Calculs of Variations， II pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan;

出品人:

页数:688

译者:

出版时间:

价格:2159.00元

装帧:

isbn号码:9783540579618

丛书系列:

图书标签:

• 变分法
• 微积分
• 数学分析
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 优化
• 应用数学
• 高等数学
• 数学物理
• 理论数学

《变分法（二）》 本书是《变分法》系列的第二卷，将深入探索变分法这一数学分支的核心概念与高级应用。作为前一卷的自然延伸，本书旨在为读者提供更广阔的视野和更精深的理论工具，以应对更为复杂和前沿的数学物理问题。 核心主题与结构： 本书将围绕以下几个关键领域展开： 更广泛的积分型泛函： 在前一卷的基础上，我们将探讨形式更为复杂的积分型泛函，例如涉及高阶导数、参数依赖以及多元函数的泛函。这需要引入更强大的变分技术，包括多重积分的变分原理和更为一般的拉格朗日量表示法。我们将详细分析这些泛函的欧拉-拉格朗日方程的推导和性质。 边界条件的多样性： 除了固定的边界条件，本书将着重讨论混合边界条件、齐次边界条件以及涉及导数的诺依曼边界条件。我们将深入分析不同边界条件对泛函极值解的影响，并介绍求解这类问题的系统性方法，如使用拉格朗日乘子法或直接变分法。 约束条件下的变分问题： 许多实际问题并非孤立地寻求泛函的极值，而是需要满足一系列的约束条件。本书将系统地介绍处理约束变分问题的理论框架，包括： 等式约束： 引入拉格朗日乘子法，详尽解析其理论基础、求解步骤以及在几何和物理问题中的应用，例如求解在特定曲面上的最短路径问题。 不等式约束： 探讨如何处理涉及不等式约束的变分问题，这通常会引出KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，并介绍相关的优化理论和算法。 二次型泛函与线性代数： 本书将深入研究二次型泛函的性质。通过将二次型泛函与线性代数中的二次型联系起来，我们将利用矩阵理论和特征值分析来理解其性质（如正定性、负定性）以及泛函的极值类型。这将为分析线性偏微分方程的变分形式提供坚实的基础。 积分方程的变分原理： 许多重要的积分方程，如Fredholm积分方程和Volterra积分方程，都可以通过构造相应的泛函来求解。本书将详细阐述如何为积分方程构建等价的变分问题，并利用变分法的工具（如Ritz法、Galerkin法）来近似求解这些方程。 物理与工程中的高级应用： 连续介质力学： 深入分析弹性力学中的能量原理，例如最小势能原理和最小互能原理，并展示如何将其应用于求解梁、板、壳体的弯曲变形问题。 场论： 探讨在经典场论（如电动力学、引力理论）中，拉格朗日量和作用量原理如何成为构建场方程的核心。我们将研究规范对称性与守恒量的关系，以及希格斯机制等概念的变分表述。 量子力学： 介绍海森堡表象中的量子力学运动方程是如何通过变分原理推导出来的，以及狄拉克方程和费曼路径积分的变分意义。 最优控制理论： 将变分法推广到最优控制领域，介绍庞特里亚金最大值原理，并将其应用于求解一系列具有实际意义的最优控制问题，如最短时间问题、最小能量消耗问题等。 数值方法与近似技术： 除了理论推导，本书还将介绍一些重要的数值方法，用于近似求解复杂的变分问题，包括： Ritz法： 将求解域内的未知函数用一组完备的基函数线性组合来逼近，然后将变分问题转化为一个代数优化问题。 Galerkin法： 基于残差的正交性来构建方程组，适用于求解微分方程的变分形式。 有限元方法（初步）： 介绍有限元方法的基本思想，即离散化求解域，并在每个单元上使用多项式逼近，从而将连续问题转化为离散的代数方程组。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 熟练掌握处理复杂泛函和边界条件的变分技术。 理解并应用约束变分问题的求解方法。 运用线性代数工具分析二次型泛函的性质。 将变分原理应用于求解重要的积分方程。 深入理解变分法在经典力学、场论、量子力学和最优控制等领域的广泛应用。 熟悉用于近似求解变分问题的基本数值方法。 本书适合数学、物理、工程以及计算机科学等领域的专业人士、研究生和高年级本科生。对于已经掌握了《变分法（一）》中基本概念的读者而言，本书将提供一个通往更高层次理解的阶梯。我们鼓励读者积极思考，将所学理论应用于解决实际问题，从而深刻体会变分法作为一种强大的数学工具的魅力。

