Students Solutions Manual to Introduction to Linear Algebra for S pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison Wesley

作者:Norman

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-05-21

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780201602098

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 解题手册
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• 高等教育
• 数学
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• 学习指南
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• 工程数学
• Gilbert Strang

线性代数入门：原理、方法与应用 这是一本旨在为初学者深入浅出地介绍线性代数核心概念、基本方法和广泛应用的教材。 线性代数作为现代数学的基石之一，其重要性不言而喻。它不仅是代数领域的核心分支，更是支撑着计算机科学、工程学、经济学、统计学、物理学以及众多新兴交叉学科的关键工具。本书力求打破线性代数“高冷”的刻板印象，通过清晰的逻辑梳理、丰富的实例解析和循序渐进的难度设计，帮助读者构建扎实的理论基础，掌握灵活的解题技巧，并深刻理解线性代数在现实世界中的强大力量。 本书的主要内容梗概如下： 第一部分：向量空间与线性组合 本部分将带领读者进入抽象的数学世界，但并非晦涩难懂。我们将从最直观的向量概念入手，无论是二维平面上的箭头，还是三维空间中的位移，亦或是更高维度的概念，都将通过几何和代数的双重视角进行阐述。我们将学习如何进行向量的加法、减法以及标量乘法，并理解这些运算的几何意义。 随后，我们将引入线性组合的概念，即几个向量按照特定比例相加。这看似简单的操作，却是理解线性代数后续内容的基石。我们将探讨如何判断一个向量是否是另一组向量的线性组合，以及这背后蕴含的“生成”与“表示”的思想。 在此基础上，我们正式定义向量空间。本书将着重介绍最常见和最重要的向量空间，如 $R^n$（n维实数空间）以及多项式空间。我们将详细讲解向量空间的公理化定义，并以此为出发点，理解向量空间的结构特性。在此过程中，我们将接触到线性无关和线性相关的概念。一组向量的线性无关性意味着它们之间不存在“冗余”，每一个向量都提供了新的信息。反之，线性相关则意味着向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，从而可以被“压缩”或“省略”。 基和维数是向量空间中至关重要的概念。我们将理解一个向量空间的基是如何“张成”整个空间的，并且基的选取是唯一的（尽管基本身不唯一）。向量空间的维数则直接反映了空间的“自由度”。掌握了基和维数的概念，我们便能更有效地描述和分析向量空间。 第二部分：矩阵与线性方程组 矩阵，作为线性代数中最核心的数学对象之一，在本部分将得到详尽的介绍。我们将学习矩阵的定义、基本运算，如矩阵加法、标量乘法、矩阵乘法，并深入理解矩阵乘法的运算规则和几何意义。矩阵乘法是将多个线性变换复合起来的强大工具。 线性方程组是线性代数中最具实际应用价值的内容之一。我们将把一个线性方程组表示成矩阵方程 $Ax=b$ 的形式，并学习求解这类方程组的系统方法。高斯消元法（或称为行化简法）将是核心的求解工具。我们将详细讲解如何通过一系列行变换将增广矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形，从而系统地找出所有解，或者判断无解的情况。 在此过程中，我们还将学习秩的概念。矩阵的秩反映了其行向量空间和列向量空间的维数，与线性方程组解的个数直接相关。我们还将接触到可逆矩阵的概念。可逆矩阵如同方程组中的“1”，其逆矩阵能够“撤销”原矩阵的变换。可逆矩阵的性质以及判断一个矩阵是否可逆的方法也将得到详细介绍。 第三部分：行列式与特征值/特征向量 行列式是与方阵相关的一个重要标量值。我们将学习如何计算不同大小的方阵的行列式，从二阶、三阶到更高阶。行列式的几何意义非常丰富，例如，它表示了矩阵所对应的线性变换如何缩放体积。行列式的符号还能指示变换的方向。 更重要的是，我们将学习行列式与线性方程组解的关联，例如克拉默法则。然而，本书将更侧重于行列式在判断矩阵可逆性方面的作用，以及它在特征值计算中的应用。 特征值和特征向量是线性代数中极具深度的概念，它们揭示了矩阵在特定方向上的“不变性”。当我们对一个向量进行矩阵乘法变换时，如果该向量的方向不变，仅仅是长度发生了缩放，那么这个向量就是矩阵的一个特征向量，而缩放的比例就是对应的特征值。 特征值和特征向量在很多领域都有着举足轻重的地位。例如，在图像处理中，它们可以用来寻找图像的主成分；在物理学中，它们描述了系统的稳定性和振动模式；在机器学习中，它们是主成分分析（PCA）等降维技术的核心。我们将学习如何通过求解特征方程来计算一个矩阵的特征值和特征向量，并理解这些概念的几何和代数含义。 第四部分：线性变换与相似变换 在本部分，我们将把视角从静态的向量和矩阵，转向动态的线性变换。线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，它必须满足线性性质，即保持向量的加法和标量乘法。我们将学习如何用矩阵来表示线性变换，并将矩阵的运算与线性变换的复合联系起来。 相似变换是线性代数中的一个重要概念，它允许我们在不同的基下表示同一个线性变换。如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，意味着存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有许多相同的性质，例如相同的特征值。通过相似变换，我们可以将一个复杂的线性变换化简为一个更容易处理的形式，这对于理解和计算至关重要。 第五部分：内积空间与正交性 在前面的章节中，我们主要关注向量的线性关系。本部分将引入内积的概念，它为向量空间增加了“长度”和“角度”的度量。对于实向量空间，最常见的内积就是点积。我们将学习内积的性质，以及如何利用内积来定义向量的长度（范数）和两个向量之间的夹角。 正交性是内积空间中最重要、最强大的概念之一。如果两个向量的内积为零，我们称它们是正交的，这意味着它们在几何上是垂直的。正交基（一组相互正交的基向量）能够极大地简化许多计算，例如在坐标投影和傅里叶分析中。 我们将学习格拉姆-施密特正交化过程，这是一个系统地将任意一组线性无关向量转化为一组正交（或标准正交）向量的方法。正交矩阵是特殊的矩阵，它的列向量（和行向量）构成一个标准正交基，并且其逆矩阵等于其转置。正交变换是保持向量长度和角度的变换，在几何上对应于旋转和反射。 本书的应用导向： 除了理论的深入讲解，本书还将贯穿大量的应用示例，让读者看到线性代数在解决实际问题中的威力。这些应用将包括但不限于： 计算机图形学： 向量和矩阵在三维建模、图像变换（平移、旋转、缩放）中的应用。 数据科学与机器学习： 线性回归、主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等算法的基础。 工程领域： 电路分析、结构力学、信号处理等问题中的模型建立和求解。 经济学： 投入产出模型、计量经济学模型中的应用。 网络分析： 页面排序算法（如PageRank）的数学基础。 学习本书的预期收获： 通过系统学习本书，读者将能够： 1. 建立严谨的数学思维： 理解抽象概念，掌握逻辑推理，培养解决问题的能力。 2. 熟练掌握线性代数基本运算： 灵活运用向量、矩阵等工具进行计算。 3. 深刻理解核心概念： 融会贯通向量空间、线性变换、特征值等关键思想。 4. 具备初步的应用能力： 能够识别和建立线性代数模型来解决实际问题。 5. 为后续深入学习打下坚实基础： 为学习更高级的数学、计算机科学和工程学课程做好准备。 本书的编写风格力求清晰、准确且富有启发性。我们鼓励读者在学习过程中积极思考，动手实践，并通过大量的练习题来巩固所学知识。我们相信，通过本书的引导，您将能够真正领略到线性代数这门学科的魅力与力量。

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