P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions (Graduate Texts in Mathematics) (v. 58) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Neal Koblitz

出品人:

页数:165

译者:

出版时间:1984-07-23

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387960173

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p-adic 数、p-adic 分析及 zeta 函数 (Graduate Texts in Mathematics, vol. 58) 本书为一本深入探讨 p-adic 数、p-adic 分析及其在 zeta 函数理论中应用的学术著作，旨在为研究生提供坚实的理论基础和前沿的研究视角。全书结构严谨，逻辑清晰，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论框架，为读者铺就一条通往该领域前沿的清晰路径。 第一部分：p-adic 数的基础 本书的开篇，我们首先构建 p-adic 数的完整理论体系。这包括对整数环 $mathbb{Z}$ 的 p-adic 完备化，从而得到 p-adic 数域 $mathbb{Q}_p$。我们详细介绍 p-adic 范数，及其诱导的度量空间结构，例如 p-adic 绝对值 $|cdot|_p$ 和其相关的拓扑性质。读者将学习到 p-adic 整数环 $mathbb{Z}_p$ 的结构，以及单位元、可逆元等重要概念。接着，我们将探讨 p-adic 整数的幂级数表示，例如指数函数 $exp(x)$ 和对数函数 $log(1+x)$ 在 p-adic 域中的收敛性和性质。此外，我们还会引入 p-adic 整数的乘法群 $(mathbb{Z}/p^nmathbb{Z})^ imes$ 的结构，以及单位根的分布，这对于理解 p-adic 分析中的一些关键现象至关重要。 第二部分：p-adic 分析 在 p-adic 数的基础上，本书系统地阐述了 p-adic 分析的核心内容。我们首先定义 p-adic 函数，并研究其连续性、可微性等性质。函数空间，特别是 Banach 空间，在 p-adic 域中的结构和性质将得到详细的讨论。收敛性是分析学的基础，本书将深入探讨 p-adic 序列的收敛性，以及 p-adic 级数的收敛判别法，例如 Weierstrass 判别法和 Cauchy 判别法。 p-adic 函数的积分是 p-adic 分析中的一个重要工具。我们将介绍 p-adic 积分的定义，包括黎曼积分和勒贝格积分的 p-adic 类比，并探讨其基本性质，例如积分的可加性、线性性和一致收敛性。泰勒级数在 p-adic 分析中也扮演着重要角色。我们将研究 p-adic 函数的泰勒展开，以及收敛半径的确定。 本书还将关注 p-adic 微分方程。我们将探讨 p-adic 微分方程的解的存在性、唯一性以及性质，这在许多数学和物理应用中都至关重要。例如，我们可能会讨论 Airy 函数或 Bessel 函数在 p-adic 域中的推广和性质。 第三部分：zeta 函数与 p-adic 分析的联系 本书的第三部分是本书的亮点，它将 p-adic 分析与 zeta 函数的理论紧密地联系起来。我们将从经典的 Riemann zeta 函数出发，介绍其定义、欧拉乘积公式以及解析延拓。然后，我们将深入探讨 zeta 函数的零点分布，以及 Riemann 猜想的深远意义。 紧接着，我们将介绍 p-adic zeta 函数。例如，Kubota-Leopoldt p-adic zeta 函数，以及它的性质和与经典 Riemann zeta 函数的关系。我们将研究 p-adic zeta 函数的解析性质，例如其在 p-adic 域中的解析延拓。 本书还会探讨 L-函数。我们将介绍 Dirichlet L-函数，以及它与 Dirichlet 级数的关系。然后，我们将引入 p-adic L-函数，并研究它们的性质，例如它们如何通过 Iwasawa 理论与代数数论中的重要问题相联系。 此外，我们还将讨论 p-adic 分析在数论中的其他应用，例如在模块形式理论和椭圆曲线理论中的作用。例如，我们将触及 Hasse-Weil zeta 函数的 p-adic 理论，以及它们在研究代数簇的算术性质中的应用。 目标读者与学习收获 本书适合具有扎实代数、实分析和抽象代数基础的研究生和博士生。对于希望深入了解 p-adic 数及其在现代数论、代数几何和数学物理等领域应用的学者来说，本书也是一本不可或缺的参考资料。 通过学习本书，读者将能够： 掌握 p-adic 数及其分析理论的核心概念和方法。 理解 p-adic 函数的性质，以及 p-adic 微分方程的解的存在性。 深入了解 p-adic zeta 函数和 p-adic L-函数的理论，以及它们与代数数论的联系。 熟悉 p-adic 分析在研究经典 zeta 函数和 L-函数中的应用。 为进一步研究 p-adic 几何、p-adic 动力系统等前沿领域打下坚实的基础。 本书的编排清晰，例题丰富，旨在帮助读者循序渐进地掌握复杂的理论。它将为读者打开一扇探索 p-adic 世界的窗户，并激发读者对这一迷人领域的进一步研究兴趣。

