Mathematical Problems of Statistical Hydromechanics (Mathematics and its Applications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:M.I. Vishik

出品人:

页数:588

译者:Leites, Dimitry

出版时间:1988-05-31

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789027723369

丛书系列:

图书标签:

• Hydromechanics
• Statistical Mechanics
• Mathematical Physics
• Fluid Dynamics
• Partial Differential Equations
• Boundary Layer Theory
• Turbulence
• Mathematical Modeling
• Applied Mathematics
• Hydrodynamics

统计流体力学的数学难题 图书简介 《统计流体力学的数学难题》一书深入探讨了统计流体力学领域的核心数学挑战，为研究人员、学生以及对这一跨学科领域感兴趣的专业人士提供了一份全面而详实的参考。本书并非简单罗列方程或定理，而是着力于揭示统计流体力学中那些悬而未决的、极具挑战性的数学问题，并追溯其发展脉络、分析现有研究方法及其局限性，同时展望未来可能的突破方向。全书以严谨的数学视角审视流体力学现象，旨在构建坚实的理论基础，推动该领域的进一步发展。 第一章：统计流体力学的基石与挑战 统计流体力学作为连接微观粒子运动与宏观连续介质行为的桥梁，其数学描述面临着固有的复杂性。本章首先回顾了经典流体力学的基本方程，如纳维-斯托克斯方程，并在此基础上引出统计描述的必要性。当流体包含大量自由度，或在微小尺度下，或在存在随机扰动时，经典连续介质理论的适用性受到限制。统计流体力学由此应运而生，它关注的是大量粒子的平均行为以及由这些粒子集合体所表现出的统计性质。 本章将详细阐述统计流体力学所面临的核心数学挑战： 多尺度耦合问题： 流体现象往往同时存在不同尺度的结构和动力学过程。例如，湍流中的能量级串机制，从宏观涡旋到微观耗散的能量传递，需要能够同时描述不同尺度的数学框架。如何有效地耦合这些不同尺度的描述，避免信息损失和计算效率低下，是统计流体力学中的一个长期难题。 随机性和不确定性处理： 统计流体力学天然地引入了随机性，无论是由于微观涨落、边界条件的不确定性，还是外力场的随机性。如何精确地量化和传播这种不确定性，如何在随机环境中推导和求解流体方程，是其数学上的关键。这涉及到概率论、随机微分方程、马尔可夫过程等高级数学工具的应用。 从微观到宏观的推导（平均场理论）： 如何从描述大量粒子相互作用的微观动力学（如玻尔兹曼方程）出发，严谨地推导出宏观的连续介质方程（如纳维-斯托克斯方程）及其统计修正，是统计物理学和流体力学交叉领域的核心问题。这一推导过程往往涉及平均化、近似以及对近似条件合理性的论证。 湍流的统计理论： 湍流是流体力学中最普遍但也最难精确描述的现象之一。其内在的随机性、非线性以及巨大的能量耗散，使得传统的解析方法难以奏效。本章将深入探讨湍流的统计性质，如概率分布、相关函数、谱分析等，并分析当前统计理论（如雷诺平均、涡旋动力学等）在数学上的严谨性和局限性。 非平衡态统计力学在流体力学中的应用： 许多实际的流体问题都处于非平衡态，例如通过热源或外力驱动的流体。如何发展适用于非平衡态的统计力学理论，并将其应用于描述流体的输运性质、相变等，是统计流体力学的重要前沿。 第二章：统计流体力学的数学工具箱 为了应对上述挑战，统计流体力学发展并借鉴了众多先进的数学工具。本章将对这些关键工具进行系统性的梳理和介绍，为读者构建一个坚实的理论基础。 概率论与随机过程： 概率分布函数、条件概率、期望值、方差等基本概念是描述统计性质的基石。本书将重点关注马尔可夫过程、泊松过程、高斯过程等在流体力学中扮演重要角色的随机过程，以及与之相关的随机微分方程（SDEs）及其解的存在性、唯一性、稳定性等数学理论。 统计物理学方法： 分子动力学模拟、蒙特卡洛方法、相空间分析、平均场理论、格林函数方法等统计物理学的经典方法，在统计流体力学中得到了广泛应用。本章将讨论这些方法如何用于计算流体的统计平均量、涨落以及推导宏观方程。 