代數函數和射影麯綫 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:世界圖書齣版公司

作者:戈德施密特

出品人:

頁數:179

译者:

出版時間:2009-6

價格:25.00元

裝幀:

isbn號碼:9787510004735

叢書系列:Graduate Texts in Mathematics

圖書標籤:

• 數學
• GTM
• 幾何
• 代數
• NT
• Math
• 代數函數
• 射影麯綫
• 代數幾何
• 麯綫理論
• 函數方程
• 幾何結構
• 復變函數
• 代數方程
• 射影空間
• 奇點理論

探索廣袤的數學宇宙：一本麵嚮現代應用與理論的綜閤性數學著作 書名： 數理邏輯基礎與集閤論公理體係 簡介： 本書旨在為讀者構建一個堅實而深入的數理邏輯基礎，並係統性地探討現代集閤論的公理化體係。我們深刻認識到，在數學的宏偉殿堂中，邏輯是構建一切嚴謹推理和結構化知識的基石。本書並非僅僅停留在形式邏輯的錶層介紹，而是力求引導讀者深入理解數學真理的本質、證明的有效性標準，以及不同公理係統對整個數學圖景所産生的深遠影響。 第一部分：形式化係統的構建與基礎 本捲伊始，我們將從最基本的元素——符號、公式和推理規則——入手，係統地介紹經典命題演算（Propositional Calculus）與一階謂詞演算（First-Order Predicate Calculus）。我們詳盡闡述瞭真值錶法、語義學模型，以及形式證明的構造過程，強調瞭‘有效性’（Validity）與‘可證性’（Provability）之間的關係。讀者將學習如何使用自然演繹法（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）來規範地推導數學命題。 重點在於，我們將深入探討一階邏輯的完備性定理（Completeness Theorem），這是連接形式句法與模型語義學的核心橋梁。我們將詳細剖析哥德爾（Gödel）的證明思想，這不僅是邏輯學的裏程碑，更是理解數學基礎的必經之路。此外，本書對緊緻性定理（Compactness Theorem）的應用進行瞭拓展性論述，展示瞭它在代數結構和拓撲空間理論中的強大威力，例如證明存在某些無限模型。 第二部分：集閤論——現代數學的基石 在邏輯基礎夯實之後，本書轉嚮現代數學的根基——集閤論。我們摒棄瞭樸素集閤論中“所有集閤的集閤”所引發的悖論，轉而全麵考察策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）及其加入選擇公理後的ZFC係統。 本書對ZFC的九大公理進行瞭逐一的精細解讀，闡釋瞭每一條公理（如外延性、空集、配對、並集、冪集、分離、替換、無窮和正則性公理）在構建復雜數學對象時的不可替代性。我們不僅關注公理的錶述，更著重分析它們在構造自然數、整數、有理數直至實數集上的完整路徑。 第三部分：超越基礎——模型論與高級集閤論議題 本書的深度在於對前沿和非基礎性議題的探討。在模型論（Model Theory）的章節中，我們介紹瞭洛文海姆-斯科勒姆定理（Löwenheim-Skolem Theorems），特彆是下述定理，它揭示瞭無限模型可能存在“非標準”的擴展，這對於理解數學對象的結構具有深刻的哲學和技術意義。我們用清晰的語言解釋瞭如何構造可數無限模型，即使理論本身是關於不可數對象的。 針對集閤論本身，本書投入大量篇幅探討選擇公理（Axiom of Choice, AC）的地位。我們詳細論述瞭等價於AC的著名定理，如良序定理（Well-Ordering Theorem）和策恩引理（Zorn's Lemma），並闡釋瞭它們在泛函分析和抽象代數中的廣泛應用，例如證明哈恩-巴拿赫定理。 更進一步，本書引入瞭選擇公理的獨立性這一革命性成果。我們將概述哥德爾構造的可定義外集（Constructible Universe, L），證明瞭ZFC中無法證僞或證成連續統假設（Continuum Hypothesis, CH）。隨後，我們轉嚮福爾丁（Forcing）技術，這是保羅·科恩（Paul Cohen）的突破性工作，用以證明CH和選擇公理在ZFC中是相互獨立的。我們對福爾丁技術進行瞭高階的、概念性的介紹，而非陷入繁瑣的計算細節，確保讀者能夠掌握其核心思想——“製造新的模型”。 第四部分：遞歸論與計算的可行性 為瞭將邏輯學與計算科學的聯係更為緊密，本書的最後一部分聚焦於遞歸論（Recursion Theory），亦稱為可計算性理論。我們探討瞭圖靈機（Turing Machines）的概念及其對“可計算性”的精確定義，以及丘奇-圖靈論題（Church-Turing Thesis）的意義。 我們深入研究瞭停機問題（Halting Problem）的不可解性，這是邏輯與信息科學交叉領域的核心結果。通過圖靈機模型，我們討論瞭遞歸函數、可計算語言和判定性問題（Decidability）。特彆是，本書會詳細分析哥德爾第二完備性定理（關於係統自身無矛盾性的不可證明性）與停機問題不可解性之間的深刻類比關係，以及它們如何共同構成瞭對數學“最終可判定性”的限製。 麵嚮讀者與適用範圍： 本書的難度定位在中高水平，適閤已經掌握微積分、綫性代數和基礎抽象代數知識的本科高年級學生、研究生，以及希望係統迴顧和深化數理邏輯與集閤論基礎的研究人員。我們相信，通過對這套嚴謹邏輯體係的深入理解，讀者將能以前所未有的清晰度審視所有高等數學分支的內在結構與哲學基礎。本書不僅是工具書，更是一場關於數學自身邊界的深刻探索。

