Valuations, Orderings, and Milnor $K$-Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Ido Efrat

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2006-3-28

价格:USD 77.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821840412

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数拓扑
• 代数K理论
• Milnor K-理论
• 域论
• 代数几何
• 上同调
• 序理论
• 赋值
• 代数数论
• 层论

《估值、序和Milnor K-理论》 本书是一部关于抽象代数领域中三个重要概念——估值、序和Milnor K-理论——的综合性学术著作。作者深入探讨了这些概念的定义、性质、相互关系以及它们在不同数学分支中的应用。本书旨在为研究生和研究人员提供一个严谨且全面的理论框架，以理解这些高级代数结构。 估值理论 (Valuation Theory) 估值理论是代数数论和代数几何中的一个核心工具。本书将从一个基本的视角出发，介绍估值的定义，即从一个域到某个有序阿贝尔群的同态，并满足特定的性质。我们将详细阐述非阿基米德估值和阿基米德估值之间的区别，以及它们的结构如何反映域的代数性质。 域与估值环： 深入研究估值环的概念，即所有使得某个元素在估值下“小于等于1”的元素的集合。我们将探讨估值环的结构，以及它们与域的局部化之间的联系。 估值群： 分析与估值相关的群结构，特别是估值群，它衡量了估值取值的“大小”。我们将讨论估值群的阶以及它们在判断域的性质（如可分性）中的作用。 性质与应用： 详细介绍估值的各种重要性质，例如唯一性、扩张和收缩等。这些性质对于理解代数闭包、有限扩张以及代数簇的几何性质至关重要。本书还将展示估值在代数数论中的应用，例如研究整数环的性质，以及在代数几何中，如奇点解析和相交理论。 序理论 (Ordering Theory) 序理论研究数学对象上的序关系，尤其关注域上的序，即域的元素之间的一种全序关系，它与域的加法和乘法运算兼容。本书将对序理论进行详尽的介绍，并重点关注域上的序。 正元与序： 定义域上的序，并解释正元（大于零的元素）的概念。我们将探讨一个域是否可以被序化，以及序的类型（例如，实闭域）。 序的存在性与唯一性： 研究判断一个域是否可以被序化的判别准则，例如Artin-Schreier定理。同时，我们将讨论序的存在性问题，以及在某些情况下序的唯一性。 序的结构与应用： 深入分析有序域的结构，以及它们与多项式环、代数簇之间的联系。本书还将介绍序在实代数几何中的应用，例如实代数集的可塑性问题，以及在优化理论和控制理论中的潜在联系。 Milnor K-理论 (Milnor K-Theory) Milnor K-理论是一种强大的代数工具，它与域的Galois上同调和代数K-理论密切相关。本书将系统地介绍Milnor K-理论的构造和基本性质。 张量代数与循环群： 从张量代数的视角出发，介绍Milnor K-理论的构造。我们将定义Milnor K-群 $K_^M(F)$，它是由与域F相关的某些张量积元素生成的阿贝尔群，并带有特定的关系。 核与同构： 详细讨论Milnor K-理论的重要性质，例如与域的乘法群的联系。我们将证明Milnor K-群与域的Galois上同调群之间存在重要的同构关系（特别是在特征为零的情况下）。 Milnor定理与应用： 重点介绍Milnor定理，它建立了Milnor K-理论与Witt群之间的联系。本书还将探讨Milnor K-理论在代数几何、代数数论和表示论等领域的应用，例如与二次型理论、代数簇的缠绕数以及代数拓扑中的某些不变量的联系。 相互关系与综合视角 本书的独特之处在于，它不仅分别阐述了估值、序和Milnor K-理论，更致力于揭示它们之间深刻而精妙的联系。 估值与序的联系： 我们将探讨如何利用估值来构造域上的序，以及反之亦然。特别是，本书将讨论实闭域和估值域之间的关系，以及它们在证明某些代数定理中的作用。 Milnor K-理论与估值/序： 书中将阐明Milnor K-理论的某些结构如何受到域上估值或序的影响。例如，域的估值可能影响其Milnor K-群的结构，反之亦然。 统一的理论框架： 通过整合这三个概念，本书旨在为读者构建一个更全面、更深刻的代数理解。读者将能够运用这些工具来解决更广泛的代数问题，并为进一步的研究打下坚实的基础。 目标读者 本书适合具有扎实抽象代数基础的研究生和博士生，特别是那些对代数数论、代数几何、同调代数和K-理论感兴趣的学者。本书也可作为高级本科生在完成基础代数课程后的进阶读物。 总结 《估值、序和Milnor K-理论》是一部内容丰富、论证严谨的学术专著，它将引领读者进入抽象代数中三个重要且相互关联的领域。通过对这些概念的深入剖析和它们之间联系的细致考察，本书为读者提供了一个强大的分析工具集，以应对代数领域中更复杂的研究挑战。

