应用数学（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:焦光利 编

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:2009-9

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787309067958

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• 应用数学
• 数学
• 高等教育
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• 理工科
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数值分析
• 数学分析

图书简介：《高等代数基础：矩阵与线性空间》 （注意：以下内容为一本假设的、与《应用数学（上册）》内容完全不相关的图书的详细简介，字数约1500字。） --- 导言：探索抽象的结构之美 《高等代数基础：矩阵与线性空间》是一部为理工科、经济学、计算机科学等需要坚实数学基础的学科学生精心编撰的教材。本书旨在引导读者深入理解线性代数这一现代数学的基石，从最直观的几何概念出发，逐步过渡到严谨的代数结构描述。我们深信，线性代数不仅是解决工程问题的工具箱，更是培养逻辑思维、抽象推理能力的核心训练场。 本书的编写遵循“由浅入深，理论与应用并重”的原则，力求在保持数学严谨性的同时，最大程度地降低初学者的理解门槛。通过大量的实例和清晰的图示，我们将复杂的概念拆解，使读者能够构建起坚实的线性代数知识体系。 --- 第一部分：矩阵的运算与几何意义（奠定计算基础） 本部分是全书的基石，重点在于熟悉矩阵这一核心对象，并掌握其基本运算规则及其在二维和三维空间中的几何解释。 第一章：数域、向量与初等变换 本章首先回顾了实数域与复数域的基础知识，为后续抽象向量空间做准备。接着，引入向量的概念，将其视为有序的数组，并在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中可视化向量的加法、数乘以及线性组合。随后，详细阐述初等行变换（行交换、行倍乘、行相加），并定义行阶梯形和最简行阶梯形。通过高斯消元法，我们演示了如何利用初等变换高效地求解线性方程组。本章的重点是建立“行变换”与“方程解集不变性”之间的深刻联系。 第二章：矩阵的基本运算与结构 本章系统地介绍了矩阵的定义、表示方式及其四种基本运算：加法、数乘、矩阵乘法和转置。矩阵乘法的非交换性是本章的难点和重点，我们通过分块矩阵和向量乘法的视角来深入剖析其意义。此外，我们探讨了矩阵的特殊类型，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵等。最后，引入矩阵的秩的概念，并证明了矩阵的秩等于其行空间的维数和列空间的维数。 第三章：矩阵的逆与行列式 求解线性方程组的另一种核心工具——矩阵的逆被引入。本章定义了可逆矩阵和伴随矩阵，并利用初等矩阵来刻画矩阵可逆的充要条件。 行列式的引入基于对面积和体积的推广。我们从二维三角形面积的行列式公式出发，逐步推广到 $n$ 阶行列式。本章详述了行列式的代数定义（莱布尼茨公式）和性质（如行列式与行/列的线性相关性），并着重讲解了拉普拉斯展开，以及如何利用行列式求逆矩阵（伴随矩阵法）。重点强调克拉默法则在理论分析中的应用。 第四章：线性方程组的解的结构 在掌握了矩阵运算和行列式之后，本章将目光聚焦于线性方程组 $AX=B$ 的完整解的结构。我们区分了齐次方程组和非齐次方程组。