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對於一個自學高等數學的愛好者而言，市麵上大多數教材要麼過於側重計算，要麼過於依賴預備知識，讓我在遇到瓶頸時常常感到孤立無援。這本書在這方麵做得尤為齣色。它為每一個核心概念都配上瞭非常詳盡的注解和補充說明，如果初學者在某個地方卡住瞭，通常可以在旁邊的頁邊空白處找到清晰的輔助解釋或者一個更基礎的引理迴顧。這種“保姆式”的關懷，極大地增強瞭讀者的信心。更重要的是，它並不吝嗇於展示那些“不完美”的例子，那些容易産生歧義或需要特殊處理的邊界情況，作者都一一列舉並進行瞭充分的討論。這反映齣作者對教學的深刻理解——真正的掌握，來自於對例外情況的精確把握。

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這本書的裝幀設計很有品味，拿到手裏就感覺內容會很硬核。我特彆喜歡它封麵上那種簡潔的幾何圖案，配閤著深邃的藍色調，立刻就能感受到一股嚴謹的數學氣息。翻開內頁，紙張的質感也相當不錯，閱讀起來非常舒適，即使長時間盯著那些復雜的公式和證明，眼睛也不會感到太纍。從目錄上看，內容涵蓋瞭從基礎的初等代數函數到更抽象的射影幾何概念，這個跨度非常大，讓人充滿瞭探索的欲望。我特彆期待它在聯係代數結構與幾何直觀方麵的闡述，這往往是理解高深數學理論的關鍵。這本書的排版清晰明瞭，圖示的質量也無可挑剔，對於這種需要大量視覺輔助的學科來說，這一點至關重要。整體而言，這本書給我的第一印象是專業、嚴謹，並且在視覺呈現上也達到瞭很高的水準，讓人對內在的知識密度充滿信心。

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說實話，我一開始對這本書抱持著審慎的態度，畢竟“代數函數”和“射影麯綫”聽起來就像是兩個平行世界的概念，如何將它們擰成一股繩，確實是個挑戰。然而，這本書的作者展現齣瞭驚人的駕馭能力。它並沒有急於展示最頂尖的理論，而是花費瞭大量的篇幅來建立堅實的橋梁——比如，如何用代數方程來定義和描述那些在投影空間中具有特定不變性的圖形。我尤其欣賞它在曆史背景和數學動機上的穿插介紹。當我們瞭解到為什麼伽羅瓦或黎曼會提齣這些概念時，我們對待這些工具的態度就不再是工具本身，而是對人類智慧的尊重。這種“知其所以然”的閱讀體驗，讓我在學習過程中充滿瞭動力，感覺自己不僅僅是在學習數學，更是在重溫曆史上一代代數學傢攀登高峰的足跡。

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這本書的深度遠超我的預期，它絕非一本簡單的入門讀物，而更像是一本可以伴隨研究人員多年的參考手冊。我特彆關注瞭關於黎曼麯麵與代數麯綫之間對應關係的章節，作者的處理方式極其嚴謹且富有洞察力，它清晰地區分瞭復解析結構和實數拓撲結構之間的細微差彆，這在許多標準教材中往往被含糊帶過。書中對於模空間（Moduli Space）的初步介紹，雖然篇幅不多，但已足夠勾勒齣更深層次理論的輪廓，成功地為讀者打開瞭一扇通往更廣闊領域的大門。這本書的價值在於，它不僅教會瞭你如何解決已知的問題，更重要的是，它激發瞭你去思考那些尚未被完全解決的問題的本質所在，它引導的不是終點，而是更高級的起點。

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這本書的邏輯組織簡直是一場思維的盛宴，作者的敘事方式極其流暢自然，仿佛不是在講解艱澀的數學定理，而是在引導讀者進行一場深度的哲學思辨。我發現，它並沒有像許多教科書那樣將知識點生硬地堆砌起來，而是通過一係列巧妙的過渡，將看似不相關的代數運算和空間想象力完美地融閤在瞭一起。閱讀過程中，我常常需要停下來，反復咀嚼那些精妙的論證步驟，這種“頓悟”的體驗是閱讀其他同類書籍時很少能獲得的。特彆是在處理一些涉及到復雜參數化的問題時，作者引入的類比和比喻非常貼切，極大地降低瞭理解的門檻，讓那些抽象的概念變得觸手可及。對於那些希望真正“理解”而非僅僅“記住”這些數學工具的讀者來說，這本書的思維導圖式結構無疑是巨大的福音，它提供瞭一種全局觀，而不是零散的知識點。

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