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出版者:

作者:Li, Huishi; Gras, Georges; Gras, G.

出品人:

页数:492

译者:

出版时间:

价格:1328.00元

装帧:

isbn号码:9783540441335

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 代数数论
• 类域论
• 伽罗瓦理论
• 代数
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 域论
• 算术几何

《范畴论入门：结构、函子与自然变换》 本书旨在为初学者提供一个全面而深入的范畴论入门。范畴论作为现代数学的通用语言，为理解各种数学结构之间的深刻联系提供了一种强有力的方式。它抽象地研究对象集合及其间的态射（映射），揭示了不同数学分支（如代数、拓扑、逻辑和计算机科学）背后统一的结构和原理。 本书从最基础的概念出发，逐步构建起完整的范畴论框架。首先，我们将定义范畴、对象、态射、恒等态射以及态射的复合，并通过大量的实例来巩固理解，这些实例将涵盖集合论范畴、群范畴、拓扑空间范畴等。接着，我们将引入函子（functor）的概念，它是在不同范畴之间建立联系的“映射”。我们不仅会讨论协变函子和逆变函子，还会通过具体例子展示它们在代数拓扑中的应用，例如基本群函子。 自然变换（natural transformation）是连接两个函子之间的“态射”，是范畴论中进一步抽象的关键。本书将详细阐述自然变换的定义，并通过具体的例子，如集合范畴中不同描述同构的方式，来展示其自然性和重要性。我们将探讨自然同构（natural isomorphism）以及它在代数结构中的等价性判断中的作用。 本书的另一核心内容是关于范畴中的极限（limits）和余极限（colimits）。极限的概念可以看作是某种意义上的“叉积”（product）的推广，而余极限则是“并集”（coproduct）的推广。我们将详细讲解二进积、二进余积、等化子、协等化子等基本极限和余极限，并讨论它们在群论、环论以及拓扑学中的具体体现。通过这些工具，我们可以更精确地描述和构造数学对象。 此外，本书还将深入探讨积范畴（product category）和余积范畴（coproduct category）的概念，以及它们与对象积和余积之间的关系。我们还将介绍范畴的积和余积，这为在范畴层面进行组合提供了强大的工具。 为了更好地理解抽象概念，本书将融入大量来自不同数学领域的例子。例如，我们将展示如何用范畴论的语言来描述同态、同构、子对象、商对象等概念。在代数领域，我们将探讨自由群、张量积等概念如何通过范畴的构造来理解。在拓扑领域，我们将看到上链复形（chain complexes）和链复形（cochain complexes）如何构成一个范畴，以及函子如何在拓扑不变量的计算中发挥作用。 本书还专门辟出章节来介绍一些重要的构造，如幂对象（power object）、指数对象（exponential object）和粘合子（pullback）、粘合子（pushout）。这些构造在逻辑和集合论中有重要的应用，它们提供了构建更复杂数学结构的基本砖石。 最后，为了帮助读者掌握范畴论的思维方式，本书包含了大量的习题，这些习题旨在巩固理论知识，并引导读者独立思考和解决问题。通过循序渐进的练习，读者将能够逐步熟悉范畴论的语言和方法，并能够将其应用到自己的研究领域中。 本书适合数学专业本科生、研究生以及任何对数学结构之间的统一性和深刻联系感兴趣的研究人员。无论您的背景是代数、几何、拓扑还是逻辑，本书都将为您提供一个强大而优雅的分析工具。我们相信，通过学习范畴论，您将能够以一种全新的视角来审视和理解您所熟悉的数学领域。

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这本书的“手感”和实体质量也值得一提。作为一本如此专业的数学著作，纸张的选择、装订的坚固程度，都反映了出版方对学术作品应有品质的尊重。书脊在多次翻阅后依然平整，内页的印刷墨色浓郁而不反光，即使在长时间的阅读后，眼睛的疲劳感也相对较轻。对于一个常常需要长时间伏案工作的数学学习者来说，这是非常重要的细节。而且，书中附带的索引设计得非常人性化，涵盖了罕见符号和关键定理的名称，这使得在回顾特定概念时，查找效率大大提高。我常常发现自己在阅读其他相关文献时，会习惯性地回到这本书的某个章节去验证一个模糊的定义或证明细节。它不仅仅是一本教材，更像是一个可靠的、随时待命的参考工具书。总而言之，这本书在内容的深度和外在的制作工艺上，都达到了一个极高的水准，是代数数论领域内不可多得的佳作，值得每一个严肃对待该领域的学习者和研究者珍藏。

