
21.4 常見函數在 0 附近的情形 427
21.4.1 0 附近的多項式和多項式型函數 427
21.4.2 0 附近的三角函數 428
21.4.3 0 附近的指數函數 429
21.4.4 0 附近的對數函數 431
21.4.5 0 附近的更一般 函數 432
21.5 如何應對不在 0 或 1 處的瑕點 433
第 22 章 數列和級數：基本概念 435
22.1 數列的收斂和發散 435
22.1.1 數列和函數的聯係 436
22.1.2 兩個重要數列 438
22.2 級數的收斂與發散 439
22.3 第 n 項判彆法 (理論) 443
22.4 無窮級數和反常積分的性質 444
22.4.1 比較判彆法 (理論) 444
22.4.2 極限比較判彆法 (理論) 445
22.4.3 p 判彆法 (理論) 446
22.4.4 絕對收斂判彆法 447
22.5 級數的新判彆法 448
22.5.1 比式判彆法 (理論) 448
22.5.2 根式判彆法 (理論) 450
22.5.3 積分判彆法 (理論) 451
22.5.4 交錯級數判彆法 (理論) 454
第 23 章 如何求解級數問題 457
23.1 如何求幾何級數的值 457
23.2 如何應用第 n 項判彆法 459
23.3 如何應用比式判彆法 460
23.4 如何應用根式判彆法 463
23.5 如何應用積分判彆法 464
23.6 如何應用比較判彆法、極限比較判彆法和 p 判彆法 466
23.7 如何應對含負項的級數 470
第 24 章 泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論 475
24.1 近似值和泰勒多項式 475
24.1.1 重訪綫性化 476
24.1.2 二次近似 476
24.1.3 高階近似 477
24.1.4 泰勒定理 478
24.2 冪級數和泰勒級數 481
24.2.1 一般冪級數 482
24.2.2 泰勒級數和麥剋勞林 級數 484
24.2.3 泰勒級數的收斂性 485
24.3 一個重要極限 488
第 25 章 如何求解估算問題 490
25.1 泰勒多項式與泰勒級數總結 490
25.2 求泰勒多項式與泰勒級數 491
25.3 用誤差項估算問題 494
25.3.1 第一個例子 495
25.3.2 第二個例子 497
25.3.3 第三個例子 498
25.3.4 第四個例子 499
25.3.5 第五個例子 501
25.3.6 誤差項估算的一般方法 502
25.4 誤差估算的另一種方法 502
第 26 章 泰勒級數和冪級數：如何解題 505
26.1 冪級數的收斂性 505
26.1.1 收斂半徑 505
26.1.2 如何求收斂半徑和收斂區域 507
26.2 由舊泰勒級數求新泰勒級數 511
26.2.1 代換和泰勒級數 512
26.2.2 泰勒級數求導 514
26.2.3 泰勒級數求積分 515
26.2.4 泰勒級數相加和相減 517
26.2.5 泰勒級數相乘 518
26.2.6 泰勒級數相除 519
26.3 利用冪級數和泰勒級數求導 520
26.4 利用麥剋勞林級數求極限 522
第 27 章 參數方程和極坐標 526
27.1 參數方程 526
27.2 極坐標 531
27.2.1 極坐標與笛卡兒坐標互換 532
27.2.2 極坐標係中畫麯綫 534
27.2.3 求極坐標麯綫的切綫 537
27.2.4 求極坐標麯綫圍成的麵積 538
第 28 章 復數 541
28.1 基礎 541
28.2 復平麵 544
28.3 復數的高次冪 547
28.4 解 zn = w 548
28.5 解 ez = w 553
28.6 一些三角級數 555
28.7 歐拉等式和冪級數 557
第 29 章 體積、弧長和錶麵積 559
29.1 鏇轉體的體積 559
29.1.1 圓盤法 560
29.1.2 殼法 561
29.1.3 總結和變式 563
29.1.4 變式 1：區域在麯綫和y 軸之間 563
29.1.5 變式 2：兩麯綫間的區域 565
29.1.6 變式 3：繞平行於坐標軸的軸鏇轉 567
29.2 一般固體體積 569
29.3 弧長 573
29.4 鏇轉體的錶麵積 577
第 30 章 微分方程 581
30.1 微分方程導論 581
30.2 可分離變量的一階微分方程 582
30.3 一階綫性方程 584
30.4 常係數微分方程 588
30.4.1 解一階齊次方程 589
30.4.2 解二階齊次方程 589
30.4.3 為什麼特徵二次方程適用 590
30.4.4 非齊次方程和特解 591
30.4.5 求特解 592
30.4.6 求特解的例子 593
30.4.7 解決 yP 和 yH 間的衝突 596
30.4.8 IVP. 596
30.5 微分方程建模 598
附錄 A 極限及其證明 601
A.1 極限的正式定義 601
A.1.1 小遊戲 601
A.1.2 真正的定義 603
A.1.3 應用定義的例子 604
A.2 由原極限産生新極限 605
A.2.1 極限的和與差及證明 605
A.2.2 極限的乘積及證明 606
A.2.3 極限的商及證明 607
A.2.4 三明治定理及證明 609
A.3 極限的其他情形 609
A.3.1 無窮極限 610
A.3.2 左極限與右極限 611
A.3.3 在 1 及 .1 處的極限 611
A.3.4 兩個涉及三角函數的例子 613
A.4 連續與極限 615
A.4.1 連續函數的復閤 615
A.4.2 介值定理的證明 617
A.4.3 最大 { 最小定理的證明 618
A.5 重返指數函數和對數函數 619
A.6 微分與極限 621
A.6.1 函數的常數倍 622
A.6.2 函數的和與差 622
A.6.3 乘積法則的證明 622
A.6.4 商法則的證明 623
A.6.5 鏈式求導法則的證明 624
A.6.6 極值定理的證明 624
A.6.7 羅爾定理的證明 625
A.6.8 中值定理的證明 625
A.6.9 綫性化的誤差 626
A.6.10 分段函數的導數 627
A.6.11 洛必達法則的證明 628
A.7 泰勒近似定理的證明 630
附錄 B 估算積分 633
B.1 使用條紋估算積分 633
B.2 梯形法則 636
B.3 辛普森法則 638
B.4 近似的誤差 640
B.4.1 估算誤差的例子 641
B.4.2 誤差項不等式的證明 642
符號列錶 644
索引 647
· · · · · · (收起)