Meromorphic functions and analytic curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Hermann Weyl

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:1943

价格:$ 81.93

装帧:

isbn号码:9780691095745

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 研四春季
• 复分析
• 代数几何
• 解析曲线
• 莫比乌斯变换
• 留数定理
• 黎曼球面
• 函数论
• 复变函数
• 解析几何
• 代数曲线

拓扑几何在现代数学中的前沿应用：从纤维丛到规范理论 图书简介 本书旨在深入探讨拓扑几何学的核心概念及其在现代数学和理论物理学中的前沿应用。我们聚焦于那些超越传统微分几何范畴的复杂结构，特别是纤维丛理论、规范场论以及它们在代数拓扑和几何分析中的深刻联系。全书结构严谨，从基础概念的精确定义出发，逐步推向高度抽象和前沿的研究课题，旨在为数学研究者和物理学家提供一个清晰、详尽的导览。 第一部分：纤维丛理论的几何基础 本书的第一部分致力于构建现代纤维丛理论的坚实基础。我们首先回顾流形和张量场的经典概念，然后引入主丛（Principal Bundles）和向量丛（Vector Bundles）的严格定义。这一部分将重点阐述截面（Sections）的概念，并详述光滑函数的结构如何影响这些丛的全局性质。 我们深入探讨了陪丛（Associated Bundles）的构造方法，特别是切丛（Tangent Bundles）和余切丛（Cotangent Bundles）的性质，以及它们如何与向量场和微分形式建立联系。一个重要的主题是Thom构造及其与上同调理论的联系，特别是如何利用向量丛的分类空间（Classifying Spaces）来理解向量丛的稳定性。 本节还将详细介绍联络（Connections）的概念。联络不仅是连接不同纤维的工具，更是微分几何中定义“平行移动”和“曲率”的基础。我们将精确定义爱因斯坦-卡坦联络（Einstein-Cartan Connections）和黎曼联络，并详细分析曲率张量和第二陈类（Second Chern Class）的几何意义。我们还将讨论霍普夫-里伯辛定理（Hopf-Rinehart Theorem）在理解丛的拓扑性质中的作用。 第二部分：规范场论与几何的统一 在第二部分，我们将视角转向规范场论，探讨它如何将纤维丛理论与物理学中的基本力联系起来。规范场论的数学核心在于主丛上的联络和曲率，这直接导向了杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）的几何表述。 我们将详细分析规范变换（Gauge Transformations），阐明它们在保持物理定律不变性方面的核心作用。在几何上，规范变换对应于沿着主丛的纤维上的自同构。我们引入了规范群（Gauge Groups）的概念，并考察了李群（Lie Groups）在定义规范理论中的重要性。 本书随后深入讨论规范势（Gauge Potentials）和规范场强（Field Strength）的数学构造。我们将重点分析陈-西蒙斯作用量（Chern-Simons Action）的几何起源，并展示它如何通过对联络的积分来定义一个拓扑不变量。这一部分将详细介绍陈-西蒙斯理论在三维拓扑量子场论中的应用，以及它与纽结理论（Knot Theory）之间的桥梁。 此外，我们还将探讨规范理论中的稳定子（Stabilizers）和模空间（Moduli Spaces）。特别是，希格斯机制（Higgs Mechanism）的几何视角将被详细阐述，即如何通过选择特定的截面（如希格斯场）来破坏规范对称性，并产生质量项。对规范群的模空间的研究，如希格斯丛的模空间，是当前几何学研究的热点。 第三部分：拓扑不变量与几何分析 本书的第三部分侧重于如何利用纤维丛的结构来构造和计算拓扑不变量，并介绍几何分析中的关键工具。我们将从指标定理（Index Theorem）的视角切入，重点分析阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）及其在纤维丛上的推广。 我们将详细剖析如何通过拉帕诺夫示性类（Lefschetz Class）和黎曼-罗赫尔定理（Riemann-Roch Theorem）来计算向量丛的拓扑性质。这些工具依赖于对微分算子（如狄拉克算子，Dirac Operator）的谱性质的深入理解。 在几何分析方面，我们将探讨杨-米尔斯存在性与正则性问题的数学框架。这涉及到在完备黎曼流形上，对杨-米尔斯泛函进行极小化或稳定化的尝试。我们将介绍辛几何（Symplectic Geometry）与规范理论的交叉点，特别是辛结构下的规范理论，以及卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）上的超对称理论。 最后，我们将讨论拓扑场论（Topological Field Theories）的数学基础，特别是WWZ（Wess-Zumino-Witten）模型与共形场论的联系，并概述如何使用莫里塔的同调代数方法来处理规范理论中的非阿贝尔（Non-Abelian）结构。本书试图展示，拓扑几何不仅提供了一种描述复杂物理现象的语言，更是现代数学中连接不同领域的强大框架。 本书适合具备扎实的微分几何和微分拓扑基础的研究生和研究人员。对理论物理特别是高能物理和弦理论感兴趣的读者，也将能从中获得深刻的几何洞察。