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对于长期在经典分析领域耕耘的研究人员来说，这本书提供了一个绝佳的视角转换工具。我们习惯于欧几里得空间或复平面上那种“平滑”和“连续”的直觉，而p进世界的“不连续”和“离散性”常常挑战着我们的固有思维定势。这本书的叙述风格在保持数学严谨性的同时，却展现出一种令人耳目一新的清晰度，成功地将读者从传统的视角中解放出来。书中对解析函数理论，特别是对那些基于p进Haussdorff测度和积分的概念的论述，处理得细致而富有条理。它清晰地展示了如何在舍弃了传统分析中的某些核心工具（如一致收敛的强大作用）之后，依然能够构建出一个强大且自洽的解析理论体系。这种对数学基础的重塑过程，对于任何希望探索非经典分析框架，例如非阿基米德几何或p进动力学的研究者来说，都是至关重要的第一步，它提供了必要的工具箱和思维蓝图。

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阅读这本教材的过程，更像是一次精心编排的智力探险。它在不同章节间的跳转处理得非常巧妙，特别是当讨论延伸到zeta函数的部分时，那种数学美感达到了一个小小的巅峰。作者并非简单地罗列公式或定理，而是着力于展示这些看似独立的数学分支是如何在p进数的框架下相互交织、相互印证的。那种“原来如此”的豁然开朗的感觉，贯穿了整个阅读体验。例如，书中对局部紧群（Locally Compact Groups）在p进域上的表示和卷积积分的讨论，其深度和广度远远超出了标准的本科教材范围，直接触及了表示论和调和分析的前沿。这种深度使得这本书在研究生阶段的课程中具有极高的价值，它迫使读者不仅要理解“是什么”，更要去探究“为什么是这样”。书中提供的例证和练习题也极具启发性，它们往往不是简单的计算题，而是需要读者运用多重概念进行综合分析的思维挑战，真正做到了“学以致用”和“思辨性学习”的完美结合。

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我发现这本书最独特之处在于其对“函数论”这个概念的重新诠释。在p进数的语境下，我们所熟悉的泰勒展开、留数定理等工具需要全新的理解和推广。作者在处理诸如p进伽马函数或者p进L函数这类重量级对象时，表现出了非凡的洞察力。书中对这些函数性质的讨论，不仅仅是停留在定义层面，而是深入到了其核心的分析特性，比如函数方程、零点的分布等。这种对核心问题的紧抓不放，使得即使是最复杂的证明过程也显得脉络分明，易于追踪。它拒绝了那种肤浅的“工具罗列”，而是力求展示这些工具是如何从最基本的p进公理中自然而然地生长出来的。对于那些渴望在代数分析交叉领域做出实质性贡献的博士生来说，这本书简直是一部宝典，它提供的不仅仅是知识，更是一种面对复杂数学结构时的自信和驾驭能力。

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这部著作的篇幅和深度着实令人印象深刻，它成功地在现代数学的多个前沿领域架起了一座坚实的桥梁。初次翻阅时，我就被其严谨的逻辑构建和对核心概念的细致入微的阐述所吸引。作者显然花费了大量心血来确保读者能够平稳地从经典的分析学概念过渡到那个既陌生又充满魅力的p进世界。尤其是对于那些试图从传统的复分析背景转向代数几何或数论的学者而言，这种循序渐进的教学法显得尤为宝贵。书中对范数和度量的定义以及随之而来的拓扑结构的探讨，打下了极其坚实的基础，为后续理解p进数的完备性以及其在解析函数的构造中的应用做了完美的铺垫。我特别欣赏作者在引入诸如紧凑性、连通性等拓扑性质时，总是能立刻将其与p进的特定结构联系起来，使得抽象的理论讨论立刻变得具象化，这种处理方式极大地降低了初学者的理解门槛，同时又保证了数学的纯粹性和严谨性。对于任何想要深入研究现代数论或解析几何的深造者来说，这本书无疑是一份不可或缺的导览图，它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的引导。

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全书的排版和符号系统也值得称赞，这对于一本涉及大量抽象符号和复杂结构的书籍来说，是至关重要的。图表的运用虽然不多，但都恰到好处地服务于概念的阐释，避免了不必要的视觉干扰。更重要的是，它对数学史和理论发展的脉络把握得非常到位。在关键转折点，作者会适时地引用或提及相关的历史背景和重要人物的工作，这使得这套理论不再是孤立的数学构造，而是人类智慧在特定历史阶段的产物。这种人文关怀，使得学习过程增添了一层厚度。特别是对Hurwitz zeta函数以及更广泛的L-函数族群的初步介绍，虽然篇幅有限，但其意图非常明确——即展示p进分析与代数数论之间的深层联系。这为读者指明了接下来的研究方向，仿佛在说：“你已经掌握了工具，现在请看更广阔的风景。”

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