通过基本解系（零空间）和特解的概念，我们清晰地展示了非齐次方程组的通解是由一个特解与对应的齐次方程组的通解之和构成。本章最后讨论了在实际应用中（如网络流问题）如何利用此结构来寻找满足特定条件的解。 --- 第二部分：线性空间与线性变换（抽象化与几何洞察） 本部分是高等代数从计算走向理论深化的关键，它将矩阵运算提升到了更抽象、更普适的代数结构层面。 第五章：向量空间与子空间 本章是抽象化的开端。我们首次给出了向量空间（线性空间）的严格定义，不再局限于 $mathbb{R}^n$，而是涵盖了多项式空间、函数空间等。随后，定义了子空间，并探讨了子空间的基本运算（交集与和空间）。 基与维数的概念在本章中得到确立。我们通过构造基（线性无关的生成集）来描述向量空间的“自由度”，并引入维数这一核心度量。基的选取是任意的，但维数是固定的，本章将提供关于基变换的严格证明。 第六章：线性映射（线性变换） 线性映射是连接两个线性空间之间的“结构保持者”。本章定义了线性变换 $T: V o W$，并证明了线性映射的性质。我们将核空间（Kernel）和像空间（Image）作为核心概念，并推导出著名的秩-零化度定理：$ ext{rank}(T) + ext{nullity}(T) = dim(V)$。 本章的精髓在于建立矩阵与线性变换之间的同构关系：任何线性变换都可以通过选取合适的基，被表示为一个特定的矩阵（变换矩阵）。基的选择如何影响矩阵的表达形式，是理解后续特征值问题的关键。 第七章：基变换与相似性 本章深入探讨了在不同基下表示同一线性变换时矩阵之间的关系。引入相似矩阵的概念，定义了相似变换矩阵 $P$，使得 $B = P^{-1}AP$。相似关系保持了线性变换的本质性质，如秩、行列式和迹等。理解相似性是后续对矩阵进行对角化处理的理论前提。 --- 第三部分：特征值、特征向量与对角化（动力学与稳定性分析） 本部分是线性代数在工程和物理中应用最广泛的部分，它揭示了线性系统中内在的、不随坐标系选择而改变的“本质属性”。 第八章：特征值与特征向量 本章的核心任务是找到那些在特定线性变换下方向不发生改变的向量——特征向量。我们通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值 $lambda$。本章详细讲解了如何计算特征值和特征向量，并讨论了特征值与矩阵迹、行列式的关系。此外，本章还会介绍代数重数与几何重数的概念。 第九章：矩阵的对角化 对角化是线性代数中最强大的工具之一，它使得矩阵的幂运算、微分方程求解变得极其简单。本章的核心在于判断一个矩阵是否可以被对角化。我们证明了：一个 $n$ 阶矩阵可对角化的充要条件是它有 $n$ 个线性无关的特征向量。本章还探讨了实对称矩阵的特殊性质——它们总是可对角化的，这在傅里叶分析和优化理论中至关重要。 第十章：二次型与欧几里得空间 本章将线性代数应用到几何和优化问题中。首先，定义了二次型 $x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。我们利用特征值分解的原理，通过正交相似变换将二次型化为标准形，从而揭示二次曲面的几何性质。最后，本章引入正交基和欧几里得空间的概念，并详细讲解施密特正交化过程，为内积空间的理论打下基础。 --- 结语 《高等代数基础：矩阵与线性空间》通过严谨的数学推导和丰富的应用实例，构建了一座连接初等代数与现代数学的坚实桥梁。掌握本书内容，读者将不仅能够熟练运用矩阵求解复杂系统，更重要的是，能够以一种全新的、结构化的视角去理解和分析现实世界中的各种数学模型。本书为后续的数值分析、微分方程、控制论及机器学习等深入课程的学习奠定了不可或缺的理论基础。

