Math 87 Adaptation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Hake, Stephen/ Saxon, John

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页数:0

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价格:274.00 元

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isbn号码:9781565773004

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• 数学
• 八年级
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• 解题技巧
• 同步辅导

几何拓扑的深邃探索：从黎曼到庞加莱 本书旨在为读者提供一个全面而深入的几何拓扑学导论，侧重于连接古典几何概念与现代拓扑学的前沿思想。我们不探讨特定代数结构在八年级数学课程（如“Math 87 Adaptation”）中的应用或特定教学方法，而是专注于几何学本身的核心概念如何随着时间推移，从欧几里得的严格论证，演化为研究空间内在不变性质的强大工具。 第一部分：欧几里得几何的遗产与微分几何的萌芽 本卷的开篇追溯了欧几里得几何学的宏伟结构。我们将详细分析《几何原本》中“公设”与“公理”的角色，探讨其在构建一个自洽的演绎体系中的作用。随后，我们将目光投向对这五条公设的质疑——特别是平行公设的独立性问题——如何催生了非欧几何的诞生。 我们将深入讲解罗巴切夫斯基和黎曼的开创性工作。在双曲几何中，恒定负曲率的内在结构如何重塑了三角形内角和的概念，以及如何在非平坦的背景下重新定义“直线”（测地线）。接着，转向黎曼几何，我们介绍黎曼度量、曲率张量以及测地线方程。这一部分的重点在于理解，曲率不再仅仅是三维空间中的一个视觉现象，而是空间本身内在属性的数学描述。我们细致地剖析了李奇（Ricci）张量在描述物质如何影响时空几何中的关键作用，这为理解爱因斯坦的引力理论奠定了必要的数学基础，尽管我们不会直接涉足广义相对论的物理应用。 第二部分：拓扑学的诞生：不变量的追寻 从对度量和角度的精确依赖中解放出来，是几何学迈向拓扑学的关键一步。本部分聚焦于拓扑学这一研究“可形变空间”的学科的诞生历程。 2.1 欧拉与拓扑的先声：我们从欧拉在柯尼斯堡七桥问题上的突破性工作开始，探讨连通性、边、顶点之间的关系，这标志着对几何对象进行拓扑分类的初步尝试。在此基础上，我们引入了多面体的欧拉示性数 ($chi = V - E + F$)。我们将证明对于所有拓扑等价的多面体，该数值保持不变，并阐述其在区分不同“洞”的数量上的深刻意义。 2.2 曼德尔布罗特集与分形几何的瞥见：虽然分形几何在很大程度上是二十世纪的产物，但它深刻地反映了拓扑学对“尺度无关”性质的兴趣。我们在此讨论豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）的概念，用以量化那些在传统整数维度上无法描述的集合（如科赫雪花或龙形曲线）的复杂性。这部分内容旨在拓展读者对于“维度”这一概念的理解，超越了我们习惯于感受的整数维度。 2.3 基本群与连通性的代数表示：拓扑学核心挑战之一是如何区分具有不同拓扑结构的物体。我们在此引入代数拓扑学的核心工具——基本群（Fundamental Group）。我们将详细介绍路径、回路的概念，以及如何利用同伦关系来构造基本群。通过计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，读者将直观地理解到，基本群能够捕捉到空间中“穿过洞”的不同方式。我们将对比圆盘 $D^2$ 和圆环 $T^2$ 的基本群差异，展示代数工具如何精确地区分这些在视觉上可能相似的空间。 第三部分：流形理论与高维几何 现代几何学的语言是流形（Manifolds）。本部分致力于构建理解高维几何的框架。 3.1 局部欧几里得性与光滑结构：我们定义了 $n$ 维流形的概念，强调其“局部具有欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的结构”这一核心特征。我们将探讨拓扑流形与光滑流形的区别，并介绍图册（Atlas）和坐标变换的必要性。微分几何的工具，如向量场、切空间（Tangent Space）和张量场，都是建立在局部坐标系上的，它们允许我们在弯曲的空间上进行微积分运算。 3.2 庞加莱的伟大猜想与三维拓扑：我们将回顾庞加莱（Poincaré）在20世纪初对三维球面（3-Sphere）的深入研究。虽然我们不深入到现代拓扑学对该猜想证明的复杂细节，但我们会阐释其核心思想：一个单连通的三维闭合流形是否必然是三维球面？这个问题的提出，标志着对三维空间的分类达到了一个高峰。我们探讨了球面的拓扑特性，如其基本群为零，并将其与更复杂的拓扑结构进行对比。 3.3 同调群与更精细的拓扑不变量：基本群虽然强大，但计算复杂且可能无法区分某些空间（如某些纤维丛）。因此，我们引入了同调群（Homology Groups）这一更具系统性的代数工具。通过理解链复形（Chain Complexes）、边界算子（Boundary Operators）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的概念，读者将学会如何计算同调群 $H_k(X)$。同调群提供了一种更“线性化”的方式来研究空间的“空腔”结构，它在分类复杂流形方面表现出优越的计算能力和稳定性。 结论：连接几何与拓扑的桥梁 本书的最终目标是使读者理解，从黎曼曲率张量到庞加莱的基本群，几何学经历了从依赖度量和角度的精确测量，向关注空间内在、内在变形不变性质的抽象演进。现代几何拓扑学是一个统一的领域，它运用分析、代数和拓扑的工具，来描述宇宙的结构、复杂系统的形态，以及我们对空间本质的深刻理解。本书提供了坚实的数学基础，为进一步探索微分拓扑、代数几何或理论物理的特定领域做好准备。