积分方程与泛函微积分： 许多统计流体力学问题最终归结为求解复杂的积分方程，例如描述粒子间相互作用的积分方程，或推导流体方程时的积分表示。泛函微积分在处理涉及函数作为变量的优化问题和描述场论时也发挥着重要作用。 数值分析与计算方法： 鉴于统计流体力学问题的复杂性，数值方法往往是不可或缺的。本章将介绍用于求解随机微分方程、处理高维概率分布、模拟复杂流体系统（如粗粒化模拟、多尺度模型）的各类数值算法，并探讨其收敛性、精度和稳定性等数学属性。 动力系统理论： 即使在统计描述的框架下，流体的内在动力学特性仍然至关重要。动力系统理论中的概念，如吸引子、分岔、混沌、李雅普诺夫指数等，有助于理解流体行为的复杂性和对初值敏感性，即使在统计平均的意义下，这些概念也能提供深刻的洞察。 渐近分析与近似方法： 在很多情况下，精确解析解是不可能获得的。本章将详细探讨各种渐近分析技术，如小参数展开、大参数展开、匹配渐近展开等，以及它们在简化复杂流体模型、提取主导物理过程方面的应用。 第三章：统计流体力学中的具体数学难题 本章将聚焦于统计流体力学中的几个具体、具有代表性的数学难题，深入剖析其数学结构、现有研究成果以及未来可能的研究方向。 玻尔兹曼方程的数学理论： 玻尔兹曼方程是描述稀薄气体动力学的重要模型，其解的存在性、唯一性、收敛性以及在连续介质极限下的行为，是数学物理学中的经典难题。本章将回顾自玻尔兹曼提出方程以来的数学研究进展，包括其经典解、弱解、以及针对非平衡态的性质研究。 湍流的精确统计描述： 尽管湍流研究取得了巨大进展，但其精确的统计描述仍然是开放性问题。本章将探讨如何通过更先进的数学工具，例如谱方法、小波分析、以及非线性动力学方法，来刻画湍流的统计性质，如高阶矩、概率密度函数、以及能量级串的精确数学表达式。 随机性对相变的影响： 在流体力学中，相变（如液-气转变）是一个重要的现象。当流体系统存在随机涨落时，其相变行为会发生怎样的改变？本章将分析随机性如何影响临界现象、相边界的形状以及相变的动力学过程，并探讨相关的统计力学模型和数学分析方法。 多体粒子系统与连续介质模型的过渡： 如何在数学上严谨地从描述大量粒子相互作用的量子或经典力学模型，过渡到宏观的、连续的流体力学方程，并理解过渡过程中信息丢失的本质？本章将讨论相关理论，如动力学平均场理论、以及在各种近似下的推导。 随机边界条件下的流体方程： 许多实际流体问题都受到随机边界条件的影响，例如海浪与海岸的相互作用。本章将探讨如何处理具有随机性质的边界条件，以及它们如何影响流体的统计行为和宏观输运性质。 信息论与统计流体力学： 信息熵、互信息等信息论的概念，在描述流体系统的复杂性和不确定性方面提供了新的视角。本章将探讨如何利用信息论工具来量化流体系统的复杂性、分析湍流中的信息传递，以及在统计流体力学模型中引入信息约束。 第四章：面向未来的研究方向与展望 统计流体力学的数学难题并非静态的，随着科学技术的发展和新问题的出现，该领域的研究也在不断演进。本章将展望未来的研究方向，并提出一些可能的研究思路。 机器学习与人工智能在统计流体力学中的应用： 机器学习算法在处理高维数据、发现隐藏模式方面具有巨大潜力。本章将探讨如何利用机器学习技术来辅助建立统计流体力学模型、加速数值模拟、以及分析实验数据。 量子效应在统计流体力学中的数学描述： 随着对超流体、量子气体等体系的深入研究，量子力学效应在流体力学中的作用日益凸显。如何将量子力学的数学描述融入到统计流体力学框架中，是未来的一个重要挑战。 复杂几何与多相流体的统计建模： 实际流体系统往往存在复杂的几何形状（如多孔介质）或由多种相组成（如气泡、液滴）。如何建立适用于这些复杂系统的统计力学模型，并进行有效的数学分析，将是下一阶段的研究重点。 “万有理论”的探索： 尽管存在巨大的挑战，但科学界始终追求能够统一描述不同流体现象的“万有理论”。本章将讨论一些可能统一不同统计流体力学模型的数学框架，以及实现这一目标的长期愿景。 跨学科的融合： 统计流体力学与材料科学、生物学、地球科学、天文学等领域的交叉融合日益紧密。本章将强调跨学科研究的重要性，以及不同领域数学工具的借鉴与创新。 《统计流体力学的数学难题》旨在为读者提供一个清晰、深入的视角，理解这一迷人而复杂的科学领域中的核心数学问题。通过对现有研究的梳理和对未来方向的展望，本书将激励新一代的研究者投身于这一前沿领域，为解决流体力学中的重大数学挑战贡献力量。

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