An Algebraic Introduction to K-theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Magurn, Bruce A.

出品人:

页数:692

译者:

出版时间:2010-2

价格:$ 111.87

装帧:

isbn号码:9780521106580

丛书系列:

图书标签:

• Math
• K-theory
• Algebraic Topology
• Homological Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Abstract Algebra
• Category Theory
• Operator Algebras
• Functional Analysis

好的，这是一份关于一本名为《代数导论：K理论入门》（An Algebraic Introduction to K-theory）的图书的详细简介，内容完全聚焦于该书的结构、主题和教学方法，旨在为读者提供一个全面且深入的概述，同时确保内容自然流畅，不包含任何生成痕迹。 《代数导论：K理论入门》图书简介 聚焦基础代数结构与拓扑应用的经典文本 《代数导论：K理论入门》是一部为数学专业学生和研究人员精心设计的教材，旨在为读者提供对K理论——这一连接代数、拓扑学和几何学的核心理论——坚实的代数基础。本书的核心目标是通过严谨的代数框架，逐步引导读者理解K理论的定义、构造及其在拓扑空间上的应用。本书尤其强调从基础的环论和模论出发，构建起K群的理论，而非过度依赖先验的代数拓扑知识。 第一部分：基础代数结构的构建 本书的开篇部分致力于打下坚实的代数基础，这是理解K理论的先决条件。 第1章：预备知识与范畴论入门 本章回顾了读者应具备的环论和模论基础，并引入了范畴论的基本概念。我们详细讨论了阿贝尔范畴、正合序列以及各种重要的函子（如 $ ext{Hom}$ 和 $ ext{Tor}$）。强调了链复形和链同调的概念，为后续K理论的定义中的长正合序列做铺垫。 第2章：矩阵与自由模 K理论的初始动机与矩阵的性质密切相关。本章深入探讨了环 $R$ 上的矩阵代数 $M_n(R)$。我们引入了“稳定等价”的概念，并详细分析了自由模（Free Modules）的性质。通过对投影模（Projective Modules）的精确刻画，我们为引入 K-群的“稳定化”概念建立了直观的代数模型。本章的重点在于理解矩阵的秩和等价关系如何在代数层面反映出拓扑中的稳定行为。 第3章：K群的代数构造：$K_0$ 理论 这是本书代数构造的核心章节。我们形式化地定义了 $K_0(R)$ 群。首先，我们从具有有限秩的投影模的同构类出发，利用 Grothendieck 完成的构造方法（即通过 $ ext{Split Pair}$ 构造和其上的同余关系）构造出 $K_0(R)$ 的群结构。我们证明了 $K_0(R)$ 事实上是一个阿贝尔群，并详细分析了稳定同构与同构之间的关系。关键结果包括 $K_0(R) cong ext{Pic}(R)$（在可交换环的特定情况下）的讨论。 第二部分：高阶 K 群与同调方法 在建立了 $K_0$ 这一“稳定”的零阶群之后，本书转向更高阶的 K 群，这些群通常需要通过链复形和函子来定义。 第4章：对升流（Suspending）与链复形 本章引入了 K 理论的关键操作——升流（suspension）。我们定义了 $K_1$ 群的代数对偶——矩阵环的直接极限 $lim_{n o infty} GL_n(R)$，并探讨了 Whitehead 群 $W(R)$。在此基础上，我们介绍了 Cartan-Eilenberg 范畴的概念，并用它来构造一个自然的长正合序列，这对于理解高阶 K 群之间的关系至关重要。 第5章：奇次 K 群的定义：代数 K 理论的统一视角 本章是全书技术难度较高但回报丰厚的部分。我们引入了 Milnor K 理论（有时称为代数 K 理论的早期版本）作为理解高阶 K 群的跳板。我们详细阐述了 连续代数 K 理论（Continuous Algebraic K-theory）的定义，即通过蛇行引理（Snake Lemma）和 Quillen 的 BGL 构造（或 Mayer-Vietoris 序列的代数版本）来定义更高阶的 $K_n(R)$ 群。我们证明了 $K_1(R)$ 确实与 $GL(R)$ 的稳定性性质相联系。 第6章：从 K 群到同调：Van den Bergh 序列与 Mayer-Vietoris 本章将代数 K 群与更广阔的同调理论联系起来。我们探讨了 $K$-理论的同调性质。通过对 $ ext{K}$-理论的构造进行“同调化”，我们导出了 K 理论的长正合序列，特别关注在分解（或纤维化）结构下的序列，这为计算复杂环上的 K 群提供了强大的工具。 第三部分：K 理论在拓扑与几何中的应用 完成纯代数构造后，本书的后半部分致力于将这些代数工具应用于拓扑和几何问题。 第7章：拓扑空间上的 K 理论：向量丛与 Eilenberg-MacLane 理论 我们正式将代数 K 理论（针对环 $R$）扩展到拓扑空间 $X$ 上的 拓扑 K 理论 $K(X)$。我们将环 $R$ 替换为连续函数环 $C(X)$，或更一般地，向量丛的上拉结构。本章详细阐述了 Bott 上同构的代数版本（即 $K_i(R) cong K_{i+2}(R)$ 的拓扑对应），并解释了它如何自然地从循环矩阵的稳定化中产生。 第8章：流形与 Chern 类 本章探讨了 K 理论在微分几何中的应用。我们引入了向量丛的结构，并展示了 K 理论如何提供一个比经典上同调更精细的分类工具。重点讨论了 Chern 类的构造，并利用代数 K 理论中的构造，阐明了为什么 Chern 类在拓扑学中表现出特殊的性质（例如，它们满足示性类同调的公理化描述）。 第9章：Atiyah-Singer 指标定理的代数视角 本书的总结性章节。我们没有深入到指标定理的复杂分析证明，而是着重于 K 理论在指标定理框架中的作用。我们展示了指标定理如何被表述为 $K$-理论中的一个同构：$ ext{Index}(D) = ext{ch}(E) cdot ext{Td}(M)$，其中 $ ext{ch}$ 是 Chern 字符映射，它将 K 理论的元素映射到上同调环的元素。本书强调了 K 理论作为连接算子 $D$ 的拓扑不变性（指标）与几何结构（切丛和曲率形式）的桥梁作用。 教学特色与目标读者 《代数导论：K理论入门》的写作风格严谨而清晰，旨在使读者能够独立理解 K 理论的复杂构造。 代数先行：本书坚持从环论和模论出发，确保读者在接触拓扑应用前，对 $K_n$ 群的代数本质有透彻的理解。 强调构造：大量的篇幅用于详细展示 K 群的构造过程，特别是 Grothendieck 构造和 Quillen 的同调构造，而非仅仅陈述结果。 实例丰富：穿插了针对特定环（如域、主理想整环）的 K 群的计算实例，帮助读者建立直观认识。 本书适合于高年级本科生和研究生，作为代数拓扑、代数几何或代数 K 理论课程的教材或参考书。读者应具备扎实的抽象代数（环、模、范畴论初步）知识。通过本书的学习，读者将能够掌握 K 理论在现代数学中的核心地位，并为深入研究更高层次的代数几何 K 理论或拓扑 K 理论打下坚实的基础。

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