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出版者:

作者:Montiel, Sebastian/ Ros, Antonio/ Montiel, Sebastian (TRN)/ Babbitt, Donald (TRN)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:533.00 元

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isbn号码:9780821847633

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

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几何之维：流形、拓扑与微分的交织 一、 导言：超越平面的探索 本书旨在带领读者深入探索那些超越欧几里得三维空间限制的数学结构——广义几何。我们聚焦于描述和分析复杂形状、空间形变以及它们内在属性的工具集。不同于传统教材侧重于平面几何或基础微积分，本书的视角更为宏大和抽象，核心围绕微分流形（Differentiable Manifolds）的概念展开，将其作为研究光滑结构和局部欧几里得性质的通用框架。 我们将从拓扑学的基本概念出发，构建理解空间连续形变的基础，随后逐步引入必要的分析工具，最终将它们应用于高维空间的研究中。本书的基调是严谨的数学推理与直观的几何洞察相结合，旨在为研究者和高阶学生提供一个坚实的理论支柱。 二、 拓扑学基础与连续性结构 几何的本质在于研究不随连续形变而改变的性质。因此，我们首先需要建立一个坚实的拓扑基础。 2.1 拓扑空间与连续映射： 我们将详细阐述拓扑空间的定义（开集族），探讨邻域、边界、内部与闭包等基本概念。重点讨论连续映射的拓扑定义，即原像下保持开集的性质，这为后续定义光滑性提供了基石。 2.2 连通性与紧致性： 这两个核心性质是区分不同空间的关键。连通性（包括路径连通性）描述了空间的“整体性”，而紧致性（通过Heine-Borel定理或其他等价定义引入）则深刻影响了函数在空间上的行为，例如极值定理的成立。本书将深入分析这些性质在特定空间（如复平面、n维实空间）中的表现。 2.3 度量空间与等距： 虽然拓扑结构关注“邻近性”而非“距离”，但度量（Metric）在引入后极大地增强了我们对结构的刻画能力。我们将讨论度量空间，并考察等距映射（Isometry），即保持距离的变换，这是我们理解刚性结构和几何测量的起点。 三、 微分流形的建立与局部坐标 拓扑空间是研究连续性的，但要进行微积分运算（如求导、积分），我们需要引入光滑结构。 3.1 局部欧几里得空间与拓扑嵌入： 我们将定义n维拓扑流形：一个豪斯多夫（Hausdorff）、第二可数、且局部同胚于$mathbb{R}^n$的空间。此处的“局部同胚”是关键，它允许我们将高维、弯曲的空间在小范围内视为平坦的欧几里得空间。 3.2 坐标图册与过渡映射： 单个局部坐标（Chart）不足以描述整个空间。本书的核心工作之一是定义坐标图册（Atlas）——一组覆盖整个流形的局部坐标及其对应的映射。至关重要的一环是过渡映射（Transition Maps），即在两个重叠坐标系之间的坐标变换函数。 3.3 光滑性与微分结构： 为了在流形上进行微分运算，过渡映射必须是光滑的（无限次可微的）。本书详细讨论了如何通过要求过渡映射属于$C^k$类或$C^{infty}$类（光滑类）来赋予拓扑流形一个微分结构，从而得到光滑流形。