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出版者:American Mathematical Society

作者:A. Polishchuk

出品人:

页数:159

译者:

出版时间:2005-11-30

价格:GBP 36.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780821838341

丛书系列:University Lecture Series

图书标签:

• 代数
• 二次形式
• 结合代数
• 域论
• 代数几何
• 表示论
• K-理论
• 层论
• 模论
• 交换代数

《二次代数》：探索抽象代数的核心概念与结构 《二次代数》是一本深入探讨数学抽象代数领域中一个核心分支的著作。本书旨在为读者提供对二次代数结构及其相关概念的全面而深刻的理解，从基础定义出发，逐步推进至更复杂的理论和应用。本书适合数学专业学生、研究人员以及对抽象代数理论感兴趣的任何读者。 内容概述： 本书的结构设计旨在层层递进，确保读者在掌握基础知识后，能够顺利理解更高级的主题。 第一部分：基础概念与结构 代数的引入： 本部分首先回顾或介绍必要的集合论基础和群论的初步概念，为后续代数结构的讨论奠定基础。我们将定义什么是代数结构，包括集合、运算以及满足特定公理的性质。 向量空间的初步探讨： 在进入二次代数之前，理解向量空间是至关重要的。本章将回顾向量空间的基本定义，如线性组合、子空间、基和维度等。我们将强调向量空间作为研究代数结构的重要载体。 二次形式的定义与性质： 这是本书的核心起点。我们将严格定义二次形式，并探讨其基本性质，例如双线性形式的关联。我们将展示如何通过矩阵表示二次形式，并分析其标准型、秩和符号等重要特征。 二次代数的初步定义： 在理解了二次形式之后，我们将正式引入二次代数的概念。我们将定义一个二次代数如何由一个域上的向量空间和一个特定的二次型构成。我们将讨论其基本运算和封闭性。 第二部分：二次代数的分类与结构理论 不同类型的二次代数： 本部分将深入研究不同类型的二次代数，根据其底层的二次形式的不同，我们将探讨例如对称二次代数、反对称二次代数等。我们将分析它们的特定属性和结构特征。 二次代数的同构与表示： 理解代数结构的一种重要方式是研究它们的同构。本章将探讨二次代数的同构定理，以及如何用矩阵来表示二次代数中的元素和运算。我们将分析不同表示之间的联系。 二次代数的理想与商代数： 类似于群和环中的理想概念，本章将引入二次代数中的理想，并讨论商代数的构造。这将有助于我们理解二次代数的结构分解和更小的组成部分。 二次代数与泊松代数的关系： 本部分将揭示二次代数与泊松代数之间的深刻联系。我们将探讨如何从二次代数中构造泊松代数，以及反之亦然。这将为理解更广泛的代数结构提供视角。 第三部分：二次代数的进阶理论与应用 二次代数的分类定理： 本章将呈现二次代数的重要分类定理，阐述在特定条件下，二次代数可以被分解或归约为更简单的形式。这将为理解二次代数的普适性提供框架。 与李代数和李群的联系： 本部分将深入探讨二次代数与李代数以及李群之间的相互关系。我们将研究二次代数如何生成或嵌入到李代数结构中，以及这种联系在李群理论中的应用。 二次代数在几何中的应用： 本章将展示二次代数在几何学中的实际应用，例如在二次曲面、张量分析以及微分几何等领域。我们将通过具体的例子说明其几何解释。 二次代数在物理学中的应用： 本部分将探讨二次代数在理论物理学中的作用，尤其是在量子力学、场论以及弦论等前沿领域。我们将介绍相关的物理模型和方程，展示数学抽象如何服务于物理现象的描述。 计算方法与算法： 为了更好地实践二次代数理论，本章将介绍一些常用的计算方法和算法，例如如何计算二次形式的标准型，以及如何在计算机上实现二次代数的运算。 本书特色： 严谨的数学表述： 本书遵循严格的数学定义和证明规范，确保理论的准确性和可靠性。 清晰的逻辑结构： 内容组织条理清晰，从基础到高级，循序渐进，便于读者理解。 丰富的例证： 书中穿插了大量的例子，帮助读者具体理解抽象概念。 拓展性思考： 每章末尾可能包含思考题或练习题，鼓励读者深入思考和拓展。 《二次代数》是一本对抽象代数有深度探究的书籍，它不仅能够帮助读者掌握二次代数的核心理论，更能激发其对数学更广泛领域的探索兴趣。无论您是初学者还是有一定基础的研究者，都能从中获益良多。

