Introduction to Linear Algebra for Science and Engineers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Pearson Education Limited

作者:Daniel Norman

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-08-20

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780201602104

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• {数学}[线性代数]
• 5/5
• (加拿大)
• 线性代数
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线性代数：构建现代科学与工程的基石 在科学探索和工程创新的宏大画卷中，线性代数无疑是最为核心、最为基础的画笔之一。它提供了一套强大而优雅的工具，用于理解和解决那些涉及多变量、多维度系统的复杂问题。从量子力学的抽象描述到计算机图形学的逼真渲染，从经济模型的预测分析到数据科学的模式识别，线性代数的思想无处不在，深刻地影响着我们理解世界的方式和改造世界的能力。 何为线性代数？ 简而言之，线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及线性方程组的数学分支。它关注的是“线性”的关系，这意味着变量之间的关系可以用直线或平面来表示，而不是弯曲的曲线。这种简洁而强大的性质使得我们能够以一种系统化的方式来处理大量数据和复杂系统。 核心概念的探索 1. 向量： 向量可以被理解为具有方向和大小的量，它们在几何上可以表示为箭头，在代数上则表示为有序的数字列表（分量）。向量是线性代数的基本单元，它们可以进行加法运算（平行四边形法则或首尾相接）和标量乘法（伸缩其长度）。向量的概念极大地拓展了我们描述物理量和几何对象的能力。例如，在物理学中，力、速度、位移都可以用向量表示；在计算机科学中，图像的像素值、用户画像的特征都可以用向量来编码。 2. 向量空间： 向量空间是包含了所有可能向量的集合，并且这些向量可以进行加法运算和标量乘法运算，同时满足一系列特定的代数性质（如加法交换律、结合律，标量乘法分配律等）。向量空间提供了一个抽象的框架，使得我们可以讨论不同类型对象之间的共性。例如，二维平面上的所有点、三维空间中的所有点、甚至是多项式的集合，都可以构成向量空间。这个概念的强大之处在于，一旦我们理解了向量空间的性质，就能将这些性质应用到各种不同的具体问题上。 3. 基与维数： 在一个向量空间中，我们可以找到一组“基本”的向量，称为基。基向量具有两个重要特性：它们是线性无关的（任何一个基向量都不能表示为其他基向量的线性组合），并且它们能够通过线性组合生成向量空间中的所有向量。一组基向量的数量称为该向量空间的维数。维数是衡量一个向量空间“大小”或“复杂性”的直观指标。例如，我们熟悉的二维平面有一个由两个线性无关向量组成的基，所以它是二维的；三维空间有三个基向量，所以是三维的。理解基和维数对于确定问题的自由度和简化复杂系统至关重要。 4. 线性变换： 线性变换是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间（或者同一个向量空间）中的向量，并且保持向量加法和标量乘法运算。线性变换在几何上可以被看作是拉伸、压缩、旋转、剪切或反射等操作。在代数上，每一个线性变换都可以由一个矩阵来表示。矩阵因此成为描述和执行线性变换的强大工具。理解线性变换是理解各种动态系统和数据处理算法的关键。 5. 矩阵： 矩阵是线性代数中另一核心的数学对象，它是一个由数字组成的矩形数组。矩阵可以用来表示线性方程组的系数、表示线性变换、以及存储和处理大量数据。矩阵的运算（如加法、减法、乘法、转置、求逆）对应着对线性系统进行的各种操作。矩阵乘法尤其重要，它代表了线性变换的复合，是解决许多工程和科学问题的核心计算步骤。 6. 线性方程组： 线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，例如 $ax + by = c$ 和 $dx + ey = f$。求解线性方程组就是找到满足所有方程的变量值。线性方程组的求解是线性代数最直接的应用之一，它在工程中用于分析电路、求解结构力学问题，在计算机科学中用于图像处理和机器学习等。通过矩阵形式表示线性方程组（$Ax = b$），我们可以利用矩阵的性质来分析方程组的解的存在性、唯一性以及求解方法。 7. 行列式： 行列式是一个与方阵相关的标量值。它包含了关于该矩阵及其所表示的线性变换的重要信息。例如，一个非零的行列式意味着该矩阵是可逆的，其代表的线性变换不会将向量压缩到更低的维度。行列式在求解线性方程组（克莱姆法则）、计算特征值以及研究向量的线性无关性等方面都有重要作用。 8. 特征值与特征向量： 对于一个方阵 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个标量 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，则称 $lambda$ 是 $A$ 的特征值，而 $v$ 是对应的特征向量。特征向量在经过线性变换 $A$ 的作用后，方向保持不变，仅在长度上被缩放了 $lambda$ 倍。特征值和特征向量揭示了线性变换最本质的“不变方向”和“尺度因子”，在物理学（如振动分析、量子力学）、工程学（如稳定性分析、信号处理）以及计算机科学（如主成分分析）等领域有着极为广泛的应用。它们可以帮助我们理解系统的动态行为和数据的内在结构。 线性代数在科学与工程中的应用 线性代数的应用几乎渗透到现代科学与工程的每一个角落： 计算机科学： 计算机图形学： 旋转、缩放、平移等三维变换是通过矩阵运算实现的，使得虚拟世界得以逼真呈现。 机器学习与人工智能： 线性回归、逻辑回归、支持向量机、神经网络等算法的核心都依赖于矩阵运算和向量空间的概念。特征提取、降维（如PCA）等技术更是线性代数的直接体现。 图像处理： 图像的滤波、压缩、边缘检测等操作可以看作是矩阵在像素矩阵上的运算。 数据分析： 线性代数是处理和分析大规模数据集的基石，用于寻找数据中的模式和关系。 物理学： 量子力学： 量子态用向量表示，物理量的测量对应于算子（矩阵）在向量上的作用，薛定谔方程本身就是一种涉及矩阵的微分方程。 经典力学： 描述刚体运动、受力分析、振动模态分析等都离不开线性代数。 电磁学： 描述电场和磁场分布、分析电路等问题通常会转化为求解线性方程组。 工程学： 结构工程： 分析应力、应变，求解结构的平衡状态，这些都可以建模为大型线性方程组。 电路分析： 基尔霍夫定律等基本定律可以导出线性方程组，用于求解电路中的电压和电流。 控制系统： 描述和分析动态系统的行为，设计控制器，往往需要用到线性代数工具。 信号处理： 傅里叶变换、小波变换等信号分析技术与线性代数密切相关。 数学： 数值分析： 许多复杂的数学问题需要通过数值方法近似求解，而这些方法很多是基于线性代数的。 微分方程： 求解常微分方程组和偏微分方程组时，常常需要用到矩阵的指数函数和特征值分析。 经济学与金融学： 计量经济学： 建立经济模型，分析变量之间的关系，进行预测。 金融建模： 投资组合优化、风险管理等问题常涉及矩阵运算。 学习线性代数的价值 学习线性代数不仅仅是为了掌握一套数学工具，更是为了培养一种严谨的逻辑思维和抽象概括能力。它教会我们如何将复杂的问题分解为更小的、可管理的部分，如何用统一的框架来理解不同领域的现象，以及如何通过数学模型来预测和控制现实世界。 在瞬息万变的科学技术前沿，线性代数作为一种普适性的语言和方法论，其重要性将与日俱增。无论是作为一名科学家去探索未知，还是作为一名工程师去创造未来，坚实的线性代数基础都将是你最有力的武器之一，它能够让你更清晰地洞察问题的本质，更有效地找到解决方案，并最终引领你在各自领域取得突破性的成就。它是一座桥梁，连接着抽象的数学世界与具体的现实应用，是通往深度理解和创新发明的不二法门。

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