我们将探讨Diffeomorphism（微分同胚）作为流形之间最强的等价关系。 四、 切空间与向量场：切入微分计算的工具 一旦流形是光滑的，我们就可以在每一点上定义“切向”的概念，这为向量分析提供了基础。 4.1 导数的推广：切空间的概念： 在流形上，我们不能直接在点上定义向量，因为空间本身是弯曲的。我们引入切空间 $T_pM$作为流形 $M$ 在点 $p$ 处所有可能“方向”的线性空间。本书将通过切向量作为曲线的导数，或通过导子（Derivations）来严格定义切空间。 4.2 向量场与积分曲线： 向量场是流形上每一点指定一个切向量的分配。我们研究向量场的性质，特别是其积分曲线，这些曲线描述了向量场所指示的方向随空间变化的轨迹。这自然引出了常微分方程组在弯曲空间中的解的存在性与唯一性问题。 4.3 张量场的引入： 向量场是（1,0）型张量。我们将进一步推广到张量场，包括（k, l）型张量，它们是多线性函数，在坐标变换下具有特定的变换律。张量是度量、曲率、应力等物理概念的数学载体。 五、 向量丛与联络：结构化的方向选择 为了在流形的不同点之间比较向量（例如，比较点$p$的切向量和点$q$的切向量），我们需要一个“联络”结构。 5.1 切丛与向量丛的结构： 整个流形上所有切空间的集合 $igcup_{pin M} T_pM$ 构成了一个重要的结构——切丛（Tangent Bundle）。我们将其视为一个特殊的向量丛，并讨论向量丛的一般理论框架。 5.2 联络（Connection）与平行移动： 联络为流形上的微分几何提供了内在的“测量工具”。它定义了平行移动的概念，即沿着特定方向如何“平移”一个切向量而不改变其方向（在流形意义上）。本书详细阐述了Levi-Civita联络，它基于黎曼度量，是无挠率的对称联络。 5.3 协变导数： 联络的直接应用是定义协变导数（Covariant Derivative），它是对流形上向量场或张量场进行微分的推广。在局部坐标系下，协变导数包含了坐标系变化带来的额外项——克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。 六、 黎曼几何的初步：度量、测地线与曲率 将光滑流形与度量结构结合，我们进入了黎曼几何的核心领域。 6.1 黎曼度量与黎曼流形： 黎曼度量是定义在每一点切空间上的一个正定对称二次型函数。它赋予了流形长度、角度和体积的概念。我们讨论度量的基本性质，以及如何利用它计算流形上的长度和体积形式（如体积元 $dV$）。 6.2 测地线（Geodesics）： 测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广，它们是两点间（局部）的“直线”。它们通过联络方程定义——沿着测地线方向上，切向量的协变导数为零。 6.3 曲率的代数与几何： 曲率是衡量流形偏离平坦程度的关键不变量。我们将重点分析黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），它是衡量平行移动是否“闭合”的指标。此外，我们还将介绍截面曲率（Sectional Curvature）和里奇曲率（Ricci Curvature），它们在描述空间几何特性方面具有根本重要性。 七、 结论：几何学的广阔前景 本书构建的框架——从拓扑到微分流形，再到黎曼几何——是现代数学物理、广义相对论、拓扑数据分析以及微分拓扑学的基础。它提供了一套语言，用于精确描述弯曲空间中的变化和结构，为探索更高层次的几何理论（如辛几何、规范场论）打下了不可或缺的基础。读者将获得的，是对空间结构本质的深刻理解，而非对特定表面形状的简单描绘。