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这个领域（估值、排序和米尔诺 K 理论）的研究者们通常会发现，要找到一本能够将这些概念系统地串联起来的书籍是多么困难。很多时候，我们不得不依赖于分散在各种高深论文和专题讲义中的零散信息。因此，当我对这本书抱有期望时，我更多的是在期待它能提供一个清晰、统一的叙事线索，将这些看似孤立的数学结构有机地整合起来。我希望它能深入浅出地解释米尔诺 K 理论的代数结构如何自然地引出排序理论中的关键概念，以及这些理论如何反过来为估值理论提供更坚实的代数基础。一个成功的教科书应该能够引导读者从基础的代数工具，如环和域的结构，一步步过渡到更复杂的 K 理论构造，同时保持清晰的逻辑流。这种整合性，而不是仅仅罗列事实，才是衡量一本数学专著价值的核心标准。

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对于一个初涉代数 K 理论或代数几何中的相关主题的博士生来说，找到一本既有深度又具备良好教学设计的教材至关重要。我关注的重点在于，本书是否能够有效地平衡理论的严谨性与教学的可读性。具体来说，我期望它能在介绍米尔诺 K 理论的核心定义和性质时，提供足够的动机和例子，而不是直接跳入复杂的范畴论框架。例如，关于 Milnor $K_n(F)$ 群的定义和其与 $K_n(F)$ 的关系，我希望看到详尽的计算示例，比如 $K_1$ 和 $K_2$ 的具体构造。此外，书中对“排序”（Orderings）的处理方式也必须足够精妙，以展示它们在代数结构中的作用，比如如何用它们来刻画某些环上的特定性质。如果本书能够成功地将这些主题编织成一个连贯的知识网络，它将成为我们课程中的宝贵资源。

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我对数学符号和表达方式的偏好是相当挑剔的。在处理米尔诺 K 理论这样依赖于张量积和链复形的理论时，符号的清晰度和一致性是至关重要的。我希望作者能够采用现代且被广泛接受的符号系统，并且在引入新的概念或构造时，能提供详尽的定义和必要的预备知识回顾，尤其是针对那些可能不熟悉高阶 K 理论或特定域论的读者。对于排序理论而言，如何优雅地处理非相容性或非传递性等复杂情况，是检验作者功力的试金石。一本好的书应该避免过度依赖过于晦涩的脚注来解释核心概念，而是应该将所有必要的背景知识整合到流畅的文本流中，确保即使在处理极度抽象的结构时，读者的注意力也能集中在数学思想本身，而不是纠缠于符号的解读上。

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在评估一本高度抽象的数学著作时，书后的习题和补充材料往往能揭示作者对教学意图的深层思考。我非常看重习题集的设计质量——它们不应该仅仅是公式的重复应用，而应是引导读者进行独立思考和探索新方向的阶梯。如果本书的习题能够涵盖从基础的验证性练习到需要综合运用多个章节知识的挑战性问题，那就太棒了。更进一步说，如果作者在正文的某些关键结论后，提供了“进一步阅读”的建议，或者简要提及了这些概念在代数拓扑或表示论中的应用方向，那么这本书的价值将远超其作为一本标准教科书的范畴，而成为一个研究者的参考手册。

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我个人对数学史和概念发展的脉络非常感兴趣。因此，我非常希望这本书能在讨论这些前沿（或至少是高度专业化）主题时，能够追溯其历史渊源。米尔诺 K 理论的诞生与代数几何和代数 K 理论的交叉点紧密相关，而排序理论则深深植根于实代数和数论。一本优秀的书籍应该能清晰地勾勒出这些思想是如何在不同数学分支中独立发展，最终又在某些关键问题上汇合的。例如，当讨论到某种特定类型的域或环的性质时，如果作者能简要回顾一下早期的研究成果和未解决的问题，这将极大地丰富读者的理解层次，使学习过程不再是纯粹的符号操作，而是对数学思想演进的探索。

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