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我是在为准备一个关于抽象代数的研讨会而翻阅各种参考资料时偶然发现了这本《群、环、域：结构与构造》。这本书的风格极其鲜明，它似乎完全摒弃了教科书那种百科全书式的面面俱到，而是专注于构建一套简洁而有力的理论骨架。作者的叙述风格非常“欧式”，逻辑推进紧密得几乎不留喘息之机，但正是这种高强度的逻辑训练，极大地提高了我的抽象思维的敏捷度。它在讲解同态和同构时，反复强调“结构保持”这一核心思想，并通过一系列精心挑选的例子——从循环群到有限生成阿贝尔群——来不断强化读者的直观感受。书中对于“域的扩张”部分的处理尤为精彩，它没有急于引入伽罗瓦群的复杂性，而是通过构造一系列递进的域（如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 到 $mathbb{Q}(sqrt[3]{2})$），让读者亲身体验到代数扩张的自然边界和复杂性，为后续伽罗瓦理论的引入做了完美的心理铺垫。对于那些已经掌握了基础集合论和函数概念，渴望真正理解抽象代数美感的学习者来说，这本书像是一份精心打磨的、直指核心的武功秘籍，它要求读者全神贯注，但回报是深刻而坚实的结构理解。

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这本《解析数论导引》的书籍封面设计低调，但内容却让我这个数学爱好者感到无比振奋。我一直对数论的神秘魅力着迷，但传统的解析数论书籍往往对初学者不甚友好。这本书的独特之处在于，它将数论中的核心问题——比如素数分布——放在了整个叙事的中心。作者从欧几里得的素数无穷性证明开始，巧妙地过渡到欧拉对调和级数的研究，逐步引导读者认识到复变函数论的强大威力。书中对于黎曼 Zeta 函数的介绍，简直是教科书级别的优雅：它首先在实数域上定义，然后通过解析延拓的直观描述（而不是复杂的复变函数工具箱），展示了其在素数定理中的核心作用。阅读过程中，我清晰地感受到了数学家们是如何一步步从简单观察走向宏大理论的思维过程。作者在讲解过程中，常常会插入一些精彩的数学小故事，比如高斯和勒让德在素数计数上的竞争，这使得原本可能显得枯燥的定理和公式背景鲜活起来。对于那些希望在不被大量复变函数技术细节淹没的情况下，领略解析数论之美的读者，这本书提供了绝佳的、充满人文关怀的入门路径。

