Sieve Methods, Exponential Sums, and their Applications in Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Greaves, G. R. H.; Greaves, G. R. H.; Harman, G.

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:1997-1

价格:$ 103.96

装帧:

isbn号码:9780521589574

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 筛法
• 指数和
• 解析数论
• 代数数论
• 素数分布
• 算术函数
• 丢番图逼近
• 模形式
• L函数

筛法、指数和及其在数论中的应用 这本著作深入探讨了数论中两大核心工具——筛法和指数和——的理论及其广泛的应用。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理解，使他们能够掌握这些强大的技术，并将其应用于解决各类数论难题。 第一部分：筛法的理论基础与发展 筛法是数论中最古老也是最深刻的工具之一，其核心思想是通过排除不满足特定性质的数来研究具有某种性质的数的分布。本部分将从最基本的概念出发，逐步揭示筛法的发展历程和各种精妙的变体。 古典筛法（如埃拉托斯特尼筛法）： 我们将从筛法的鼻祖——埃拉托斯特尼筛法讲起，理解其基本原理：筛选出素数的思想。在此基础上，我们将介绍更普遍化的思想，即如何筛去具有某种“可加性”性质的整数。 Sieve of Brun（布伦筛法）： 布伦筛法是筛法理论上的一个重要里程碑。本书将详细阐述其原理，特别是如何利用偶数对来估计素数对的数量，以及布伦常数是如何由此产生的。我们将深入分析其优缺点，以及它在解决“小于 N 的素数对有多少？”这类问题上的贡献。 Sieve of Selberg（塞尔伯格筛法）： 塞尔伯格筛法是二十世纪筛法理论最杰出的成就之一。本书将系统介绍塞尔伯格筛法的核心思想，即如何构建一个“上界”函数来估计目标集合的大小，而不是像早期筛法那样直接“排除”。我们将详细分析其权重函数的设计、均值估计以及通过解析方法（如复分析中的留数定理）来获得精细的渐近公式。 General Sieve Methods（广义筛法）： 除了上述经典的筛法，本书还将介绍更具普遍性的筛法框架，如“下界筛法”和“上界筛法”。我们将讨论这些框架如何统一处理各种筛法，并介绍一些更现代的筛法技术，例如“加权筛法”和“偶数筛法”等，这些技术在处理更复杂的问题时尤为有效。 Bombieri-Vinogradov Theorem and its Variants（Bombieri-Vinogradov定理及其变体）： Bombieri-Vinogradov定理是筛法理论在解析数论中应用的典范。本书将深入探讨该定理的内容，它在估计素数在等差数列中的分布方面起着至关重要的作用。我们还将介绍该定理的一些重要变体，例如在偶数和上的应用，以及其在Dirichlet L-函数均值方面的意义。 第二部分：指数和的理论与计算 指数和是数论中另一类极其重要的工具，它们涉及将复指数函数在数论集合上进行求和。指数和的估计往往能够揭示数论对象的隐藏结构和分布规律。 基本概念与性质： 本部分将从指数和的基本定义出发，介绍其在数论中的常见形式，例如 $ sum_{n=1}^{N} e^{2pi i f(n)} $ 形式的求和。我们将探讨指数和的基本性质，如周期性、线性性质以及与傅里叶分析的联系。 Weyl's Inequality and Van der Corput's Method（Weyl不等式与Van der Corput方法）： Weyl不等式是处理多项式指数和的重要工具。本书将详细阐述Weyl不等式的证明及其应用，并介绍Van der Corput方法，该方法通过对指数和进行多次求导和积分，将其转化为更易于处理的形式，从而得到其大小的估计。 Gauss Sums（高斯和）： 高斯和是指数和中最基本也是最重要的一类。本书将深入研究高斯和的定义、计算及其在数论中的关键作用，例如在二次互反律、二次域理论以及代数数论中的应用。我们将分析不同模下的高斯和的性质，以及它们与特征函数的关系。 Character Sums and their Estimates（特征和及其估计）： 特征和在数论中扮演着核心角色，它们是研究素数分布、L-函数性质以及丢番图方程的重要工具。本书将系统介绍Dirichlet特征、Jacobi和等概念，并重点阐述其各种估计方法，例如Weil's bound（Weil界）、Burgess inequality（Burgess不等式）以及Vinogradov's method（Vinogradov方法）等。 Exponential Sums over Finite Fields（有限域上的指数和）： 有限域上的指数和在代数几何和编码理论等领域具有重要应用。本书将介绍有限域上的指数和的定义，并展示如何利用代数几何的工具（如代数簇的Hodge理论）来估计这些指数和，从而得到关于方程解的数量的精确结果。 第三部分：筛法与指数和的综合应用 本书的第三部分将重点展示如何将筛法和指数和这两种强大的工具结合起来，解决数论中的一系列难题。我们将通过具体的例子来演示它们的协同效应。 素数定理的解析证明： 尽管素数定理已有初等证明，但其解析证明是解析数论的基石。本书将展示如何结合黎曼zeta函数的性质和指数和的估计来完成素数定理的证明，并探讨更精细的渐近公式。 Waring's Problem（Waring问题）： Waring问题是研究将一个正整数表示为固定个数的 $ k $ 次幂之和的问题。本书将介绍如何利用筛法和指数和的组合来估计表示函数的渐近行为，并讨论G. H. Hardy和J. E. Littlewood的圆法（Circle Method），这是一种将指数和和圆积分技巧结合的强大方法。 Goldbach's Conjecture and Twin Prime Conjecture（哥德巴赫猜想与孪生素数猜想）： 这两个著名的未解猜想是数论研究的圣杯。本书将介绍前人如何尝试利用筛法和指数和来逼近这些猜想，例如，陈景润证明了“1+2”的哥德巴赫定理，以及筛法在估计素数对分布方面的进展。我们将探讨当前的研究前沿和面临的挑战。 Distribution of Primes in Short Intervals（短区间内素数的分布）： 研究短区间内素数的分布比研究任意区间内素数的分布要困难得多。本书将展示如何利用改进的筛法和精细的指数和估计来处理这类问题，例如，陈氏界（Chen's bound）和Goldston-Pintz-Yıldırım的研究。 Analytic Number Theory and Related Fields（解析数论及相关领域）： 除了上述经典问题，本书还将触及筛法和指数和在其他数论分支中的应用，例如，丢番图方程的解的估计、L-函数的零点分布、以及在算术组合（Arithmetic Combinatorics）等新兴领域的联系。 本书特色： 理论与应用并重： 本书不仅深入讲解筛法和指数和的理论基础，更注重展示它们在解决实际数论问题中的强大威力。 循序渐进的讲解： 从基础概念到复杂定理，本书的结构清晰，层层递进，适合不同水平的读者。 精选的参考文献： 文末附有详尽的参考文献列表，方便读者进一步查阅相关文献。 严谨的数学证明： 所有定理和引理都附有严谨的数学证明，帮助读者深入理解数学思想。 通过学习本书，读者将能够熟练掌握筛法和指数和这两个核心工具，并为进一步深入研究数论的各个分支打下坚实的基础。本书是数论研究者、研究生以及对数论有浓厚兴趣的数学爱好者的宝贵参考。

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