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这本《变分法计算，卷二》的书简直是数学领域的一座高峰，让人敬畏又着迷。翻开书页，首先扑面而来的是那种严谨到近乎苛刻的数学语言，每一个符号、每一个定义都仿佛经过了千锤百炼，滴水不漏。它不像有些入门教材那样试图用通俗易懂的方式来“哄骗”读者，而是直接将读者带入了变分法理论的核心深处。对于那些已经对基础有一定了解，渴望深入探究变分原理的内在逻辑和深层结构的学者来说，这本书无疑是无价之宝。书中对泛函分析的工具箱进行了极其详尽的梳理和应用，特别是对于非线性泛函方程的处理，展现了作者深厚的功力和独到的见解。我特别欣赏它在论证过程中的那种步步为营的细腻，每一个推导细节都清晰可见，即使是最复杂的定理证明，也能被拆解得井井有条，让人在跟随的过程中，既能体会到数学之美的精妙，也能感受到智力挑战的酣畅淋漓。这本书的价值，不在于快速教会你解题技巧，而在于重塑你对数学分析的认知框架。

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说实话，我买这本书是冲着它在特定拓扑空间中对极值点稳定性的讨论去的，结果发现它的覆盖面远超我的预期。这本书的深度简直是令人咋舌，它没有丝毫赘述，每一页信息密度都高得惊人。作者似乎将毕生所学都浓缩在了这里，从基础的欧拉-拉格朗日方程的正则性理论到更前沿的非光滑变分问题的一些初步探讨，脉络清晰得令人赞叹。我个人对其中关于二级变分（二阶变分）的深入剖析尤其感兴趣，它不仅仅停留在数学上的充分条件检验，还巧妙地与物理学中能量最小化原理的稳定性概念进行了深度绑定。虽然中间涉及到的泛函微分方程的解的先验估计部分读起来颇为烧脑，需要频繁查阅勒贝格积分和Sobolev空间的相关知识点，但正是这种跨领域的知识整合，才使得这本书的理论体系如此坚固且富有生命力。

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我花了整整一个周末的时间才勉强消化了其中的几个章节，但那种思维被极大拓展的感觉，绝对值回票价。这本书的叙事风格非常“硬核”，它仿佛是一位经验极其丰富但性格内敛的大师，用最精炼的笔墨勾勒出变分法的宏伟蓝图。与我之前读过的几本侧重于应用或数值方法的变分书籍相比，这里的重点完全放在了理论的纯粹性和完备性上。特别是对于拉格朗日乘子法在无限维空间中的推广和其存在的充分条件，作者的处理方式简直是教科书级别的示范。它不仅仅是介绍了“是什么”，更是深入挖掘了“为什么是这样”，并且系统性地探讨了不同约束条件下变分问题的等价性转化。说实话，阅读体验是需要极高专注度的，但一旦你跟上了作者的思路，你会发现自己正在触摸到数学真理的脉络，那种感觉就像是迷雾散去，看到了一个完美构建的逻辑体系展现在眼前。

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对于非专业人士或者初学者来说，这本书的门槛无疑是极高的，它更像是一本为研究生和科研人员准备的“工具书”，而不是一本“入门读物”。它的排版简洁到近乎朴素，没有花哨的图示，没有趣味性的历史插曲，一切都服务于数学的严密性。我最欣赏的一点是，作者在处理一些经典问题时，总能提供一个比标准教材更具洞察力的视角。例如，在处理等周定理的变分表述时，它引入了一种更现代的几何测度论的观点来加强论证，这使得结果的普适性和优雅性得到了极大的提升。阅读这本书的过程，与其说是“学习”，不如说是“朝圣”——你需要带着敬畏之心，一步步地攀登理论的高峰。它要求读者不仅要懂数学，还要有强大的抽象思维能力去驾驭那些在无限维空间中跳跃的概念。

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这本书的份量感不仅仅体现在页数上，更在于其思想的厚度。它提供了一种近乎“终极”的视角来看待许多经典的变分问题。我注意到，书中对某些经典问题的讨论，甚至体现了对现有文献的批判性继承，它不仅仅是知识的搬运工，更是理论的精炼者和拓展者。例如，在讨论存在性问题时，它没有满足于一般的紧致性条件，而是深入挖掘了边界条件对解的性质的决定性影响，这对于实际应用中的模型构建至关重要。虽然我承认，我只能领会其中大约七成的内容，但仅凭这七成，就已经让我对变分法的理解提升了一个台阶。这本书需要的不是快速阅读，而是反复研磨，每一次重读都会有新的体会，因为它所构建的理论迷宫足够复杂和精妙，值得花费大量时间去探索每一个角落。

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