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初次接触这套书时，我最大的担忧是它的难度，毕竟“应用数学”这个词汇本身就带着一丝高深莫测的味道。但阅读体验完全出乎我的意料。作者似乎深谙如何循序渐进地构建知识体系，他没有一开始就抛出复杂的微分方程或高维分析，而是从最基础的集合论和逻辑推理开始，如同砌砖匠一般，一块块地打牢地基。等进入到微积分部分时，你会发现那些原本感觉难以捉摸的极限和导数概念，在这里被赋予了清晰的几何意义和物理背景。我特别喜欢它对“数学建模”思想的培养，书中反复强调，任何模型都是对现实的简化和抽象，关键在于抓住主要矛盾。这一点，对于我这种需要将理论知识转化为实际解决方案的读者来说，简直是醍醐灌顶。书中的习题设计也体现了这种平衡：既有检验基本概念掌握程度的基础题，也有需要综合运用多个章节知识才能解决的综合大题，后者往往需要你跳出单一知识点的框架，进行宏观思考。总而言之，这本书的节奏掌握得非常好，它既保证了学术的严谨性，又兼顾了初学者的接受能力，成功地将“难啃的骨头”做成了有营养的佳肴。

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我必须得说，《应用数学（上册）》在方法论的探讨上达到了一个很高的水准。它不仅仅是教你“如何计算”，更重要的是教你“如何思考”。在处理偏微分方程的引入章节，我看到了作者对“边界条件”和“定解问题”的细致区分与强调。这种对问题的结构性分解能力，是应用数学中最宝贵的财富之一。作者通过对拉普拉斯方程的详细讨论，展示了如何将一个复杂的物理现象（如稳态温度分布）转化为一个数学模型，再通过特定工具求解，最后将解的有效性与物理意义进行验证。整个流程的示范非常清晰。这本书在工具箱的构建上也是面面俱到的，从基础的微积分工具集，到稍显进阶的数值分析技巧，无不详尽。我尤其欣赏它对数值方法的介绍，它没有停留在理论介绍层面，而是明确指出了计算机在处理这类问题时的局限性（如舍入误差和截断误差），并给出了相应的误差分析框架。这使得读者在未来使用软件进行计算时，能保有必要的批判性思维，而不是盲目信任机器的输出。这本书，确实配得上“上册”这个名字，它成功地为后续更深奥的探索奠定了一个不可动摇的基石。

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拿到这本《应用数学（上册）》的时候，首先被它厚实的装帧和略带陈旧感的封面设计所吸引。虽然内容是关于数学的，但它呈现出来的是一种沉稳而又不失活力的气息，仿佛这本书本身就蕴含着无数等待被揭示的数学世界。我翻开第一章，映入眼帘的是关于线性代数基础的讲解，作者的笔触非常细腻，从向量空间的基本定义到矩阵运算的推导，每一步都力求清晰明了。尤其是对于特征值和特征向量的阐述，不同于我过去接触的一些教材，这本书提供了一种更直观的几何解释，让我这个对抽象概念有些畏惧的人，也能迅速抓住核心思想。书中穿插的例题设计得非常巧妙，它们不仅仅是简单的计算练习，更多的是在引导你思考数学工具在实际问题中的应用场景。比如，在讲解矩阵对角化时，作者没有急于给出复杂公式，而是先用一个关于简谐振动的例子，将理论与物理现象紧密结合，这种叙事方式极大地激发了我的学习兴趣，让我感觉自己不是在啃枯燥的理论，而是在进行一场探索性的对话。整本书的排版也十分友好，公式与文字的间距适中，注释详尽，即便是深夜阅读，眼睛也不会感到过分疲劳。这本书无疑是为那些渴望深入理解应用数学本质的读者量身定做的一块基石。

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这本书的装帧和内容组织方式，体现了一种老派而又扎实的学术作风。它的文字风格非常沉稳、客观，没有丝毫浮夸的修饰词，每一个句子都像是经过反复锤炼的定理陈述，精准而有力。在涉及高等数学的理论证明时，作者坚持了欧几里得式的严密逻辑，推导过程一气呵成，让人不得不佩服其深厚的功底。然而，这种严谨性并未导致阅读的枯燥，因为在理论的间隙，作者总能恰到好处地穿插一些历史背景或数学家的趣闻轶事，这些“花絮”不仅放松了读者的神经，更深层次地揭示了某些数学分支形成的历史必然性。比如，讲解傅里叶分析时，书中提及了其起源于对热传导问题的研究，这立刻将一个纯粹的数学概念拉回到了具体的物理世界中，极大地增强了知识的可记忆性和粘性。此外，书中引用的参考书目也非常丰富和权威，对于希望进一步钻研特定领域的人来说，这本书无疑提供了一个绝佳的“瞭望台”。它不是终点，而是通往更广阔数学海洋的可靠指南针。

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这本书给我的震撼感，来自于它对“应用”二字的深刻理解和贯彻。我过去读过的很多数学书，往往将理论讲得天花乱坠，但一到实际应用环节就戛然而止，让人总觉得知识是漂浮在空中的。然而，《应用数学（上册）》完全不同，它似乎时刻在提醒你：数学是为解决真实世界问题服务的。例如，在概率论和数理统计部分，作者引入了大量的金融建模和工程优化案例。我特别欣赏他对贝叶斯方法的处理，不仅仅停留在公式推导上，而是通过一个复杂的风险评估实例，展示了先验知识如何有效地修正后续的观测结果，这种动态的思维方式让我受益匪浅。更难能可贵的是，书中对一些经典算法的剖析，比如数值积分和迭代方法的收敛性分析，都做得非常到位。它没有简单地告诉你“应该用什么方法”，而是深入挖掘了不同方法背后的优缺点和适用范围，这对于我未来进行算法选择和优化至关重要。阅读过程中，我时常需要拿起笔在草稿纸上跟着演算，因为作者的推导过程逻辑链条严密，每一步都充满了“为什么”的答案。这本书与其说是一本教科书，不如说是一位经验丰富的导师，耐心而又坚定地引导你跨越理论与实践之间的鸿沟。

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