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我花了相当长的时间去消化第一章的内容，坦率地说，这里的深度和广度远超我最初的预期。作者并没有采用那种填鸭式的教学方法，而是更倾向于构建一个完整的思维框架。例如，在讨论到某个特定的结构变换时，书中没有直接抛出复杂的公式，而是先通过一个巧妙的、与实际问题相关的例子进行铺垫，让读者能够在具体的语境中理解抽象概念的意义。这种叙事手法极大地降低了初学者的门槛，同时也保证了资深研究者也能从中找到新的视角。我特别欣赏作者在脚注中引用的那些晦涩但极具启发性的参考文献，这为我后续进行更深入的文献调研指明了方向。此外，书中对证明的呈现方式也颇具匠心，一些关键的定理往往会给出不止一种证明路径，这不仅仅是展示数学技巧的多样性，更是在潜移默化中训练读者的批判性思维和解题的灵活性。这本书要求读者必须投入时间去“思考”而不是简单地“记忆”，这在当前快餐式的知识获取环境中，显得尤为珍贵。

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从结构上看，本书的编排逻辑呈现出一种螺旋上升的态势，新的章节并非完全独立，而是建立在先前章节的知识基础之上，但又引入了全新的视角和工具。这种结构安排使得知识的积累非常牢固，不容易出现“学了后面忘了前面”的情况。例如，在介绍完一种高级的张量分解方法后，作者立刻将其回溯到第一章讨论的基础向量空间的概念，展示了底层原理如何支撑起上层的复杂架构。这种不断参照和巩固的学习路径，极大地提升了学习效率。更值得一提的是，书末的总结部分，没有简单地重复内容，而是提供了一个宏观的“路线图”，指导读者如何将书中所学的知识迁移到更广阔的数学分支，比如代数拓扑或者表示论中去。这充分体现了作者的大家风范，他不仅是知识的传授者，更是学习路径的规划者，引导我们看到这片知识海洋的无限可能性。这本书的价值，绝不仅仅停留在书页的油墨之上，更在于它为后续的学术探索提供了坚实的跳板。

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这本书的行文风格是那种老派的、精确到位的学术写作，每一个词的选择都像是经过了深思熟虑，确保没有歧义。对于追求严谨性的读者来说，这无疑是最好的品质。然而，也正因为这种极致的精确性，使得某些段落的阅读速度不得不放慢。我常常需要停下来，对照图表或回顾前几页的内容，才能完全把握作者想要表达的细微差别。这也许是专业领域书籍的通病，但这本书的处理方式相对而言已经非常人性化了。相比于那些只有冰冷公式堆砌的著作，作者在关键转折点会加入一些简短的、解释性的文字，帮助我们理解“为什么我们现在要转向这个方向”。这种对阅读体验的体贴，使得即便是在面对高难度的概念时，读者也不会感到完全的迷失和挫败。可以说，这本书是为那些愿意投入时间和精力去品味数学之美的读者量身定做的。

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这本书在深入探讨理论的同时，对实际应用的关注也令人印象深刻。虽然核心内容是偏向纯数学的，但作者巧妙地将理论与现代计算方法和编码理论等领域进行了交叉对比。我记得有一节专门讲解了如何利用所学的代数工具来优化某种矩阵运算的效率，这种理论与实践的紧密结合，让我对这门学科的实用价值有了更直观的认识。很多教科书往往在“为什么学”和“怎么用”之间存在一道鸿沟，而这本著作成功地将二者编织在一起。书中提供的习题设计也体现了这一点，它们不仅仅是重复公式推导的练习，很多都是小型研究问题，需要读者综合运用前面学到的多个概念才能得出满意解答。完成这些习题的过程，与其说是考试，不如说是一场小型的、自主的探索之旅。这对于培养能够独立解决问题的研究人员来说，是至关重要的训练。我感觉自己不仅仅是在学习一个知识体系，更是在学习一种解决问题的科学态度。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面的几何图案和色彩搭配透露出一种既现代又严谨的气息，让人不禁对手中的内容充满了期待。拿到书的时候，首先被它扎实的纸张和清晰的印刷质量所吸引，这对于一本需要长时间阅读和反复翻阅的专业书籍来说，无疑是一个巨大的加分项。翻开目录，我看到对基础概念的梳理非常到位，从线性代数的基石开始，逐步过渡到更抽象的代数结构，这种循序渐进的引导方式，对于我这种需要重新巩固基础知识的读者来说，简直是福音。作者在引言部分花费了不少笔墨，详细阐述了这套理论体系的内在逻辑和它在现代数学，乃至物理学中的重要地位，这不仅为后续的学习铺设了坚实的地基，更重要的是，它激发了我深入探究的兴趣。特别是关于某些经典代数结构的重新审视，那些原本感觉模糊不清的概念，在作者的笔下变得条理分明，脉络清晰，让人有种豁然开朗的感觉。整体而言，这本书在视觉和触觉上都提供了极佳的阅读体验，体现了出版方对学术质量的尊重。

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