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阅读这本书的过程，简直就像是攀登一座信息密度极高的知识高峰，每一步都需要全神贯注，但每征服一个小平台，视野就会豁然开朗。我发现，与其他某些过于侧重于构造而忽略了内在动机的教材不同，作者花了大量的笔墨去阐述“为什么”需要类域论，以及它在解决哪些历史遗留问题中扮演了关键角色。比如，对于局部类域论的介绍，那种从有限阿贝尔扩张的结构出发，逐步过渡到全局构造的逻辑链条，自然而然地让人信服。我尤其对书中关于赫克代数（Hasse invariants）的描述印象深刻，它并非简单地罗列性质，而是深入剖析了这些代数结构如何反映了底层数域的拓扑特性。书中的习题设计也很有层次感，初期的练习旨在巩固基础定义，而越往后，习题的难度和深度便急剧增加，很多甚至需要读者自行去探索一些未曾明确提及的引理的应用。这迫使我不得不经常停下来，合上书本，在草稿纸上反复演算，体会那种“挣扎”后豁然开朗的巨大满足感。这本书无疑更适合那些已经对初等代数数论有扎实基础，并准备向更深层次研究迈进的读者。

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这本《Class field theory》的封面设计，第一眼就给我一种深邃而又严谨的学术气息。米白色的底色上，烫金的字体犹如星辰般闪烁，简洁却极富内涵。我是在一个偶然的机会接触到这本书的，当时正在深入研究代数数论的某些分支，对域扩张与伽罗瓦群之间的精妙联系感到困惑。拿到书后，我迫不及待地翻阅了目录，那清晰的章节划分，从基本概念的回顾到最核心的类域论主体，再到后期的拓展应用，结构布局堪称教科书级别的典范。我特别欣赏作者在引言部分对整部理论历史脉络的梳理，那种对先驱者智慧的尊重，使得阅读过程不仅仅是知识的获取，更像是一场与数学史上巨匠的对话。书中的排版也极为考究，数学公式的渲染效果清晰锐利，逻辑推导的每一步都如同建筑师精心绘制的蓝图，让人在阅读复杂的证明时，也能感受到一种几何般的美感和确定性。尽管主题的艰深性毋庸置疑，但作者似乎深谙“慢工出细活”的道理，总能在关键转折点辅以恰到好处的直觉性解释，帮助读者搭建起抽象概念之间的桥梁。

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我尝试从一个偏向应用和历史视角的读者的角度来审视这本书。虽然类域论本身是纯粹的代数理论，但它与数论中一些最古老、最棘手的问题紧密相连，例如费马大定理的某些推广、二次型的整值表示等等。遗憾的是，这本书将焦点完全锁定在了理论本身的结构性发展上，对于这些宏大的历史背景和最终的数论应用，涉及得相对较少。它更像是一本聚焦于“工具制造”的详尽手册，而非“工具应用”的案例集。如果你期待看到如何运用Artin互易律去解决某个具体的数论方程，你可能需要查阅其他文献。然而，从另一方面看，这种专注也赋予了这本书无与伦比的深度。它构建了一个自洽且宏大的理论框架，清晰地勾勒出整个数论知识体系中至关重要的一环。在我看来，这本书的价值在于，它提供了一个极其坚固的地基，让读者能够真正理解为什么后来的L函数理论和模形式能够建立在这样一个代数基础上。它没有回避理论的“骨架”，而是将其刻画得淋漓尽致。

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我对这本书的评价，必须从其语言的精确性和论述的严密性这两个维度来展开。在许多高等数学著作中，我们常常遇到一些模糊不清的描述，让读者在“猜想”作者意图上浪费大量时间，但这本《Class field theory》几乎完全避免了这种情况。作者使用的术语，每一个都经过了精心的挑选和定义，一旦一个概念被引入，其后续的用法便始终如一，体现了极高的学术规范。我记得在处理如最大阿贝尔扩张的正则性判别时，书中对规范群（Norm Group）的构造描述，详尽到令人叹为观止。它不仅仅给出了一个形式化的构造，还反复地论证了这种构造的唯一性和对基本代数结构的保持性。对于追求完美逻辑结构的研究人员来说，这种“不容置疑”的叙述方式，提供了极大的阅读安全感。虽然这种严谨性也意味着它对读者的背景知识要求颇高，但对于想要精通该领域的专业人士而言，这种几乎没有瑕疵的逻辑结构，正是其最宝贵的价值所在。它不是一本用来“浏览”的书，而是一部需要被“啃食”和“消化”的经典。

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