Properties of Global Attractors of Partial Differential Equations (Advances in Soviet Mathematics, V pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:A. V. Babin

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-07

价格:USD 123.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821841099

丛书系列:Advances in Soviet Mathematics

图书标签:

• 偏微分方程
• 全局吸引子
• 动力系统
• 数学分析
• 苏联数学
• 非线性分析
• 常微分方程
• 拓扑学
• 泛函分析
• 稳定性

全局吸引子的性质：偏微分方程的理论前沿 《全局吸引子的性质：偏微分方程的理论前沿》（Advances in Soviet Mathematics, Vol 10）一书，深入探讨了偏微分方程（PDEs）理论中一个至关重要的概念——全局吸引子（global attractors）。在全球动力系统研究的宏大图景中，全局吸引子扮演着核心角色，它揭示了方程解空间的长期演化行为，为理解和预测复杂物理现象的动态规律提供了强大的数学工具。本书汇集了苏联数学学派在这一领域的杰出研究成果，展现了其在拓扑动力学、泛函分析以及非线性偏微分方程等多个交叉学科领域的深刻洞见。 本书的研究对象是各类非线性偏微分方程，特别是那些描述守恒律、耗散过程或空间自组织现象的模型。这些方程广泛应用于流体力学、热传导、化学反应动力学、电磁学乃至生物学等诸多科学领域。对于一个给定的偏微分方程，当其定义域内的初始条件变化时，对应的解会随时间演化。全局吸引子理论的核心在于，对于许多（特别是耗散的）偏微分方程，无论初始条件如何，系统最终都会收敛到一个特定的、紧致的、不变的集合。这个集合就是该方程的全局吸引子。它不仅包含了系统所有可能的稳态和周期轨道，还支配着系统从任意初始状态过渡到这些长期行为的动力学。 本书的一大贡献在于系统地梳理了全局吸引子的存在性条件。作者们详细阐述了如何利用不动点定理、紧致嵌入定理以及能量方法等泛函分析的工具，来证明大量不同类型偏微分方程全局吸引子的存在。这包括了对希尔伯特空间或巴拿赫空间上紧致嵌入性质的精妙运用，以及对特定方程解的先验估计的严谨推导。例如，对于一类抛物型方程，通过建立解的能量界和解在某些Sobolev空间的紧致性，能够证明其全局吸引子的存在。书中还深入探讨了退化抛物型方程、拟线性方程等更复杂情形下的吸引子存在性证明，这些都是对经典方法的拓展和深化。 除了存在性之外，本书还着力于揭示全局吸引子的几何性质和拓扑结构。吸引子的“大小”——如其豪斯多夫维度或分形维度——是衡量系统复杂性的一个重要指标。作者们提供了计算和估计这些维度的多种方法，这对于理解系统的自由度以及其对初值的敏感性至关重要。例如，对于具有湍流特征的方程，其全局吸引子通常具有非常高的维度，反映了系统内部的复杂性和不可预测性。书中讨论了如何通过控制方程参数或方程的某些数学结构来影响吸引子的维度，这为实现对系统行为的调控提供了理论依据。 本书的另一重要方面是对吸引子结构内部动力学的分析。即使吸引子本身是紧致的，其内部可能仍然充满了丰富的动力学行为，例如奇异吸引子、混沌吸引子以及具有不同稳定性性质的不动点和周期轨道。作者们运用了诸如李雅普诺夫指数、熵理论以及分岔理论等工具，来刻画吸引子内部的动力学特性。这包括了对吸引子集合上流形结构的分析，以及对从吸引子外部趋向于吸引子内部的轨迹的稳定性分析。这些分析有助于理解系统在长期演化中可能出现的各种复杂的、甚至是不可预测的运动模式。 本书的一个显著特色是其理论的普适性和方法的严谨性。苏联数学家在发展抽象和一般性的数学理论方面有着悠久的传统，本书也充分体现了这一点。作者们不局限于某个具体的偏微分方程模型，而是致力于发展能够应用于广泛方程类别的通用理论框架和分析技术。这种抽象化的处理方式，使得本书的研究成果具有持久的生命力，并为后续研究提供了坚实的理论基础。书中对数学定义的精确性、定理证明的完备性以及论证的逻辑性都提出了极高的要求，体现了严谨的数学学风。 此外，本书还触及了全局吸引子与奇异摄动、多尺度分析等其他重要数学理论的联系。例如，在研究具有不同时间尺度耦合的系统时，吸引子理论可以帮助我们理解不同时间尺度下系统的近似行为，以及如何从高维复杂系统中提取出关键的低维动力学。作者们还探讨了如何利用吸引子理论来近似求解某些难以处理的偏微分方程，通过寻找其吸引子的“近似”或“粗粒化”版本，来简化分析过程。 总而言之，《全局吸引子的性质：偏微分方程的理论前沿》是一部里程碑式的著作，它系统地、深入地阐述了全局吸引子理论在偏微分方程研究中的核心地位和强大威力。本书的研究成果不仅极大地推进了偏微分方程理论本身的发展，也为应用数学、物理学、工程学等多个领域的研究者提供了理解和分析复杂非线性动力系统的重要理论工具和方法。它所代表的苏联数学学派在该领域的卓越贡献，至今仍是激励后来者不断探索数学奥秘的宝贵财富。本书是任何对非线性偏微分方程、动力系统理论以及数学物理感兴趣的研究者不容错过的经典之作。

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