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我是一名在职的工程师，需要经常回顾和应用一些偏微分方程的知识来处理项目中的热传导和波动问题，但离开学校太久，很多细节都模糊了。这本《工程数学中的PDE应用》对我来说，简直就是一座及时雨。它的重点非常明确，几乎所有的理论推导都紧密围绕着实际应用场景展开。例如，讲解拉普拉斯方程时，它直接从稳态温度分布的物理定律出发，细致地推导出了泊松积分公式，而不是像纯数学书那样先引入调和函数。更让我感到惊喜的是，它对有限差分法和有限元法的介绍，提供了清晰的算法流程和伪代码，虽然没有深入到编程实现层面，但足以让我理解数值求解的基本框架，这对于我后续查找具体的数值库文档非常有帮助。书中使用的数学符号也更加贴合工程领域的习惯，比如对边界条件的描述更加直观。唯一的小遗憾是，对于一些更前沿的数值方法（如谱方法）的介绍略显简略，但考虑到这本书的定位是面向工程应用的基础巩固，这点瑕不掩瑜。它成功地架起了理论与工程实践之间那座看似遥远的桥梁。

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初次翻开这本《高等数学核心概念解析》，我原本是抱着一种“试试看”的心态，因为市面上关于这个主题的书籍汗牛充栋，大多冗长乏味。然而，这本书的编排逻辑立刻抓住了我的注意力。它采取了一种非常现代的、以“问题驱动”的教学方法。比如，在讲解多元函数的极值问题时，作者不是先抛出拉格朗日乘数法，而是先设置了一个资源分配的最优化场景，引导读者思考为什么传统的单变量微积分工具不再适用，进而自然而然地引出新的约束优化理论。这种讲述方式，让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在跟随一位经验丰富的导师一起解决一个真实的难题。书中的图示设计也堪称一绝，那些三维空间的曲面和切线向量，通过精心绘制的等高线图和投影图，清晰地展示了函数在不同维度上的行为，即便是那些原本让我感到晕头转向的“鞍点”，在书中的图解下也变得一目了然。我特别喜欢它对于证明的阐述，它不像有些教材那样只给出一个冰冷的证明链条，而是会穿插一些“思维导图”式的步骤分解，明确每一步推理背后的核心逻辑，这对于培养严谨的数学思维至关重要。

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这本《代数进阶》简直是为我这种数学基础还行，但总是在一些更深层次的概念上感到吃力的学习者量身定做的。作者在讲解线性代数和微积分的衔接部分时，真是下了不少功夫。我记得我之前在学习矩阵的特征值和特征向量时，总是觉得那些抽象的符号和定义在脑海里打架，直到读到这本书里用几何变换的直观例子来解释这些概念，一切豁然开朗。书中没有一味地堆砌复杂的公式，而是花了大量的篇幅去铺垫这些概念在实际物理或工程问题中的应用背景，比如流体力学中的应力张量分析，或者信号处理中的傅里叶变换的原理。这种“先入世，后出世”的讲解方式，极大地降低了我的理解门槛。而且，书中的习题设计得非常有层次感，从基础的计算题到需要综合运用多个定理的证明题，难度梯度设置得非常合理，让人在完成每一组练习后都能获得实实在在的进步感。我尤其欣赏作者在每章末尾设置的“历史回顾与展望”，简要介绍了相关数学分支的起源和未来的发展方向，这让学习过程不再是枯燥的刷题，而更像是一场探索数学思想演进的旅程。总的来说，对于希望从传统微积分跨越到更高级数学领域的学生来说，这本书提供的思维框架和工具箱是极其宝贵的财富。

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