A Survey of Numerical Mathematics, Vol. 2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:David M. Young

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988-08-01

价格:USD 16.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486656922

丛书系列:

图书标签:

• 数值数学
• 数值分析
• 科学计算
• 数学
• 应用数学
• 算法
• 计算方法
• 高等教育
• 工程数学
• 数学建模

《数学分析的精妙世界：从实数到复数，从收敛到迭代》 本书旨在为读者构建一个严谨而全面的数学分析理论框架，深入探讨支撑现代科学与工程计算基石的那些核心概念与方法。我们不仅着眼于理论的完备性，更注重其在解决实际问题中的应用潜力，力图在抽象的数学符号与生动的应用场景之间架起一座坚实的桥梁。 第一部分：实数域的基石——严谨的分析起点 我们从实数系的完备性出发，这是整个数学分析体系得以建立的坚实基础。通过对戴德金分割、柯西序列等概念的深入剖析，读者将深刻理解实数线为何能够容纳所有有理数和无理数，为何能够进行无限细分而不产生“缝隙”。在此基础上，我们详细阐述了数列与级数的收敛性判别方法，包括但不限于： 极限的 epsilon-delta 定义： 这是理解和证明收敛性的核心工具。我们将通过大量的实例，从直观的几何意义到严谨的逻辑推导，帮助读者掌握这一抽象概念，并学会运用它来证明各种重要的极限性质。 单调有界定理： 这一定理是判断数列收敛性的有力武器，我们将探讨其内在逻辑，并通过求解若干经典的单调数列求极限问题来加深理解。 柯西收敛准则： 这一准则将收敛性问题转化为内部性条件，极大地简化了许多证明的复杂度，尤其是在处理级数和更一般序列时。 级数的敛散性判别： 我们将系统介绍正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及任意项级数的莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛的概念。这些工具是分析复杂级数行为的必备利器。 幂级数与泰勒展开： 幂级数是函数研究的强大工具，其局部逼近能力使得我们可以将复杂的函数转化为简单的多项式形式。我们将详细讲解泰勒公式的构造原理、余项的各种形式（如皮亚诺余项、拉格朗日余项、柯西余项），以及如何利用泰勒展开来计算极限、判断函数性态。 第二部分：函数世界的多彩图景——连续性、微分与积分 在确立了实数域的分析基础后，我们将视野转向函数，探索它们在实数域上的行为。 函数的连续性： 从点的连续性到一致连续性，我们将层层递进，揭示函数行为的平滑性。我们将深入研究连续函数的性质，例如有界性、介值定理、极值定理，理解这些性质对于函数分析的重要性。 微分学： 微分是描述函数瞬时变化率的工具，是理解函数局部行为的关键。我们将详细讲解导数的定义、求导法则，以及高阶导数。在此基础上，我们将深入探讨微分学在优化问题中的应用，包括： 洛必达法则： 用于解决未定式极限的强大工具，我们将分析其适用条件和具体应用。 泰勒公式的应用： 除了函数逼近，泰勒公式还能用于分析函数的极值、拐点，以及函数的局部形状。 微分中值定理： 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是理解导数与函数整体性质之间联系的桥梁。 积分学： 积分是描述函数累积效应的工具，是计算面积、体积、功等物理量的基础。我们将深入讲解黎曼积分的定义、性质，以及不定积分与定积分之间的关系。 牛顿-莱布尼茨公式： 这是连接微分和积分的根本定理，我们将详细阐述其证明及应用。 积分的计算技巧： 包括换元积分法、分部积分法、以及一些特殊函数的积分方法。 反常积分： 我们将探讨积分区间或被积函数出现奇异点时的积分概念，以及相应的敛散性判别方法。 第三部分：多变量分析的广阔天地——从向量到流形 将分析的视角从一维拓展到多维，是理解更复杂数学对象和物理现象的必然要求。 多变量函数的极限与连续性： 引入多重积分的几何直观，探讨多变量函数在点和区域上的行为，理解路径依赖性以及方向导数和梯度等概念。 多变量函数的微分： 偏导数、全微分、方向导数、梯度、Hessian 矩阵等工具将帮助我们理解函数在多维空间中的局部变化。我们将重点研究： 多元函数泰勒展开： 将一元函数中的泰勒公式推广到多维空间，用于函数的局部逼近和性态分析。 隐函数定理与反函数定理： 这是处理方程组和变量代换的关键工具，对于理解多变量函数的映射关系至关重要。 极值问题： 如何利用偏导数和Hessian矩阵来寻找多变量函数的局部极值点，以及拉格朗日乘数法在条件极值问题中的应用。 多重积分： 从二重积分到三重积分，我们将在不同维度上进行“累积”。我们将详细讲解： 重积分的计算： 包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。 面积元与体积元： 理解积分在几何度量中的作用。 重积分的变量替换： 雅可比行列式在多重积分变量替换中的作用。 格林公式、高斯公式（散度定理）、斯托克斯公式： 这些是联系不同维度积分的“微积分基本定理”的推广，在物理学和工程学中有极其广泛的应用。它们将线积分、面积分和体积分联系起来，揭示了向量场在不同维度上的积分性质。 第四部分：序列与函数的极限——更深层次的收敛性分析 在掌握了基本分析工具之后，我们将进一步深入探讨序列和函数的极限，特别关注其在无限过程中的行为。 一致收敛： 与逐点收敛相比，一致收敛是一个更强的收敛概念，它保证了在整个定义域上函数的“同步”逼近，从而使得逐项求极限、积分、微分等操作的顺序可以被交换。我们将通过大量实例，展示一致收敛的威力，以及它在分析函数序列性质（如极限函数的连续性、可积性、可微性）时的关键作用。 傅里叶级数： 这是将周期函数分解为三角函数之和的强大方法。我们将详细介绍傅里叶级数的构造，探讨其收敛性（如逐点收敛、一致收敛、L²收敛），以及其在信号处理、偏微分方程等领域的广泛应用。 积分变换： 拉普拉斯变换、傅里叶变换等积分变换方法，能够将复杂的时域或空间域问题转化为更易于处理的频域或复频域问题。我们将介绍这些变换的基本性质、逆变换，以及它们在求解微分方程、系统分析等方面的应用。 第五部分：数值分析的基础——近似计算的艺术 理解了分析的理论基础后，我们将转向如何用计算的方法来解决实际问题。 方程求根： 二分法、牛顿迭代法、割线法等多种方法将被详细讲解，并分析它们的收敛速度和适用范围。我们将探讨迭代法的基本原理，以及误差分析的重要性。 插值法： 如何用已知的离散数据点构造一个函数，以近似描述原始函数。我们将介绍多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值）、样条插值等方法，并分析它们的优缺点。 数值积分： 当解析积分难以求解时，数值积分成为必然选择。我们将探讨梯形法则、辛普森法则等方法，分析它们的精度以及如何通过增加节点数量来提高精度。 数值微分： 如何利用离散数据点来近似计算导数，并探讨其误差来源。 本书的编写力求严谨而不失清晰，理论与实践并重。我们相信，通过对本书内容的学习，读者将能够深刻理解数学分析的精妙之处，掌握分析工具的应用技巧，并为进一步探索更高级的数学领域和解决复杂的科学工程问题打下坚实的基础。

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