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我是一名工业设计专业的学生，对如何精确地在计算机中建模那些流畅的、有机的曲面一直感到困惑。市面上很多书籍要么过于偏重理论推导，让人望而却步；要么过于聚焦于软件操作，缺乏深层次的数学基础支撑。然而，这本书恰好填补了这个空白。它没有直接教你怎么操作某个软件，而是深入探讨了诸如Bézier曲线、NURBS（非均匀有理B样条）这些核心的数学构建块是如何从根本上定义和控制形状的。我特别欣赏作者在讨论曲面插值和逼近算法时的清晰逻辑。那些关于最小二乘法在曲面拟合中的应用章节，帮我彻底理解了为什么某些模型看起来自然，而另一些则显得僵硬。读完这本书，我感觉自己不再仅仅是一个“模型搭建者”，而是一个能够“设计”曲面的数学家。它让我对“平滑性”有了更深刻的认识，不仅仅是视觉上的平滑，更是数学意义上的连续性和可微性。这对于我后续进行高级曲面优化设计至关重要。

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这本书的排版和插图质量简直是一场视觉盛宴，这一点是很多技术书籍所欠缺的。对于我这种更偏爱图示学习的读者来说，这简直是救星。那些用不同颜色和线条区分的向量场图、曲率球的示意图，都极大地缓解了纯文本带来的枯燥感。更令人称赞的是，作者在讲解那些看似冷僻的拓扑性质时，会穿插历史背景或者实际的物理应用案例，比如关于最小曲面的肥皂膜实验，这让理论不再是空中楼阁。我尤其喜欢它对“参数化”的哲学思考——即我们如何通过引入外部变量来“描述”一个内在的几何实体。这种视角上的转换是革命性的。虽然这本书在某些章节确实显得过于学术化，但我发现它非常适合作为研究生阶段的进阶参考书目，因为它提供的不仅是方法，更是思维框架。它培养了一种对“形式美学”背后数学规律的敬畏之心。

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我接触过不少关于几何建模的书，但很少有能像这本书一样，在数学严谨性和教学易懂性之间找到如此微妙的平衡。作者似乎深谙读者在学习复杂概念时的心理障碍，因此，在引入新的数学工具时，总是先给出直观的动机和几何解释，然后再铺陈代数推导。例如，在讲解主曲率和主方向时，作者通过一个扭曲的橡皮泥表面，生动地演示了为什么只有沿着那两个特定的方向，曲率才达到局部最大或最小值。这种由易到难、循序渐进的编排方式，极大地增强了我的学习信心。这本书不仅仅是关于“如何计算”的指南，它更是一部关于“如何思考”几何问题的教科书。它让我明白，任何优美的曲线或曲面，背后都是一系列可以被精确量化的数学规律在支撑，这是一种令人着迷的发现过程，让你对这个世界多了一层更深刻的理解。

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这本厚重的精装书，光是捧在手里就有一种知识的重量感。我本来是冲着对数学美学的探究去的，翻开扉页，首先映入眼帘的是大量精美的几何图形插图，那些复杂的曲线和曲面在纸面上得到了近乎艺术品的呈现。作者的叙述方式非常细腻，仿佛在引导读者进行一次深入的、富有挑战性的漫步。初读之下，我立刻被那些关于微分几何基础概念的讲解所吸引，它们不像教科书那样生硬枯燥，反而充满了启发性。尤其是在讲解曲率和法向量时，作者引入了一些非常直观的物理类比，这极大地帮助我理解了这些抽象的数学工具是如何描述现实世界中的形状变化的。书中对参数化方法的讨论也十分透彻，我能够清晰地看到，从简单的圆锥曲线到复杂的参数曲面，数学家是如何一步步构建起描述这些几何实体的语言体系的。尽管某些证明过程需要反复揣摩，但那种拨开云雾见真相的顿悟感，是其他同类书籍难以给予的。它更像是一位耐心且博学的导师，在你需要的时候适时提供帮助，而不是一味地灌输公式。

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坦白说，这本书的难度超出了我的预期，但带来的回报是巨大的。我原本是抱着学习应用微积分知识的目的来翻阅的，没想到作者直接将我带入了更深层次的现代微分几何的殿堂。开篇几章关于流形（Manifolds）的介绍，虽然概念抽象，但作者使用了非常巧妙的坐标系变换例子来锚定这些概念，使得我能够勉强跟上思路。书中的定理陈述严谨得令人敬畏，每一个假设和结论都经过了精心的打磨。我花了整整一个周末才啃完关于Gauss曲率和平均曲率的章节，那些公式在第一次见到时几乎让人崩溃。然而，一旦领悟了它们如何量化一个点附近的空间弯曲程度，你会发现这简直是描述三维空间形态的终极语言。这本书的价值在于其深度和广度，它强迫你从更高、更抽象的维度去思考几何问题，而非停留在二维平面或简单曲面的层面。它需要的不是速读，而是冥想式的阅读，每一次重读都会有新的感悟。

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