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我花了相当长的时间消化这本书的内容，并将其视为我研究工具箱中的一把精密瑞士军刀。它在处理一些复杂的积分方程和微分方程解的存在性问题时，所展现出的工具箱的完备性令人惊叹。书中对特定函数的性质，比如函数的增长率和零点的分布规律，进行了详尽的分类和讨论，这些细致入微的分析，是其他泛泛而谈的教材所不具备的深度。我在尝试解决一个关于有界区域上的解析延拓问题时，书中某个看似不起眼的定理的巧妙应用，瞬间点亮了我的思路，这种“啊哈！”的体验是阅读一本真正好书时独有的乐趣。总体而言，它对细节的执着和对逻辑链条的不断强化，使得这本书不仅是一本学习资料，更是一部值得反复研读的参考手册。

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这本书的装帧和排版，坦白说，是教科书中的上乘之作。字体的选择和间距的处理，都充分考虑到了长时间阅读的舒适度，这对于我们这些需要埋头苦读的数学学习者来说至关重要。更值得称道的是，图表的绘制质量极高，那些描述空间形变和映射关系的插图，精准而富有美感，极大地辅助了对高维概念的直观把握。我注意到，作者在引入新概念时，往往会先铺垫大量的背景知识，这使得整个论证过程显得水到渠成，丝毫没有那种突兀的“黑箱操作”感。唯一的遗憾或许是，某些更前沿的研究方向的拓展性讨论稍显不足，可能需要读者在读完主体内容后，自行去查阅更近期的文献来补充最新的进展。不过，作为一本奠定坚实基础的专著，它无疑已经做到了极致的平衡与精湛。

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翻开这本书，我立刻被它所呈现的数学世界深深吸引。作者对复杂分析领域的探讨既深入又富有洞察力，尤其是在处理超出初学者范围的概念时，展现出非凡的清晰度。全书的逻辑脉络紧密相连，从基础的复变函数理论稳步推进到更抽象的几何结构，每一步的推导都严谨而富有启发性。我特别欣赏作者在讲解关键定理时，所采用的多种视角和生动的比喻，这极大地帮助我跨越了许多曾经难以逾越的理解障碍。书中的例题设计精巧，不仅是对所学知识的检验，更是对潜在应用方向的巧妙暗示，让人在解决问题的过程中，不断深化对理论内在联系的认识。对于那些希望真正掌握复分析精髓，而不仅仅是应付考试的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的财富。它不是那种快餐式的入门读物，而是需要耐心咀嚼、反复品味的经典之作。阅读过程像是在攀登一座雄伟的山峰，每一步的攀升都伴随着豁然开朗的视野扩展。

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这本书的叙事风格，与我过去接触过的许多欧式数学教材截然不同，它更像是一位博学的导师在低声耳语，分享他毕生的研究心得。语言的运用既精确又充满节奏感，某些段落读起来甚至带有一丝哲学思辨的韵味。它不满足于仅仅给出“是什么”和“怎么做”，更致力于探讨“为什么会这样”的根本原因。例如，在阐述黎曼曲面的拓扑性质时，作者巧妙地将代数结构与几何直觉融为一炉，让人不禁思考数学不同分支之间的深刻统一性。这种深层的、探究本质的精神，正是此书最打动我的地方。它让我从一个机械的计算者，逐渐转变为一个思考结构和联系的探索者。虽然有些地方的论证跨度较大，需要读者具备一定的预备知识作为跳板，但一旦跨越，回报是巨大的知识飞跃。

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从宏观角度看，这本书成功地搭建了一座从复变函数的微观分析到复杂曲面结构宏观描述的桥梁。作者对复射影几何和代数几何的边界地带的触碰，虽然点到为止，但无疑为有志于此的年轻学者指明了若干极具潜力的研究方向。我特别关注了其中关于模空间理论的早期铺垫，那些关于曲线家族特性的讨论，极富远见卓识。尽管全书的难度梯度设置较高，要求读者已经对拓扑学和泛函分析有一定的初步了解，但对于那些准备好迎接挑战的进阶学习者来说，它提供的视角是开阔而富有启发性的。它没有试图迎合任何人的阅读习惯，而是坚持以数学自身的严谨性来组织内容，这种纯粹性，恰恰是其价值所在。读完此书，我感觉自己对整个分析领域的理解框架都得到了重塑和加固。

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